Prof. Michel Sadalla Filho

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Diana Imperial Azambuja
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1 Referências MECÂNICA APLICADA Prof. Michel Sadalla Filho Centros de Gravidade, Centro de Massa, Centróides de uma figura plana DOC Fev 2013 Ver. 01 HIBBELER, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005, 540p. ELIAS, Moisés; CHAVES, Wanrley Coleção Abril FÍSICA Volumes 29/ , São Paulo. GASPAR, Ricardo: Mecânica dos Materiais. material/resistência%20dos%20materiais.pdf BEER, Ferdinand P; JOHNSTON Jr, E. Russel; EISENBERG, Elliot Berg: Mecânica Vetorial para Engenheiros Mc Graw Hill, 7ª Edição,2006

ELIAS, Moisés; CHAVES, Wanrley Coleção Abril FÍSICA Volumes 29/30 1978, São Paulo. GASPAR, Ricardo: Mecânica dos Materiais. http://professor.ucg.

2 INTRODUÇÃO Os conceitos de CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA e CENTRÓIDE, muitas vezes são utilizados como se fossem a mesma coisa, pois, na prática são originários de um mesmo princípio, o desenvolvimento do primeiro, leva aos outros dois, com algumas particularidades. Antes, porém, vamos retomar o TEOREMA DE VARIGON, utilizado para desenvolver o conceito de centro de gravidade. TEOREMA DE VARIGNON O momento da resultante de um sistema de forças coplanares, em relação a um ponto qualquer de seu plano, é igual a soma algébrica dos momentos parciais das forças constituintes do sistema em relação ao mesmo ponto. 2

Antes, porém, vamos retomar o TEOREMA DE VARIGON, utilizado para desenvolver o conceito de centro de gravidade.

3 TEOREMA DE VARIGNON EXEMPLO O sistema abaixo, compõem-se de uma viga com as três forças indicadas (F1, F2, F3), tendo como resultantes: F R = - 14 N e M RO = - 33 N.m (sentido horário) + ΣM 0 = (3x1) (12x3) ΣM 0 = 3 36 M Ro = - 33 N.m Determinação do ponto (X G ) onde se pode colocar a F R que terá o mesmo efeito de translação e rotação. M R0 = F R. X G -33 = -14N. X G X G = -33/-14 = 2,4m 3

m (sentido horário) + ΣM 0 = (3x1) (12x3) ΣM 0 = 3 36 M Ro = - 33 N.

4 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE UMA FIGURA PLANA BARRA PRISMÁTICA Secção longitudinal Secção transversal 4

5 1. Área CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE UMA FIGURA PLANA 2. Momento Estático de Área 3. Centro de Gravidade; Centro de Massa, Centróide 4. Momento de Inércia 5. Raio de Giração 5

2 ; cm 2 ; mm 2 outras A área é utilizada para a determinação das tensões normais de tração e

6 1 - ÁREA de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Unidade de área: [L 2 ] unidade de comprimento ao quadrado Sistema Internacional [m 2 ] unidades: in 2 ; cm 2 ; mm 2 outras A área é utilizada para a determinação das tensões normais de tração e compressão (σ) e das tensões de cisalhamento ou corte (τ) a a A = a 2 h A = b.h A = (b+b)/2. h A = π R 2 b A = π (R 2 r 2 ) A = b.h/2 6

7 3.1 CENTRO DE GRAVIDADE Seja sistema três partículas de pesos P1, P2 e P3, conforme mostrado na figura ao lado. Aplicando o Teorema de Varignon ponto O: - P. X G = - P 1.x 1 - P 2.x 2 - P 3.x 3 P. X G = P 1.x 1 +P 2.x 2 + P 3.x 3 X G = P 1.x 1 + P 2.x 2 + P 3.x 3 P ( 05 ) X G = m 1.x 1 + m 2.x 2 + m 3.x 3 X G = m 1.g.x 1 + m 2.g.x 2 + m 3. g.x 3 m.g Como m = m 1 + m 2 + m 3 ( 06 ) m 1 + m 2.+ m 3 Também denominada de centro de massa 7

x 2 + P 3.x 3 X G = P 1.x 1 + P 2.x 2 + P 3.x 3 P ( 05 ) X G = m 1.x 1 + m 2.x 2 + m 3.x 3 X G = m 1.g.

8 3.1 CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRO DE MASSA Girando-se o sistema de partículas de 90º e no sentido horário, mantêm-se a mesma relação das forças-pesos destas partículas. Analogamente, a ordenada YG da linha de ação da resultante será dada por: ( 07 ) CENTRO DE GRAVIDADE: quando se utiliza as forças-pesos CENTRO DE MASSA: quando se utiliza as massas Mas ambos são conceitos semelhantes, na prática se diz Centro de Gravidade, ou ainda o termo CG 8

Analogamente, a ordenada YG da linha de ação da resultante será dada por: ( 07 ) CENTRO DE GRAVIDADE: quando se

9 3.2 CENTRÓIDE DE UMA SUPERFÍCIE Quando consideramos uma superfície (figura no plano XY) ao invés de um corpo sólido (volume), a expressão centro de gravidade é denominada por alguns autores de CENTRÓIDE, ou ainda de BARICENTRO de uma superfície. Utilizando o conceito de densidade (d) d = m / V m = d. V = d. A. h Para casos de densidade homogênea (mesmo material) e superfícies de mesma espessura (h), as expressões ( 06) e (07) desenvolvidas para o centro de gravidade: X CG = d h (X 1 A1 + X 2 A 2 + X 3 A 3 ) d. h. (A 1 + A 2 + A 3 ) X CG = X 1. A 1 + X 2 A 2 + X 3 A 3 A 1 + A 2 + A n ( 08 ) ANALOGAMENTE, Y CG = Y 1. A 1 + Y 2 A 2 +.Y 3 A 3 A 1 + A 2 + A 3 ( 09 ) 9

h Para casos de densidade homogênea (mesmo material) e superfícies de mesma espessura (h), as expressões ( 06) e (07) desenvolvidas para o centro de gravidade: X CG =

10 3.2 CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRÓIDE DE UMA SUPERFÍCIE Se ao invés de três elementos em que a área é dividida, aumentarmos para n elementos, as equações (8) e (9) ficam: X CG = X 1. A 1 + X 2 A X n A n Y CG = Y 1. A 1 + Y 2 A Y n A n A 1 + A A n A 1 + A A n ( 10 ) ( 11) Considerando a totalidade das partículas, temos: X CG = x da A ( 12 ) Y CG = Y da ( 13) A Na prática usamos as equações (10) e (11) que também são expressas por ( 14 ) ( 15 ) 10

11 CENTRO GRAVIDADE composição de figuras No exemplo abaixo, desmembramos a figura (a) em duas formas: Fig (a) X CG = X 1 A 1 + X 2 A 2 + X 3 A 3 A 1 + A 2 + A 3 5 Analogamente para Y CG Fig (a) 1 4 X CG = X 1 A 1 + X 4 A 4 - X 5 A 5 A 1 + A 4 - A 5 11

X 1 A 1 + X 2 A 2 + X 3 A 3 A 1 + A 2 + A 3 5 Analogamente para

12 CENTRO DE GRAVIDADE / CENTRÓIDES Algumas observações 1. Para este curso, utilizaremos a expressão centro de gravidade com mesmo significado de centróide de uma superfície plana, ou ainda baricentro. 2. trabalharemos no plano XY 3. existem diversas notações para expressar o centro de gravidade: X G ; X CG e analogamente Y G ; Y CG e 12

de centróide de uma superfície plana, ou ainda baricentro. 2.

13 CENTROS DE GRAVIDADE (CENTRÓIDES) DE SUPERFÍCIES PLANAS Retângulo Quadrado Triângulo 13

14 CENTROS DE GRAVIDADE (CENTRÓIDES) DE SUPERFÍCIES PLANAS Círculo ¼ Círculo Semicírculo 14

15 EXEMPLO 1: Localize o CG da figura abaixo 15

16 EXEMPLO 1 - Solução 16

17 EXEMPLO 2: Localizar e calcular o centróide da peça abaixo. 17

18 EXEMPLO 2 Solução 18

19 EXEMPLO 3 Localizar o centróide da figura abaixo

20 EXEMPLO 3 Solução 20

21 EXEMPLO 4 Determinar o centro de gravidade da figura, utilizando o Momento Estático de Área SOLUÇÃO 1 Cálculo das Áreas: 3- Cálculo do CG Na direção x há simetria... Y CG Y CG = 7,36 cm 21

22 EXEMPLO 5 Determinar o Centro de Gravidade utilizando Momento Estático de Área RESPOSTAS CENTRO DE GRAVIDADE 1- ÁREA SOLUÇÃO A Figura hachurada pode ser o resultado de um retângulo (12 6) cm 2 do qual foram retirados um triângulo e um semicírculo. 22

23 EXERCÍCIOS Calcular o CG das figuras abaixo: Ex. 01 Ex. 02 Ex. 03 A 1 = a 2 ; x 1 = a/2; y 1 = a/2 A 2 = a 2 /2 ; x 2 =4a/3; y 2 =a/3 X G = 0,777a; Y G = 0,444a 23

24 EXERCÍCIOS CENTRO DE GRAVIDADE Ex. 04 Ex

25 EXERCÍCIOS CENTRO GRAVIDADE EX. 06 Calcule o centro de gravidade da figura abaixo (repare que a figura pode ser expressa pela composição de duas outras) = - 25

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