Disciplina: Mecânica Geral - Estática
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- Maria do Mar Garrau Canário
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1 Disciplina: Mecânica Geral - Estática IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas Parte 1: Momento de Primeira Ordem ou Estático Prof. Dr. Eng. Fernando Porto
2 Momentos de Primeira Ordem O momento de primeira ordem (ou momento estático) de uma superfície plana em relação a um eixo de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos de área pelas distâncias desses elementos ao eixo considerado:
3 Onde da = dx.dy x; y: coordenadas do elemento de área da : coordenadas do centroide da figura plana
4
5 Atenção: O momento estático pode ser positivo ou negativo ou nulo. Unidade: [L] 3 onde L é a unidade de comprimento
6 Exemplo 1 Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo x :
7 Da definição de momento de primeira ordem: Sabe-se que da = dx.dy Þ
8
9 Exemplo 2 Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo x 1 :
10 Þ da = dx.dy
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13 Exemplo 3 Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo (eixo x do centroide):
14 Þ da = dx.dy
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17 Exemplo 4 Determinar o momento estático do triângulo em relação ao eixo x :
18 da = a.dy
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21 OBS.: Se eixo passar pelo CG da figura o momento estático da área referente à figura em relação a este eixo será nulo.
22 Exemplo 5 Determinar os momentos de primeira ordem da superfície plana mostrada, em relação aos eixos x e y.
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24 Componente Retângulo Triângulo Semicírculo Círculo Componente Retângulo Triângulo Semicírculo Círculo M x = +506,2 x 10 3 M y = +757,7 x 10 3
25 Disciplina: Mecânica Geral - Estática IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas Parte 2: Série de Exercícios - Momento Estático Prof. Dr. Eng. Fernando Porto
26 Exercício 1 Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos x e y.
27 Exercício 2 30 mm 30 mm 300 mm Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos x e y. 240 mm
28 Exercício 3 3 m 6 m 6 m 6 m 6 m Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos x e y.
29 Exercício 4 6 m 8 m 8 m Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos x e y. r = 4 m 12 m
30 Exercício 5 Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos x e y.
31 Exercício 6 Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos x e y. 16 m r = 38 m 20 m
32 Exercício 7 Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos x e y.
33 Exercício 8 Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos x e y. r2 = 12 m r1 = 8 m
34 Exercício 9 Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos x e y.
35 Disciplina: Mecânica Geral - Estática IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas Parte 3: Momento de Inércia de Área e Momento Polar Prof. Dr. Eng. Fernando Porto
36 Momento de Inércia de Área O momento de inércia de área é uma propriedade geométrica da seção transversal de elementos estruturais. Fisicamente está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e, portanto, junto com as propriedades do material determina a resistência de um elemento estrutural sob flexão.
37 Momento de Inércia de Área Momento de inércia de uma superfície plana (por isto o nome Momento de Inércia de Área) em relação a um eixo de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos de área pelo quadrado das distâncias desses elementos ao eixo considerado.
38 Atenção: O momento de inércia de área é sempre positivo. Unidade: [L] 4 onde L é a unidade de comprimento
39 Exemplo 1 Determinar o momento de inércia de área do retângulo em relação ao eixo x.
40 Da definição de momento de inércia de área: Sabe-se que da = dx.dy Þ
41
42 Analogamente:
43 Exemplo 2 Determinar o momento de inércia de área do retângulo em relação ao eixo (eixo x do centroide):
44 Da definição de momento de inércia de área: Sabe-se que da = dx.dy Þ
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46 Analogamente:
47 Exemplo 3 Determinar o momento de inércia de área do triângulo em relação ao eixo x :
48 da = a.dy
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52 Momento Polar de Inércia Momento polar de inércia de uma superfície plana em relação a um ponto de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos da área pelo quadrado de suas distâncias ao ponto considerado.
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55 Exemplo 4 Calcular o momento polar de inércia do retângulo em relação ao vértice 3.
56 Calculando-se J p em relação ao vértice 3 tem-se
57 Momento Centrífugo Momento centrífugo de uma superfície plana em relação a um sistema de eixos cartesianos de seu plano é o somatório dos produtos dos seus elementos de área pelas distâncias desses elementos aos eixos considerados. O momento centrífugo ou produto de inércia pode ser positivo, negativo ou nulo. unidade: [L] 4 onde L é a unidade de comprimento
58 Exemplo 5 Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos x e y.
59 Sabe-se que da = dx.dy
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61 Exemplo 6 Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos x e y 1.
62 Sabe-se que da = dx.dy
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64 Exemplo 7 Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos e y.
65 Sabe-se que da = dx.dy
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67 Exemplo 8 Calcular o momento centrífugo do triângulo em relação ao eixo x.
68 da = a.dy
69 Atenção: para a área da, a coordenada x assume o valor do centroide da área da.
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73 Atenção!!! Se um dos eixos de referência for de simetria o momento centrífugo é nulo.
74 Disciplina: Mecânica Geral - Estática IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas Parte 4: Raio de Giração e Translação de Eixos Prof. Dr. Eng. Fernando Porto
75 Raio de Giração Considere uma superfície A com momento de inércia J x em relação ao eixo x.
76 Raio de Giração Imaginemos que concentramos essa superfície em uma faixa estreita paralela ao eixo x. i x
77 Raio de Giração Para que a superfície de área A concentrada desse modo tenha o mesmo momento de inércia em relação ao eixo x, a faixa deverá ser colocada a uma distância i x do eixo x. J x J x i x
78 Raio de Giração A distância i x é definida pela relação de onde... J x J x i x
79 Raio de Giração A distância i x é denominada de raio de giração da superfície em relação ao eixo x. O raio de giração é sempre positivo. J x i x Unidade [L] L unidade de comprimento
80 Translação de Eixos ou Teorema dos Eixos Paralelos Considere o momento de inércia J de uma superfície A em relação a um eixo AA.
81 Translação de Eixos ou Teorema dos Eixos Paralelos Representando por y a distância entre um elemento de superfície de área da e AA, escrevemos:
82 Translação de Eixos ou Teorema dos Eixos Paralelos Vamos traçar agora um eixo BB paralelo a AA, passando pelo centroide C, representando por y a distância entre o eixo BB e da. Escrevemos que: Observe que d é a distância entre os eixos AA e BB.
83 Assim, temos Substituindo:
84 A primeira integral representa o momento de inércia J em relação ao eixo BB. A segunda integral representa o momento de primeira ordem (momento estático) da superfície em relação ao eixo BB. Como este eixo passa pelo centroide, esta integral tem valor nulo. A terceira integral é igual à área A. Para evitar confusões, esta distância d será chamada daqui por diante de d y.
85 Analogamente também tem-se Generalizando para n figuras geométricas:
86 Exemplo 1 Calcular o momento de inércia de um círculo em relação a um eixo diametral (eixo x).
87 D = 2.R da = r.dq.dr y = r.senq
88 D = 2.R da = r.dq.dr y = r.senq
89 ou analogamente
90 Exemplo 2 Calcular o momento de inércia polar do círculo em relação ao ponto 0 (centro geométrico). Lembrando que: J p = J x + J y
91 ou
92 Retângulo Triângulo
93 Círculo R Semicírculo R
94 Quarto de círculo R Elipse
95 Exemplo 3 Calcular o momento de inércia da figura plana em relação ao eixo x. R = 6 cm
96 Figura geométrica 1 Figura geométrica 2 Atenção: para as duas figuras o valor de dy é nulo em relação ao eixo x!
97 Exemplo 4 Calcular o momento de inércia da figura plana em relação ao eixo x. Figura geométrica 1 Figura geométrica 2 Atenção: também neste caso, para as duas figuras o valor de dy é nulo em relação ao eixo x.
98 Figura geométrica 1 Figura geométrica 2 4
99 Exemplo 5 Calcular o momento de inércia e raio de giração da figura plana em relação ao eixo x.
100 Área total: A = A 1 + A 2 + A 3 A = = 816 mm 2 Momento de inércia: 4 ƒ Raio de giração:
101 Disciplina: Mecânica Geral - Estática IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas Parte 5: Aplicação e Exercícios Prof. Dr. Eng. Fernando Porto
102 Exemplo 1 1,3 mm Determine os momentos de inércia (a) J x e (b) J y da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidais paralelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente. 0,5 mm 1,0 mm 3,8 mm eixos centroidais: eixos que passam pelo centroide. 3,6 mm 0,5 mm
103 Localizar o centroide: A, mm 2 mm mm mm 3 mm 3 Fig 3: 1,3 x 1 S S Fig 2: 0,5 x 3,8 S S Fig 1: 3,5 x 0,5
104 Calcular o momento de inércia J x :
105 Calcular o momento de inércia J y :
106 Exemplo 2 Determine o momento polar da área cinzenta mostrada na figura em relação (a) ao ponto O e (b) ao centroide da superfície.
107 Fig.1 = - Fig.2 Determinação do centroide da seção: D 160 x 80 D 80 x 60
108 Obs.: Não há necessidade de cálculo para encontrar a posição do centroide no eixo x, pois a figura é simétrica em relação ao eixo y.
109 Momento polar: J p = J x + J y Figura 1: y x
110 Momento polar: J p = J x + J y Figura 2: y x
111 Figura completa: Fig.1 = - Fig.2 D 160 x 80 D 80 x 60 Atenção: este é o momento polar em relação ao ponto O. (a) J po = 11,573 x 10 6 mm 4 Agora esta resposta é usada para estimar J pc.
112 Figura completa: A = 4000 mm 2 d = 30,667mm C (b)
113 Exemplo 3 Dois perfis L 6 x 4 x ½ (ou L152 x 102 x 12,7) são unidos por solda para formar a seção mostrada. Determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y. Atenção: As propriedades geométricas dos perfis comerciais são tabeladas. Perfil L152 x 102 x 12,7 152,4 mm 12,7 mm 101,6 mm
114 Propriedades geométricas do perfil L152 x 102 x 12,7: Área: 3060 mm 2 J x : 7,2 x 10 6 mm 4 J y : 2,59 x 10 6 mm 4 k x : 48,5 mm k y : 29,0 mm Centroide:
115 C152 x 102 x 12,7: Área: 3060 mm 2 J x : 7,2 x 10 6 mm 4 J y : 2,59 x 10 6 mm 4 y 76,2 mm y O 25,9 mm 50,3 mm 76,2 mm x O Valores tabelados 57,15 mm 57,15 mm
116 y O C152 x 102 x 12,7: Área: 3060 mm 2 J x : 7,2 x 10 6 mm 4 J y : 2,59 x 10 6 mm 4 x O
117 y O C152 x 102 x 12,7: Área: 3060 mm 2 J x : 7,2 x 10 6 mm 4 J y : 2,59 x 10 6 mm 4 x O
118 C152 x 102 x 12,7: Área: 3060 mm 2 J x : 7,2 x 10 6 mm 4 J y : 2,59 x 10 6 mm 4
119 Exemplo 4 Dois perfis C e duas chapas de aço são usadas para formar a seção de coluna mostrada abaixo. Para b = 200mm, determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y. Perfil C250 x 22,8
120 Propriedades geométricas do perfil C250 x 22,8: Área: 2890 mm 2 Altura: 254 mm Largura: 66,0 mm J x : 28,0 x 10 6 mm 4 J y : 0,945 x 10 6 mm 4 k x : 98,3 mm k y : 18,1 mm Centroide: 16,1 mm
121 Área total: C250 x 22,8: Área: mm 2 J x : 28,0 x 10 6 mm 4 J y : 0,945 x 10 6 mm 4
122 C250 x 22,8: Área: mm 2 J x : 28,0 x 10 6 mm 4 J y : 0,945 x 10 6 mm 4 16,1 mm Dado que b = 200mm : b Perfis C250x22,8 Chapas
123 Propriedades de perfis laminados comerciais padrão EUA
124 Propriedades de perfis laminados comerciais padrão EUA Altura nominal em mm e massa em quilogramas. Altura, largura e espessura de chapa em mm.
125 Exercício 1 Determine o momento de inércia da área em azul com respeito (a) ao eixo x e (b) ao eixo y quando a = 20mm. Ex th Ed. Resp.: (a) 1,268 x 10 6 mm 4 (b) 339 x 10 3 mm 4
126 Exercício 2 Determine os momentos de inércia (a) J x e (b) J y da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidais paralelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente. Ex th Ed. Resp.: (a) 1,874 x 10 6 mm 4 (b) 5,82 x 10 6 mm 4
127 Exercício 3 Determine os momentos de inércia (a) J x e (b) J y da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidais paralelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente. 1,2 mm 5,0 mm 1,8 mm 0,9 mm 2,0 mm 2,1 mm Ex th Ed. Resp.: (a) 191,3 mm 4 (b) 75,2 mm 4
128 Exercício 4 Dois perfis C200 x 17,1 são unidos por solda à um perfil W200 x 46,1 para formar a seção mostrada. Determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y. C200 x 17,1 W200 x 46,1 Resp.: J xc = 105,72 x 10 6 mm 4 J yc = 42,50 x 10 6 mm 4 k x = 101,6 mm k y = 64,52 mm Ex th Ed.
129 Exercício 5 A resistência do perfil W é aumentada através da soldagem de um perfil C na sua flange superior. Determine os momentos de inércia da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y. Ex th Ed. Resp.: J xc = 745 x 10 6 mm 4 J yc = 91,3 x 10 6 mm 4
130 Exercício 6 Dois perfis L76 x 76 x 6,4 são soldados a um perfil C250 x 22,8. Determine os momentos de inércia da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y respectivamente paralelo e perpendicular à linha pontilhada faceando o perfil C. Ex th Ed. Resp.: J xc = 3,55 x 10 6 mm 4 J yc = 49,8 x 10 6 mm 4
131 Bibliografia BEER, FERDINAND P.; JOHNSTON, E. RUSSELL; EISENBERG, ELLIOT R. Mecânica Vetorial Para Engenheiros - Estática Editora: MCGRAW HILL BOOKMAN; 2010 ISBN:
132 Fonte Bibliográfica Resistência dos Materiais Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr., E. Russell; Editora Pearson Nakron Books, 3a. Ed., 2010
133 Bibliografia MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA. In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida: Wikimedia Foundation, Disponível em: < to_de_in%c3%a9rcia_de_%c3%a1rea&oldid= >. Acesso em: 15 abr
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