Resistência dos Materiais

Transcrição

1 - Flexão Acetatos e imagens baseados nos livros: - Mechanics of Materials - Beer & Jonhson - Mecânica e Resistência dos Materiais V. Dias da Silva - Resistência dos Materiais, R.C. Hibbeler

2 Índice Flexão Pura Flexão Simples Flexão Composta Deformações por flexão Extensão devido a flexão Propriedades das secções de viga Deformações numa secção transversa Concentração de Tensões Flexão desviada Equação da Línea Elástica 2

3 Flexão Pura e Flexão Simples y M x Flexão Pura Quando os elementos prismáticos estão sujeitos apenas a momentos fletores iguais e opostos no mesmo plano. M = Constante ; V = 0; N = 0; T = 0 dm dx = V V y M x Flexão Simples ou Flexão Transversal Cargas transversais concentradas ou distribuídas produzem forças internas equivalentes a uma força de corte (esforço transverso) e a momentos fletores. M 0; V 0; N = 0; T = 0 3

4 Flexão Composta Flexão Composta A tensão normal provocada por flexão pura pode ser composta com a tensão normal devido à carga axial e com a tensão devida ao carregamento de corte e/ou pelo momento fletor. y y M N x M N x V M 0; V = 0; N 0; T = 0 M 0; V 0; N 0; T = 0 4

5 Flexão Pura Equações de equilíbrio estático Um binário M-M define-se como dois momentos de igual intensidade e sentidos opostos. O momento M irá produzir uma distribuição de esforços σ x da com a direção xx, produzindo assim na secção uma força resultante em xx, um momento segundo yy e outro momento segundo zz. Secção C Secção C 5 A secção C está em equilíbrio estático logo os somatórios da resultante dos esforços são nulos: F x = 0 ; M y = 0 e M z = 0

6 Flexão Pura Equilíbrio estático Mz Secção C M O parte do corpo AC está em equilíbrio estático. A outra parte CB vai desenvolver um perfil de tensões normais de compressão (-) e tensões normais de tração (+) ao longo da secção C. C As tensões normais σ x são negativas quando a coordenada y for positiva. Equilíbrio de momentos no eixo zz M z = 0 න yσ x da + M = 0 A M = න yσ x da A 6

7 Flexão Pura - Considerações 7 Viga com um plano de simetria em flexão pura: O elemento permanece simétrico; Flete uniformemente, formando um arco circular; A curvatura em todos os pontos da barra é a mesma; O plano transversal passa pelo centro do arco, mantendo-se plano; O comprimento AB diminui, enquanto o de A B aumenta; Existe uma superfície neutra (fibra neutra), paralela às superfícies superior e inferior e para a qual não se verifica alteração do comprimento; As tensões e extensões são negativas (compressão) acima da fibra neutra e positivas (tração) abaixo;

8 Flexão Pura Campo de Deslocamentos e Extensão Considerar um segmento de viga de comprimento L. Após deformação, o comprimento da superfície neutra permanece inalterável. Nas restantes secções temos: Deslocamento L = ρθ L = ρ y θ δ x = L L = ρ y θ ρθ = yθ Extensões ε x = δ x L ε max = c ρ ρ = = yθ ρθ = y ρ c ε max ε x = y c ε max 8 ε x = y ρ A extensão varia linearmente com a coordenada y c distância entre a fibra neutra e a fibra mais afastada

9 Flexão Pura Tensão normal Num material linear-elástico, temos σ x = Eε x = y c Eε max σ x = y c σ max A tensão varia linearmente com a coordenada y Pelo equilíbrio estático, σ F x = 0 F x = න σ x da = 0 A Pelo equilíbrio estático, σ M z = 0 M z = 0 M = න yσ x da A 9 F x = න y A c σ maxda = 0 F x = σ max c න yda = 0 A O 1º momento relativo ao plano neutro é zero. Portanto a superfície neutra tem de passar pelo centroide da secção. M = න y y A c σ max M = σ max න y 2 da = σ max I c A c z σ x = y c σ max σ x = y Mc c I z σ x = My I z da σ max = Mc I z I z momento de inercia

10 Vigas - Módulo de elasticidade da secção A tensão normal máxima provocada por flexão é dada por: σ max = Mc I z = M S S módulo de elasticidade da secção Uma viga com maior S terá, logicamente, menor valor de tensão máxima. Considerando uma viga retangular, S = I z c = bh 3 12 h 2 = 1 6 bh2 = 1 6 Ah Entre 2 vigas retangulares com igual área transversal, a que possuir maior h terá maior capacidade de resistência à flexão. 1 Os perfis normalizados (I, H, U, etc.) são projetados para possuir elevados valores de S.

11 Vigas - Propriedades de perfis normalizados Norma DIN S x S y 11

12 Flexão Simples ou Flexão Transversal esforço transverso Esforço Transverso As estruturas sujeitas ao esforço de corte sofrem internamente tensões de corte que variam ao longo da sua seção. Quando o esforço transverso é significativo as secções já não se mantêm planas. 12 A tensão de corte é geralmente ignorada quando a razão entre comprimento e a altura da viga for igual ou superior a 10.

13 Flexão Simples ou Flexão Transversal esforço transverso Determinação das tensões de corte. 13

14 Flexão Simples ou Flexão Transversal esforço transverso Fazendo o equilíbrio das forças, σ F x = 0 τ tdx + න A σda න A σ da = 0 τ tdx = න A M I z yda + න A M + dm I z yda τ tdx = dm I z න A yda τ = 1 t I z dm dx න A yda dm dx = V Q = න A yda = തy A Momento estático de Inercia da figura plana em relação a linha neutra τ = VQ t I z 14

15 Flexão Simples ou Flexão Transversal esforço transverso Vigas de secção retangular Momento estático de Inercia Q = തy A = y h 2 y h y b 2 Q = 1 2 h 2 4 y2 b I z = bh3 12 τ = VQ t I z = 6V bh 3 h 2 4 y2 A distribuição da tensão de corte é parabólica. A tensão de corte é máxima em y = 0. τ max = 3 2 V A 15

16 Flexão Simples ou Flexão Transversal esforço transverso Vigas de secção circular Momento estático de Inercia Q = തy A = 2 3 R2 r Momento de Inercia I z = πr4 4 τ = VQ t I z = 4 3 V πr 2 1 r2 R A distribuição da tensão de corte é parabólica. A tensão de corte é máxima em y = 0. τ max = 4 3 V A 16

17 Flexão Pura desviada Até agora, a análise de flexão pura esteve limitada a elementos sujeitos a momentos fletores que atuam num plano de simetria do elemento (Fig. A e B). Fig. A Fig. B Os elementos permanecem simétricos e fletem no plano de simetria. O eixo neutro da secção coincide com o eixo do momento. Consideramos agora situações em que os momentos não atuam num plano de simetria do elemento (Fig. C e D ). Fig. C Fig. D Não se pode assumir que o elemento irá fletir segundo o plano do momento. 17 Nestas situações, geralmente, a fibra neutra da secção não coincide com o eixo do momento.

18 Flexão Pura desviada = O princípio da sobreposição é aplicado para determinar a distribuição de tensões na situação mais geral de Flexão Pura desviada. Decompor o momento nas respetivas componentes segundo cada uma das direções: M z = Mcos θ M y = Msen θ Associar as tensões existentes em cada direção: σ x = M zy I z + M yz I y No linha neutro temos, σ x = 0 + Mcos θ y I z + I zsen θ I y cos θ = y z Msen θ z I y = 0 = tg φ 18 y = I z I y tg θ z

19 Flexão Composta A distribuição de tensão devida a cargas excêntricas é determinada por sobreposição de: - distribuição uniforme devida à carga centrada; - distribuição linear devida ao momento fletor; Carregamento Excêntrico: F = P M z = Pd M 0; V = 0; N 0; T = 0 σ x = σ x axial + σ x flexão = P A M zy I z 19 A validade deste resultado requer que: - as tensões fiquem abaixo do limite proporcionalidade; - as deformações tenham efeito desprezável na geometria; - as tensões não sejam determinadas na vizinhança dos pontos de aplicação da força;

20 Flexão Composta desviada Considerar um elemento reto solicitado por forças excêntricas iguais e opostas. Por equilíbrio estático, a força excêntrica é equivalente a uma força centrada e a dois momentos: P Carga concentrada M y = Pa M z = Pb Pelo princípio da sobreposição, a distribuição de tensões é dada por: σ x = P A M zy I z + M yz I y Como a linha neutra σ x = 0 pode ser determinada segundo: M z y I z = P A + M yz I y y = I zm y I y M z z + PI z AM z 20

21 Concentração de Tensões A concentração de tensões pode ocorrer: Na vizinhança dos pontos onde os esforços são aplicados; σ max = K Mc I Na vizinhança de variações bruscas de secção; 21

22 Equação da Linha Elástica Retomando o equilíbrio estático na secção e a extensão segundo o eixo x, temos; ε x = y ρ σ x = Eε x σ x = Ey ρ M z = න yσ x da A E M z = න A ρ y2 da = EI z ρ 1 ρ = M z EI z 1 ρ ρ - Curvatura - Raio de curvatura 22

23 Equação da Linha Elástica Considerando um ponto Q da linha elástica, temos: y x - deslocamento vertical θ x - rotação da secção Pelo calculo matemático temos : θ x = dy dx 1 ρ = d 2 y dx dy dx d2 y dx 2 As rotações são pequenas logo dy dx é muito pequeno 1 ρ = M z EI z d2 y dx 2 = M z x EI z Equação diferencial da linha elástica 23

24 Equação da Linha Elástica d 2 y dx 2 = M z x EI z 1º Integração dy dx = න M z x dx + C EI 1 z 2º Integração y x = න න M z x EI z dx + C 1 dx + C 2 As constantes C 1 e C 2 são calculadas com as chamadas condições de fronteira 24

25 Equação da Linha Elástica - Exemplo Exemplo 1 - Reações 3 - Condições de fronteira 2 Momento fletor 4 - Deslocamentos dv x dx = ω x dm x dx = V x 25