RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

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1 Terceira Edição CAPÍTULO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Ferdinand P. eer E. Russell Johnston, Jr. Deflexão de Vigas por Integração Capítulo 7 Deflexão de Vigas por Integração 7.1 Introdução 7. Deformação de uma Viga devido a Carregamentos Transversais 7. Equação da Linha Elástica 7. Método de Superposição 7 -

2 7.1 Introdução Determinar a deflexão de vigas prismáticas submetidas a um dado carregamento. No cap., uma viga prismática sob flexão pura se encurva tomando a forma de um arco de circunferência. Para o caso de uma viga sob carregamento transversal, a curvatura da S.N. é: 1 M ( x) Sendo: M momento fletor na seção; E módulo de elasticidade longitudinal; I momento de inércia da seção transversal em relação à L.N Deformação de uma Viga devido a Carregamentos Transversais Para a viga em balanço da figura: 1 M ( x) 1 Px onde x é a distância da extremidade esquerda da viga até a seção considerada. A equação obtida mostra que a curvatura da S.N. varia linearmente com x Na extremidade livre A, Na extremidade engastada, 1 1 ρ A 0, P L ρ A, PL 7 -

3 7. Deformação de uma Viga devido a Carregamentos Transversais Para a viga biapoiada da figura: Reações de apoio em A e C; Diagrama de momento fletor (DMF); Deformação de uma Viga devido a Carregamentos Transversais A curvatura é zero nos pontos onde o momento é nulo (extremidades da viga e ponto E). 1 M ( x) M positivo (entre A e E) concavidade voltada para cima; M negativo (entre E e D) concavidade voltada para baixo; A curvatura é máxima (menor raio de curvatura) onde o momento é máximo. A curvatura fornece uma idéia razoável da forma da viga deformada. 7-6

4 7. Equação da Linha Elástica Nos capítulos anteriores y representava a distância de uma certa fibra da seção transversal até a L.N.; Neste capítulo, y representa o deslocamento vertical de um ponto (deformação transversal ou flecha) Do cálculo diferencial, a expressão da curvatura de uma curva é dada por: d y 1 d y dx Como: 1 M ( x) d y dy dx dx 1 dx Equação da Linha Elástica Equação diferencial da linha elástica de uma viga: d y M( x) Integrando, e sabendo que θ é o ângulo (em radianos) que a tangente à curva elástica no ponto Q forma com a horizontal: dx x dy 1 M xdx C1 dx 0 x x 1 y dx M xdx C1x C 0 0 x x 1 ou y M xdxc1dxc 00 A primeira equação define a declividade θ da viga no ponto Q; A segunda equação define a flecha y da viga no mesmo ponto. 7-8

5 7. Equação da Linha Elástica As constantes C 1 e C são determinadas a partir das condições de contorno da viga. x x 1 y M xdxc1dxc 00 Viga simplesmente apoiada: y A 0, y 0 Viga biapoiada: y A 0, y 0 Viga em balanço: y 0, 0 Caso geral de carregamento faz-se necessário dividir a viga em várias partes (seções ou componentes) para representar a equação do momento para cada uma. Com isso, outras constantes de integração surgem, o que exige a aplicação da condição de continuidade da Linha Elástica e da Declividade como condições de contorno. A A 7-9 Exemplo 7.1 A viga em balanço A tem seção transversal uniforme e suporta a força P. Determinar a flecha e a declividade da viga no ponto A. 7-10

6 Exemplo 7. A viga prismática A simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída q por unidade de comprimento. Determinar a equação da linha elástica e a flecha máxima Exemplo 7. Determine para a viga prismática, com carregamento indicado, a flecha e a declividade no ponto D. 7-1

7 Exemplo 7. AvigaAC suportaumacargaconcentradap na extremidade do balanço. Para a parte A da viga, pede-se: (a) A equação da linha elástica; (b) A flecha máxima; (c) O valor numérico de y max para os seguintes dados. W I E P0 kn L,5 m a1, m z 0610 m 00 GPa y x Método de Superposição Princípio da Superposição: A deformação e a declividade de vigas submetidas a vários carregamentos podem ser obtidas pela superposição do efeito de cada carregamento individualmente, que após somados dão o resultado do carregamento como um todo. Este procedimento é facilitado pela existência de tabelas que mostram o efeito de vários tipos de cargas e condições de apoio de vigas. 7-1

8 Exemplo 7.5 Para a viga e carregamento mostrado, determine a declividade e a flecha no ponto. SOLUÇÃO: Superponha as deformações devido ao Carregamento I e Carregamento como mostrado SOLUÇÃO: Carregamento I 6 y I I 8 Carregamento 8 y C C 18 No segmento C da viga, o momento fletor é zero e a linha elástica é uma linha reta. C 8 y 18 L

9 SOLUÇÃO: Combine as duas soluções, I y y y I y