EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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Giovana Morais Ávila
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1 IBMEC Graduação em Engenharia Civil Teoria das Estruturas I EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Classifique as estruturas abaixo quanto à estaticidade: (a) : estrutura isostática (4 variáveis, 4 equações) (b) : estrutura hipostática (3 variáveis, 4 equações) (c) : estrutura hiperestática (6 variáveis, 5 equações)

2. Calcule as reações de apoio e trace os diagramas de esforços das vigas abaixo: (a) 1ª parte cálculo das reações: M B,dir = 0 2V A + 10 = 0 V A = 5,0kN M D = 0 8V A + 10 10 + 3V C 4.3.1,5 = 0 8.

2 2. Calcule as reações de apoio e trace os diagramas de esforços das vigas abaixo: (a) 1ª parte cálculo das reações: M B,dir = 0 2V A + 10 = 0 V A = 5,0kN M D = 0 8V A V C 4.3.1,5 = 0 8. ( 5) + 3V C 18 = 0 3V C = = 58 V C = 58 3 = 19,3kN F y = 0 V A + V C + V D 4.3 = 0 V D = 12 V C V A = 12 19,3 + 5,0 = 2,3kN 2ª parte diagrama de esforços: DEC DMF (b) 1ª parte cálculo das reações: M B,dir = 0 2V C = 0 V C = 5,0kN F y = 0 V A + V C = 0 V A = = 15,0kN M A = 0 6V C M A = 0 M A = = 30,0kN. m 2ª parte diagramas de esforços: DEC DMF

3 3. Uma viga biapoiada com 4m de comprimento possui um esforço cortante dado pela equação Q(x) = 26/3 4x x²/8, onde x é a distância do apoio mais à esquerda até a seção em questão. Sabendo que a viga não possui nenhuma carga momento aplicada, determine: (a) A distribuição de carregamento atuante na viga: Dada a equação do esforço cortante, podemos facilmente obter a distribuição de carregamento através da relação diferencial entre Q e q: dq dx = q Temos, portanto, que: - Para x = 0, q(x) = 4kN/m - Para x = 4, q(x) = 4 + 4/4 = 5kN/m q(x) = 4 + x 4 Como a função é linear e contínua, só há um carregamento, linear, na viga. Logo a viga possui o seguinte comportamento: (b) O valor de x em que o momento é máximo (ou mínimo): Para resolver este item precisamos de outra relação diferencial, dessa vez entre o esforço cortante e o momento fletor: dm dx = Q Para determinar o valor máximo ou mínimo de uma função, devemos determinar o ponto de inflexão da função. Ou seja, devemos calcular o valor de x para que a derivada da função seja 0. No entanto, a derivada da função momento, como visto acima, é a própria função do esforço cortante. Sendo assim: Q(x) = 0 26 x2 4x 3 8 = 0 = ( 4) 2 4. ( 26 3 ). ( 1 13 ) = = 20,33 x = 4 ± 2. ( 1 = (4 ± 4,51). 4 8 ) x 1 = 2,04m; x 2 = 34,04m Sabemos que a solução, para ter significado físico, deve ser positiva e menor que 4m. Sendo assim, o valor de x em que a função é máxima ou mínima é 2,04m. (c) O valor do momento máximo (ou mínimo): Usando a mesma relação diferencial do item (b), temos que: x M = Qdx 0 dm dx 2,04 = ( = Q dm = Qdx 4x x2 8 ) dx = 26x 3 4x2 2 x3 24 2,04 0 M = 26.2,04 4.2,042 2,043 = 9,0kN. m

4 4. Decomponha os pórticos abaixo: (a) Uma possível solução é a seguinte: (b) Uma possível solução é a seguinte:

5 5. Decomponha os pórticos abaixo e, em seguida, calcule as reações de apoio e trace os diagramas de esforços: (a) As cargas concentradas estão no meio das vigas inclinadas. 1ª parte decompor os pórticos 2ª parte calcular as reações No primeiro pórtico temos: M F,esq = 0 2V D + 2H D = 0 V D = H D + 5 M C = 0 4V D 4H D = 0 4V D + 4H D = = 56 V D + H D = 56 4 = 14 2H D + 5 = 14 H D = 9 2 = 4,5kN V D = H D + 5 V D = 9,5kN F x = 0 H C + H D 2.4 = 0 H C = 8 4,5 = 3,5kN F y = 0 V C + V D = 0 V C = 20 9,5 = 10,5kN No segundo pórtico temos: M A = 0 4V B H D 4V D = 0 4V B = ,5 4.4,5 16 = = 44 V B = 11,0kN F y = 0 V A + V B V D = 0 V A = ,5 11,0 = 18,5kN M E,esq = 0 2V A + 6H A = 0 6H A = 2.18,5 10 = 27 H A = 4,5kN F x = 0 H A + H B H D 2.4 = 0 H B = 8 + 4,5 4,5 = 8,0kN 3ª parte traçar os diagramas Devemos calcular as projeções dos esforços em cada seção relevante nas vigas inclinadas, sabendo que o ângulo das vigas é de 45.

6 Devemos calcular, primariamente, os esforços nos nós G, E, D e F. Os nós I, J, K e L não precisam ser calculados, uma vez que a aplicação de carga é a mesma para todos os nós. Assim é mais simples projetar a carga de 10kN aplicada, sabendo que ela irá contribuir com 10.cos(45 ) = 7,1 nos esforços cortante e normal em cada uma dessas seções. Os nós E, D e F só precisam ser calculados para as barras à direita, tendo em vista que o esforço nas barras à esquerda pode ser calculado somando ou subtraindo as projeções das cargas de 10kN. Raciocínio análogo vale para o nó H. - Nó G: esforço vertical de V A = 18,5kN, e esforço horizontal de H A = 4,5kN. Portanto, a projeção transversal à viga é de (18,5.0,707 4,5.0,707) = 9,9kN para cima. A projeção axial será (18,5.0,707+4,5.0,707) = 16,3kN comprimindo a viga. - Nó E (barra à direita): esforço vertical de (V A 10 = 8,5kN) e esforço horizontal de H A = 4,5kN. A projeção transversal é de (8,5.0, ,5.0,707) = 9,2kN para cima. A projeção axial é de (8,5.0,707 4,5.0,707) = 2,8kN tracionando a viga. Para os próximos nós podemos olhar somente para o primeiro pórtico analisado, para simplificar as cargas. - Nó D (barra à direita): esforço vertical de V D = 9,5kN e esforço horizontal de H D = 4,5kN. Projeção transversal de (9,5.0,707 4,5.0,707) = 3,5kN para cima. Projeção axial de (9,5.0, ,5.0,707) = 9,9kN comprimindo a viga. - Nó F (barra à direita): esforço vertical de (V D 10 = -0,5kN) e esforço horizontal de V D = 4,5kN. Projeção transversal de (-0,5.0, ,5.0,707) = 2,8kN para cima. Projeção axial de (-0,5.0,707 4,5.0,707) = -3,5kN (ou seja, comprimindo a viga). Sendo assim, podemos partir para o traçado dos diagramas em si. O traçado do DMF é análogo ao processo para barras perpendiculares. Logo:

7 O DEC pode ser traçado somando-se ou subtraindo-se as cargas aplicadas na estrutura, à medida que formos passeando por ela, sempre da esquerda para a direita. Lembrando que os esforços calculados nos nós G, E, D e F acima já são os esforços finais naquelas seções. O referencial abaixo para os pilares está como negativo para a direita e positivo para a esquerda. O DEN pode ser calculado de forma mais direta, assumindo que o esforço normal nas colunas é igual à reação vertical nos seus respectivos apoios (comprimindo os pilares). O esforço normal nas vigas inclinadas já foi calculado anteriormente.

8 (b) 1ª parte decompor os pórticos Esse pórtico pode ser resolvido diretamente, sem a necessidade de decompô-lo. No entanto, para efeito didático, faremos a sua decomposição. 2ª parte calcular as reações No primeiro pórtico temos: M C = 0 2V A = 0 2V A = 8 16 = 8 V A = 4,0kN F y = 0 V A + V C 4.2 = 0 V C = 8 ( 4) = 12,0kN F x = 0 H C = 0 H C = 8,0kN No segundo pórtico temos (lembrando que H c possui sentido contrário ao que previamente estimamos): F y = 0 V B V C = 0 V B = = 10,0kN F x = 0 H B + H C 5 = 0 H B = 5 ( 8) = 13,0kN M B = 0 M B V C. 2 H C. 4 = 0 M B = ( 8) = = 114,0kN. m

9 3ª parte traçar os diagramas O traçado aqui é imediato, seguindo os princípios que discutimos em sala de aula DEC (o referencial abaixo para os pilares está como negativo para a direita e positivo para a esquerda) DEN DMF Devido à escala do gráfico, não é possível indicar a abertura das parábolas, mas sabe-se que a abertura para o carregamento de 2kN/m é de 2.4²/8 = 4kN.m e a para os carregamentos de 4kN/m é 4.2²/8 = 2kN.m.

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