Esforços Elementares em Peças Lineares

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1 CAPÍTULO III Esforços Elementares em Peças Lineares SEMESTRE VERÃO 2004/2005 Maria Idália Gomes 1/13

2 Capitulo III Esforços Elementares em Peças Lineares 3.1 Definição dos esforços elementares Uma estrutura sujeita a um sistema de cargas mantém-se em equilíbrio devido à correcta distribuição dos apoios. As forças reactivas dependem das forças activas e todas em conjunto determinam as forças de ligação entre as diversas partículas que constituem a estrutura. O corpo representado na figura está em equilíbrio submetido a um conjunto de forças, activas e reactivas. P B G A Figura 1 S Considerando uma qualquer secção S que separa o corpo em duas partes A e B, as acções moleculares exercidas pela parte A sobre a parte B equilibram as forças externas que actuam na parte B. Fazendo-se a redução deste sistema de forças interiores ao centro de gravidade G da secção S por intermédio das forças externas que actuam na parte B obtém-se R e z R M. M z Rz Rx B Ry M t x Figura 2 y M y Maria Idália Gomes 2/13

3 Apenas com sentidos opostos obtinha-se a redução do sistema de forças interiores sobre a outra parte. Assim, a força R que actua na parte esquerda é a resultante das forças exteriores que fcam à direita e reciprocamente. O momento M que actua na parte esquerda é o momento resultante das forças exteriores que ficam à direita, e reciprocamente. O conjunto de forças estaticamente equivalente à acção de uma parte do corpo sobre a outra, através da secção qua as separa, é o esforço na secção. Decompondo as resultantes R e R e os momentos M R e M R em componentes normais e tangenciais ao plano da secção considerada, obtêm-se os esforços elementares ou também designados por esforços simples. R = Ri+ R j+ Rk R= Ni+ V j+ Vk x y z y z sendo: N Esforço normal ou axial V y Esforço transverso segundo y V z Esforço transverso segundo z M Mi M j Mk M Mi M j Mk e = x + y + z = t + y + z sendo: M t Momento torsor ou momento de torsão M y Momento flector segundo y M z Momento flector segundo z Maria Idália Gomes 3/13

4 Quando as estruturas admitem um plano de simetria e as forças estão todas nesse plano a análise dos esforços elementares ou simples é feita nesse plano (Figura 3 e 4). Figura 3 Figura 4 Se o plano de simetria for o plano xy obtém-se: R = Ni + Vj e M = M k z Na figura 5 estão indicados os esforços elementares convencionais para positivos. Figura 5 Maria Idália Gomes 4/13

5 3.1.1 Esforço Normal (N) A componente N é designada por esforço normal ou esforço axial e o seu efeito é de aproximar, esforço de compressão, ou afastar, esforço de tracção, secções imediatamente próximas. Compressão Ocorre quando há duas forças, na mesma Sinal ( - ) direcção, empurrando em sentidos opostos. Exemplo: pisar uma bola Tracção Ocorre quando há duas forças, na mesma Sinal ( + ) direcção, e estas estão em sentidos opostos. Exemplo: O jogo da corda Esforço normal é a soma algébrica das projecções sobre a normal à secção das forças exteriores situadas de um mesmo lado da secção. Maria Idália Gomes 5/13

6 3.1.2 Esforço Transverso ou Cortante (V) A componente V é designada por esforço transverso e tende a fazer com que a secção deslize sobre a secção imediatamente a seguir. Corte Sinal ( + ) Ocorre quando há o deslizamento entre secções paralelas devido à forças paralelas. Sinal ( - ) Exemplo: acontece quando uma tesoura corta um pedaço de papel Esforço transverso é a soma algébrica das projecções sobre o plano da secção das forças exteriores situadas de um mesmo lado da secção. Maria Idália Gomes 6/13

7 3.1.3 Momento Flector (M) A componente M é designada por momento flector e tende a fazer com que a secção gire em torno de um eixo localizado no seu próprio plano. Flexão Sinal ( + ) Ocorre quando há carregamento transversal entre os apoios Sinal ( - ) Exemplo: acontece quando algumas pessoas se põe no meio de um banco (antes deste quebrar) Momento flector é a soma vectorial das projecções sobre o plano da secção dos momentos das forças, situadas de um mesmo lado da secção, em relação ao seu centro de gravidade. Maria Idália Gomes 7/13

8 3.1.4 Momento Torsor (T) A componente T é designada por momento torsor ou momento de torsão e o seu efeito é o de torcer a secção em torno da normal. Torção Ocorre quando há rotação das extremidades em direcções opostas. Exemplo: acontece quando se torce a roupa molhada para deixá-la mais enxuta Momento torsor é a soma algébrica dos momentos, em relação a um eixo perpendicular ao plano da secção e passando pelo seu centro de gravidade, das forças exteriores situadas de um mesmo lado da secção. Maria Idália Gomes 8/13

9 3.2 Diagramas de Esforços Elementares Podem-se conhecer os valores dos esforços elementares em qualquer secção de uma peça linear, pela via analítica leis dos esforços elementares ou pela via gráfica diagrama dos esforços elementares. Para tal, adoptam-se para eixos de referência o eixo da peça (x) e o que lhe é perpendicular (y), sendo xy o plano das cargas. Define-se a posição da secção genérica pela sua abcissa x e exprime-se cada esforço elementar em função dessa abcissa Regras básicas para o traçado dos diagramas de esforços elementares O diagrama dos momentos flectores é sempre representado do lado das fibras traccionadas, pelo que, de acordo com a convenção de sinais adoptada, os valores positivos ficam marcados do lado de baixo do eixo da peça e os negativos do lado de cima desse mesmo eixo. Os restantes esforços elementares são marcados do lado de acima do eixo os valores positivos e do lado abaixo do eixo da peça os valores negativos. Para se fazer o traçado dos diagramas é conveniente conhecer as relações que existem entre a carga, esforço transverso e momento flector. Vamos supor que uma carga distribuída de ordenada p actua uma dada secção S sujeita ao esforço transverso V e ao momento flector M, ambos positivos. p M V V + dv M + dm S dx Maria Idália Gomes 9/13

10 Para a secção infinitamente próxima verifica-se uma variação infinitésimal daqueles esforços de dv = q dx e dm = Vdx A partir da equação diferencial dv p = pode concluir-se: dx - a ordenada de carga p numa secção, mede a tangente à curva que define o diagrama dos esforços transversos, V. Se na vizinhança de uma secção p=0, a tangente à curva dos V nessa secção é zero, isto é, é horizontal; - entre as secções A e B não existem cargas concentradas aplicadas e a lei das cargas distribuídas (equação da curva que limita o diagrama de cargas ) é p(x), então, se entre as secções A e B: p(x) > 0, o esforço transverso decresce; p(x) < 0, o esforço transverso cresce; p(x) = 0, o esforço transverso é constante; VB xb xb - dv = p( x) dx dv = p( x) dx V V = p( x) dx e porque se B A VA xa xa caminha no eixo x de A para B no sentido positivo do eixo a variação do esforço transverso entre as secções A e B igual à área do diagrama das cargas entre essas secções. Maria Idália Gomes 10/13

11 A partir da equação diferencial dm V = pode concluir-se: dx - o valor do esforço transverso V, numa secção, é igual à tangente à curva que limita o diagrama de momentos flectores, M. Se na vizinhança de uma secção V=0, então nessa secção a tangente à curva dos M é nula, e M será máximo ou mínimo; - entre as secções A e B não existem cargas concentradas nem momentos aplicados e a equação que limita o diagrama dos esforços transversos é V(x), então, se entre as secções A e B: V(x) > 0, o momento flector cresce; V(x) < 0, o momento flector decresce; V(x) = 0, o momento flector é constante; MB xb xb - dm = V ( x) dx dm = V ( x) dx M M = V ( x) dx, porque se caminha B A MA xa xa no eixo x de A para no sentido positivo do eixo. A variação do momento flector entre as secções A e B igual à área do diagrama dos esforços transversos entre as secções. Porque se verifica 2 dmx ( ) p =, pode concluir-se: 2 dx - para cargas positivas, p(x) > 0, a curva que limita o diagrama dos M é côncava ( ) p p(x) > 0 x Maria Idália Gomes 11/13

12 e para cargas negativas, p(x) < 0, a curva que limita o diagrama dos M é convexa ( ). p x p(x) < 0 As cargas distribuídas, os esforços transversos e os momentos flectores variam ao longo do eixo x da peça sendo definidos por equações polinomiais. Se: o grau de p(x) é n então o grau de V(x) é n + 1 e o grau de M(x) é n + 2. Resumo das convenções de sinais Convenção (+) Convenção (-) Maria Idália Gomes 12/13

13 Exercício de Aplicação Enunciado a) Trace os diagramas de esforços, assinalando os pontos notáveis, graus das curvas e cálculos b) escreva as leis de variação dos esforços no troço EF c) faça o diagrama de corpo livre no troço BC. Exercício de Aplicação Enunciado Figura Para a estrutura, com: p = 25 kn/m e q = 60 kn/m: p B a) trace os diagramas dos esforços, assinalando os pontos notáveis, graus das curvas e cálculos b) escreva as leis de variação daqueles esforços na barra ACE 3,0 m 4,0 m D E 40 kn C F A 45 kn.m G c) faça o diagrama de Corpo Livre da barra DE. Maria Idália Gomes 13/13