Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão"

Cacilda Brás
5 Há anos
Visualizações:

1 31 de outubro de 2016

2 (a) Peças sem acoplamento. (b) Peças com acoplamento.

3 (a) Peças sem acoplamento. (b) Peças com acoplamento. Na primeira situação, mostrada na Figura (a), as peças trabalham de forma independente e sofrem deslizamentos relativos de umas sobre as outras nas superfícies de contato.

4 (a) Peças sem acoplamento. (b) Peças com acoplamento. Na segunda situação, ilustrada na Figura (b), a três peças estão unidas umas as outras de tal forma que o deslizamento relativo é impedito. Para manter esta união surgem nessas superfícies longitudinais tensões de cisalhamento que impedem os deslizamentos.

5 (a) Peças sem acoplamento. (b) Peças com acoplamento. Objetivo do capítulo: estabelecer a relação entre o esforço cortante e a tensão de cisalhamento na flexão em vigas.

6 Seja a seção retângular b h da Figura. Seja uma camada de fibras AB // LN, de ordenada y 1 em relação a LN. Sejam as áreas A i e A s, respectivamente inferior e superior a AB. Sejam M Ai e M As seus respectivos momentos estáticos (momento de 1 0 ordem) em relação à LN. Demonstre que: M As =M Ai = b 2 [ y 1 2 ( h 2 ) 2 ] b/2 b/2 As z = LN A A i B y = ES y 1 h/2 h/2

7 Demonstração: z = LN dy y = ES da=b.dy M Ai = Ai yda= h/2 y 1 ybdy=b y2 2 M As = As yda= y 1 h/2 ybdy=b y2 2 h/2 y 1 = b 2 y 1 h/2 = b 2 [( ) h 2 y1 2] 2 [ y 2 1 ( ) h 2 ] 2 = M Ai M Ai > 0 e M As < 0 M As = M Ai então M As + M Ai = M A = 0, o momento estático da área total em relação a um eixo baricêntrico é igual a zero.

8 Observações: 1 A partir deste ponto do texto, o valor absoluto do momento estático de A i ou de A s em relação à LN passa a ser indicado por: M s = M Ai = M As = b [ ( h ] 2 2 )2 2 y 1 2 A Figura ilustra a variação de M z em relação a y. Nesta, indica-se seu valor maxímo, que ocorre na LN e equivale a:

9 Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção Retangular Constante Sejam conhecidos o DMF e o DEC da viga biapoiada da Figura.

10 Como estudado no Capítulo 3, o tensor de tensões é simétrico, o que implica na existência concomitante de tensões de cisalhamento (τ) de mesmo valor em planos ortogonais. Para o cálculo das tensões de cisalhamento, além das hipóteses admitidas na análise das tensões normais de flexão, admite-se a hipótese básica de que a tensão de cisalhamento τ é constante na largura da seção. A Figura ilustra essas situações, para uma camada de fibras AB//LN, de ordenada y.

11 O elemento de volume, da Figura da direita, de comprimento elementar dx, limitado pelas seções de abscissas x e x + dx e o elemento de área dy dz em torno de um ponto P(y,z) genérico da seção determinam um elemento de volume dx dy dz.

12 F= Ai σ xda resultante das tensões normais na face da esquerda F+ df= Ai (σ x+ dσ x )da resultante das tensões normais na face da direita.

13 A condição de equilíbrio é a existência da força df no plano longitudinal superior, de área bdx. Portanto: dm df=τ xy bdx= dσ x da= I yda obtém -se: Ai Ai τ xy =τ= 1 dm yda I z b dx Ai } {{ } M s

14 τ xy =τ= 1 dm I z b dx yda Ai } {{ } M s Lembrando que dm dx = Q (esforço cortante Q=Q y) tem-se então: τ=τ xy = QM s I z b

15 τ= QM s I z b retângulo M s = f (y)= b 2 [ ( h 2 )2 y 2] nota-se que a variação de M s é uma parábola de 2 0, então a variação deτ=τ(y) é também uma parábola do 2 0 grau. Analisando a seção retangular, a tensão de cisalhamento máxima,τ max, equivale a: y=0 M max s = bh2 8 τ max= Qbh2 /8 bbh 3 /12 = 3 2 Q bh τ max = 1,5 Q A onde A=bh é a área da seção. Observa-se queτ max = 1,5, e portantoτ med (50% superior aτ med = Q A )

16 Observações Demonstra-se da Teoria da Elasticidade (Mecânica dos sólidos I) que a tensão de cisalhamento não é exatamente constante na largura da seção, conforme a hipótese básica. Então a tensão calculada é a tensão média na largura, enquanto que a tensão máxima é calculada na teoria da elasticidade.τ med = QM s I z b τ max A LN B y τ med

17 A Tabela (extraida do livro Beer e Johnstom), mostra que o erro cometido varia com a razão b h. Tabela : Erro com a variação de b/h b/h 1/4 1/ τ max /τ med 1,008 1,033 1,126 1,396 1,988 diferença percentual 0,8% 3,3% 12,6% 39,6% 98,8%

18 Na realidade as seções não permanecem planas, mas empenadas, pois a deformação específica no cisalhamento é a distorção angularγ= τ G Esta deformação, em um cálculo mais rigoroso, altera a análise de tensões e deformações na flexão simples. No entanto, este efeito é desprezado, pois o erro cometido é muito pequeno, exceto na região de aplicação de cargas concentradas.

19 Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção de Diferentes Formas Admite-se a mesma hipótese básica da seção retangular, isto é,τ constante na largura da seção. A variação da tensão de cisalhamento na seção obedece a mesma relação anteriormente definida, ou seja: τ= QM s I z t sendo t=t(y) é a largura (espessura) da camada considerada.

20 Considerando, por exemplo, um perfil T a Figura ilustra o diagrama deτ y onde observa-se uma descontinuidade na transição entre a mesa e a alma. b LN e τ τ max b 1

21 O mesmo ocorre para vigas de seção I. Em todos os casos, a tensão máxima (τ max ) é aquela avaliada na LN. Destaca-se ainda que na mesa o cálculo deτestá sujeito a erro considerável ( b h grande), mas de qualquer forma são tensões pequenas. b LN e τ τ max

22 1 - Uma viga simplesmente apoiada em seus extremos tem 200 mm de largura por 400 mm de altura e 4 m de comprimento. Esta viga suporta uma carga uniformemente distribuída sobre todo seu comprimento. A tensão longitudinal admissível é 12 MPa (tração e compressão) e a tensão tangencial horizontal admissível é de 0,8 MPa. Determine o valor máximo admissível da carga por unidade de comprimento. Resposta: q=21,4 kn/m.

23 3- Calcular o valor máximo admissível de uma carga P na extremidade livre de uma viga em balanço de 0,9 m. A seção transversal é constituída por três tábuas de madeira de seção 100 mm 50 mm, sabe-se queτ uniao =350 kpa. Para o valor de P, Calcular σ max. Resposta: P=3937,5 N eσ=9,45 MPa

24 9- Calcular as tensões máximas de tração, compressão e cisalhamento em uma viga engastada e livre de comprimento 0,38 m que suporta uma carga concentrada transversal de 6,7 kn na extremidade livre. A Figura mostra a seção transversal da viga (dimensões em mm). Resposta:σ t = 92,58 MPa;σ c = 277,75 MPa eτ=16,45 MPa

25 10- Uma viga de seção T (dimensões em mm) suporta cargas indicadas. Calcular a tensão: 1 tangencial máxima. Resposta: 694 kpa. 2 normal de máxima de compressão. Resposta: 11,73 MPa de compressão. 3 tangencial vertical a 3,4 m da extremidade esquerda e 60 mm acima da base. Resposta: 148,1 kpa 4 normal de flexão a 1,5 m da extremidade direita e 50 mm acima da base. Resposta: 6,17MPa de tração 2kN/m 3 m R 1 15 kn R m 2 m 2 m 75 50

26 15- O tensor de tensões apresentado para este exercício foi obtido aplicando a teoria da resistência dos materiais a uma viga com o carregamento mostrado na Figura. Esboce os gráficos projetados no plano xy que relacionam as tensõesσ x eτ xy com a posição no ponto e comente-os. Dados x e y em m, F em kn e tensões em kpa. σ= x(1 x)y 150(2x 1) ( 400y 2 1 ) 0 150(2x 1) ( 400y 2 1 ) kn/m z 1 m x 0,10 m 0,10 m y

27 (a) Resposta paraσ x

28 (b) Resposta paraτ xy

Documentos relacionados

Flexão Vamos lembrar os diagramas de força cortante e momento fletor

Flexão Vamos lembrar os diagramas de força cortante e momento fletor Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal são denominados vigas. Vigas são classificadas