Resistência dos. Materiais. Capítulo 3. - Flexão

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1 Resistência dos Materiais - Flexão cetatos baseados nos livros: - Mechanics of Materials - Beer & Jonhson - Mecânica e Resistência dos Materiais V. Dias da Silva

2 Índice Flexão Pura Flexão Simples Flexão Composta Deformações por flexão Extensão devido a flexão Propriedades das secções de viga Deformações numa secção transversa Concentração de Tensões Flexão desviada Equação da Línea Elástica 2

3 Flexão Pura e Flexão Simples y M x Flexão Pura Quando os elementos prismáticos estão sujeitos apenas a momentos fletores iguais e opostos no mesmo plano. M = Constante ; V = 0; N = 0; T = 0 dm dx = V V y M x Flexão Simples ou Flexão Transversal Cargas transversais concentradas ou distribuídas produzem forças internas equivalentes a uma força de corte (esforço transverso) e a momentos fletores. M 0; V 0; N = 0; T = 0 3

4 Flexão Composta Flexão Composta tensão normal provocada por flexão pura pode ser composta com a tensão normal devido à carga axial e com a tensão devida ao carregamento de corte e/ou pelo momento fletor. y y M N x M N x V M 0; V = 0; N 0; T = 0 M 0; V 0; N 0; T = 0 4

5 Flexão Pura Da estática, um binário M define-se como duas forças de igual intensidade e sentidos opostos. soma das componentes das forças em qualquer direção é nula. O momento é o mesmo em torno de qualquer eixo perpendicular ao plano e nulo em torno de qualquer eixo contido no plano. Estes requisitos podem ser aplicados aos somatórios das componentes e momentos das forças internas estaticamente indeterminadas: F x = σ x d = 0 M y = zσ x d = 0 M z = yσ x d = M 5

6 Flexão Pura - considerações 6 Viga com um plano de simetria em flexão pura: O elemento permanece simétrico; Flete uniformemente, formando um arco circular; curvatura em todos os pontos da barra é a mesma; O plano transversal passa pelo centro do arco, mantendo-se plano; O comprimento B diminui, enquanto o de B aumenta; Existe uma superfície neutra (fibra neutra), paralela às superfícies superior e inferior e para a qual não se verifica alteração do comprimento; s tensões e extensões são negativas (compressão) acima da fibra neutra e positivas (tração) abaixo;

7 Flexão Pura - Deslocamentos e Extensão Considerar um segmento de viga de comprimento L. pós deformação, o comprimento da superfície neutra permanece inalterável. Nas restantes secções temos: Deslocamento L = ρθ L = ρ y θ δ x = L L = ρ y θ ρθ = yθ Extensões ε x = δ x L = yθ ε max = c ρ ρ = ρθ = y ρ c ε max ε x = y c ε max c distância entre a fibra neutra e a fibra mais afastada ε x = y ρ extensão varia linearmente com a coordenada y 7

8 Flexão Pura - Tensão Tensão Num material linear-elástico, temos σ x = Eε x = y c Eε max σ x = y c σ max tensão varia linearmente com a coordenada y 8 Por equilíbrio estático, F x = 0 F x = F x = σ x d F x = σ max c = 0 y c σ maxd = 0 yd = 0 O 1º momento relativo ao plano neutro é zero. Portanto a superfície neutra tem de passar pelo centroide da secção. Por equilíbrio estático, M = σ max c y 2 d M z = M = y y c σ max d = σ max c σ x = y c σ max σ x = y c σ x = My I z yσ x d I z Mc I z = M σ max = Mc I z I z momento de inercia

9 Vigas - Módulo de elasticidade da secção tensão normal máxima provocada por flexão é dada por: σ max = Mc I z = M S S módulo de elasticidade da secção Uma viga com maior S terá, logicamente, menor valor de tensão máxima. Considerando uma viga retangular, S = I z c = bh 3 12 h 2 = 1 6 bh2 = 1 6 h Entre 2 vigas retangulares com igual área transversal, a que possuir maior h terá maior capacidade de resistência à flexão. 9 Os perfis normalizados (I, H, U, etc.) são projetados para possuir elevados valores de S.

10 Vigas - Propriedades de perfis normalizados Norma DIN S x S y 10

11 Flexão Simples ou Flexão Transversal esforço transverso Esforço Transverso s estruturas sujeitas ao esforço de corte sofrem internamente tensões de corte que variam ao longo da sua seção. Quando o esforço transverso é significativo as secções já não se mantêm planas. 11 tensão de corte é geralmente ignorada quando a razão entre comprimento e a altura da viga for igual ou superior a 10.

12 Flexão Simples ou Flexão Transversal esforço transverso Determinação das tensões de corte. 12

13 Flexão Simples ou Flexão Transversal esforço transverso Fazendo o equilíbrio das forças, F x = 0 σd σ d + τ tdx = 0 M I z yd + M + dm I z yd = τ tdx dm yd = τ tdx τ = 1 I z t I z dm dx yd dm dx = V Q = yd = y Momento estático da figura plana em relação a linha neutra τ = VQ t I z 13

14 Flexão Simples ou Flexão Transversal esforço transverso Vigas de secção retangular Momento estático Q = y = y h 2 y h y b 2 Q = 1 2 h 2 4 y2 b I z = bh3 12 τ = VQ t I z = V 1 2 h 2 4 y2 b bh 3 = 12 b 6V h 2 bh 3 4 y2 distribuição da tensão de corte é parabólica. tensão de corte é máxima em y = 0. τ max = 3 2 V τ med = V 14

15 Flexão Simples ou Flexão Transversal esforço transverso Vigas de secção circular Momento estático Q = y = 2 3 R2 r I z = πr4 4 τ = VQ t I z = 4 3 V πr 2 1 r2 R distribuição da tensão de corte é parabólica. tensão de corte é máxima em y = 0. τ max = 4 3 V 15

16 Flexão Pura desviada té agora, a análise de flexão pura esteve limitada a elementos sujeitos a momentos fletores que atuam num plano de simetria do elemento (Fig. e B). Fig. Fig. B Os elementos permanecem simétricos e fletem no plano de simetria. O eixo neutro da secção coincide com o eixo do momento. Consideramos agora situações em que os momentos não atuam num plano de simetria do elemento (Fig. C e D ). Fig. C Fig. D Não se pode assumir que o elemento irá fletir segundo o plano do momento. 16 Nestas situações, geralmente, a fibra neutra da secção não coincide com o eixo do momento.

17 Flexão Pura desviada = O princípio da sobreposição é aplicado para determinar a distribuição de tensões na situação mais geral de Flexão Pura desviada. Decompor o momento nas respetivas componentes segundo cada uma das direções: M z = Mcos θ M y = Msen θ ssociar as tensões existentes em cada direção: σ x = M zy I z + M yz I y No linha neutro temos, σ x = 0 + Mcos θ y I z I zsen θ I y cos θ + = y z Msen θ z I y = 0 = tg φ 17 y = I z I y tg θ z

18 Flexão Composta distribuição de tensão devida a cargas excêntricas é determinada por sobreposição de: - distribuição uniforme devida à carga centrada; - distribuição linear devida ao momento fletor; Carregamento Excêntrico: F = P M z = Pd M 0; V = 0; N 0; T = 0 σ x = σ x axial + σ x flexão = P M zy I z 18 validade deste resultado requer que: - as tensões fiquem abaixo do limite proporcionalidade; - as deformações tenham efeito desprezável na geometria; - as tensões não sejam determinadas na vizinhança dos pontos de aplicação da força;

19 Flexão Composta desviada Considerar um elemento reto solicitado por forças excêntricas iguais e opostas. Por equilíbrio estático, a força excêntrica é equivalente a uma força centrada e a dois momentos: P Carga concentrada M y = Pa M z = Pb Pelo princípio da sobreposição, a distribuição de tensões é dada por: σ x = P M zy I z + M yz I y Como a linha neutra σ x = 0 pode ser determinada segundo: M z y I z = P + M yz I y y = I zm y I y M z z + PI z M z 19

20 Concentração de Tensões concentração de tensões pode ocorrer: Na vizinhança dos pontos onde os esforços são aplicados; σ max = K Mc I Na vizinhança de variações bruscas de secção; 20

21 Equação da Linha Elástica Retomando o equilíbrio estático na secção e a extensão segundo o eixo x, temos; ε x = y ρ σ x = Eε x σ x = Ey ρ M z = yσ x d M z = E ρ y2 d = EI z ρ 1 ρ = M z EI z 1 ρ - Curvatura ρ - Raio de curvatura 21

22 Equação da Linha Elástica Considerando um ponto Q da linha elástica, temos: y x - deslocamento vertical θ x - rotação da secção Pelo calculo matemático temos : θ x = dy dx 1 ρ = d 2 y dx dy dx d2 y dx 2 s rotações são pequenas logo dy dx é muito pequeno 1 ρ = M z EI z d 2 y dx 2 = M z x EI z Equação diferencial da linha elástica 22

23 Equação da Linha Elástica d 2 y dx 2 = M z x EI z 1º Integração dy dx = M z x EI z dx + C 1 2º Integração y x = M z x EI z dx + C 1 dx + C 2 s constantes C 1 e C 2 são calculadas com as chamadas condições de fronteira 23

24 Equação da Linha Elástica - Exemplo Exemplo 1 - Reações 3 - Condições de fronteira 2 Momento fletor 4 - Deslocamentos dv x dx = ω x dm x dx = V x 24