Teoria Clássica das Placas

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1 Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil Fleão de Placas ANÁLISE DE ESTRUTURAS I PROF. EVANDRO PARENTE JUNIOR (UFC) PROF. ANTÔNIO MACÁRIO CARTAXO DE MELO (UFC) Teoria Clássica das Placas Hipóteses básicas: O material é homogêneo, isotrópico e elástico linear; Os deslocamentos são pequenos, comparados com a espessura h; A placa é fina As tensões normais que atuam perpendicularmente à superfície média podem ser desprezadas.(*) Um segmento de reta normal à superfície média indeformada se conserva normal à superfície média após a deformação, permanecendo reto e com o mesmo comprimento.(*) (*): Conhecidas como hipóteses de Kirchhoff ou, às vezes, de Kirchhoff- Love, por Love tê-las estendidas às cascas: Correspondem às hipóteses de Navier-Bernoulli para vigas.

2 Cargas eternas Placa sujeita a um carregamento q(,) Teoria Clássica das Placas Campo de deslocamentos: w z z u = ),, ( w z z v = ),, ( ), ( ),, ( w z w =

3 Teoria Clássica das Placas Relações deformação-deslocamento: ε w = z ε = zκ ε w = z Ou ε = zκ γ w = z γ = zκ Equações Constitutivas O material é homogêneo, isotrópico e elástico linear. O estado de tensões em cada lâmina da placa é plano. Deformações não nulas:

4 Equações Constitutivas Invertendo e usando as relações deformaçãodeslocamento: E σ = ( κ + υκ )z 1 υ E σ = + 1 υ τ E = 1 + υ κ ( κ υκ ) (*) z z Tensões atuantes Elemento da placa de dimensões d, d e h

5 Esforços internos Resultantes das tensões (esforços por metro) Integração ao longo da espessura (h): M M M M Q Q = h = h h h σ σ z dz τ τ τ z z dz τ z Relações momento-curvatura Substituindo nas epressões dos esforços resultantes e integrando em z: M M = D = D ( κ + υκ ) ( κ + υκ ) (**) Rigidez à fleão das placas M = M = D ( 1 υ) κ

6 Teoria Clássica das Placas Tensões ao longo da espessura Utilizando as equações (*) e (**) obtém-se: 1 σ = h M 3 1 σ = h 1 τ = h 3 M 3 M z z z Teoria Clássica das Placas Momentos M M M = D = D = M ( κ + υκ ) ( κ + υκ ) = D ( 1 υ) κ Curvaturas: w w κ = κ = κ w =

7 Esforços na superfície média Momentos fletores (M e M ), torsores (M ) e Forças cortantes (Q e Q ) Teoria Clássica das Placas Equações de equilíbrio:

8 Teoria Clássica das Placas Eliminando Q e Q das equações de equilíbrio: Escrevendo os momentos em função das curvaturas: D q = + + κ κ κ Teoria Clássica das Placas Escrevendo as curvaturas em função dos deslocamentos obtém-se a Equação de Lagrange (1811): É o operador biarmônico D q 4 w = ou onde D q w w w =

9 Teoria Clássica das Placas Solução analítica (Eq. Dif. Parcial de 4ª ordem) Caso geral (geometria, carregamento e condições de contorno): Solução difícil. Em muitos casos impossível achar uma solução eata. Geometrias e condições de contorno simples: Placas circulares (soluções fechadas). Placas retangulares (soluções por séries): Solução de Navier. Solução de Lev. Teoria Clássica das Placas Soluções aproimadas Métodos semi-analíticos: Raleigh-Ritz. Galerkin. Métodos numéricos: Método das Diferenças Finitas. Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos de Contorno. Métodos sem malha (meshless).

10 Condições de contorno Bordo simplesmente apoiado: w = 0 M p = 0 (M p é o momento na direção ao bordo) Bordo engastado: w = 0 θ b = 0 (θ b é a rotação em torno do bordo) Bordo livre: M p = 0 V p = 0 (V p é o cortante efetivo na direção ao bordo) Esforço Cortante Efetivo Momento de torção (M ) em um elemento da borda = a de comprimento d:

11 Esforço Cortante Efetivo Substituição por duas forças verticais de módulo M separadas de d: Esforço Cortante Efetivo O momento de torção não se altera. Há apenas uma mudança localizada na distribuição de tensões numa região muito próima da borda da placa (Princípio de Saint-Venant). Nos elementos d da borda = a, a distribuição de M é estaticamente equivalente a um esforço cortante distribuído e a forças concentradas nos cantos.

12 Esforço Cortante Efetivo Esforço Cortante Efetivo Esforço cortante efetivo na borda = a é definido como:

13 Eemplo 1 Placa retangular simplesmente apoiada e sujeita a uma carga senoidal: Com q 0 = intensidade do carregamento no centro da placa Eemplo 1

14 Eemplo 1 Substituindo a Eq. (1) na equação de Lagrange: Condições de contorno (flechas e momentos nulos nos bordos): Em = 0 e = a: Em = 0 e = b: Eemplo 1 Solução candidata: Família de soluções que satisfazem as condições de contorno (Eq. 3) e (Eq. 4). Constante C: Selecionada tal que a equação diferencial (Eq. ) seja satisfeita.

15 Eemplo 1 Metodologia Avaliar as derivadas de w (Eq. 5) necessárias e substituir na Eq. (). Obter C igualando os dois lados da equação para qualquer e. Solução final: Eemplo 1 Momentos

16 Eemplo 1 Cortantes Eemplo 1 Reações de apoio (cortante efetivo) Para = a Para = b Onde:

17 Eemplo 1 Forças concentradas nos cantos: Em = a e = b: Obs: R < 0 Sentido para baio. Eemplo 1 Demais cantos: da simetria, têm a mesma força com o mesmo sentido.

18 Eemplo 1 Observações O equilíbrio entre a carga aplicada q e as reações; O aparecimento de R decorre da hipótese simplificadora de Kirchhoff (cortante efetivo); Teoria mais refinada, incluindo a deformação de cisalhamento transversal: As reações concentradas desaparecem; Próimo aos cantos as reações continuam distribuídas, apontando para baio, com efeito equivalente ao de R. Reações para baio nos cantos Placas apoiadas nas bordas, mas não presas nelas, tendem a levantar nos cantos, R impede este levantamento Se os cantos não forem devidamente presos, os momentos fletores na região central aumentarão. Eemplo Placa retangular simplesmente apoiada e sujeita a carga: m e n: inteiros positivos (número de meias-ondas). De forma análoga ao Eemplo 1: Esforços e reações obtidas da mesma forma.

19 Solução de Navier Equação diferencial linear superposição de soluções do tipo (*) 4 w w + 4 w = 4 q D Representando o carregamento como uma série de Fourier: Solução de Navier A solução para o carregamento transversal será onde os coeficientes q mn são dados por:

20 Eemplo 3 Placa retangular simplesmente apoiada submetida a carga uniformemente distribuída q 0. Eemplo 3 Epansão do carregamento em série de Fourier onde m,n = 1, 3, 5, 7...

21 Eemplo 3 Deslocamentos transversais: Momentos Eemplo 3

22 Eemplo 3 Placa quadrada (a = b): w, M, M máimos centro ( = = a/) Eemplo 3 Resultados para v = 0.3 Termos w ma /(q 0 a 4 /D) M ma /(q 0 a ) 1 (m = n = 1) 0,00416 (,5%) 0,0534 (11,5%) 4 (m,n = 1,3) 0,00406 (0,0%) 0,0469 (-,1%) Valor eato 0, ,0479