PME-2350 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II AULA #11: INTRODUÇÃO À TEORIA DE PLACAS E CASCAS 1

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1 PME-2350 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II AULA #11: INTRODUÇÃO À TEORIA DE PLACAS E CASCAS Introdução Recebem a denominação geral de folhas as estruturas nas quais duas dimensões predominam sobre uma terceira dimensão (sendo esta última relacionada à espessura). Dependendo da geometria, das condições de carregamento e de outras características (como a rigidez a flexão), estas estruturas recebem denominações específicas, como: chapas, placas, cascas e membranas, como indicado na Fig.1. Folhas Chapas Placas Cascas Membranas Fig. 1. Estruturas de superfície. As chapas correspondem às estruturas de superfície nas quais todos os pontos pertencentes ao plano de meia espessura (plano médio) encontram-se, tanto na configuração de referência quanto na configuração deformada, em um único plano geométrico (como o plano ). Além disto, o carregamento deve ser aplicado apenas sobre os contornos cujas normais externas sejam paralelas ao plano Oxy, deve ser uniformemente distribuído ao longo da espessura e possuir componentes segundo as direções e somente. Em resumo, correspondem aos casos de estruturas em estado plano de tensões, vistos anteriormente no curso. De forma análoga às chapas, as placas correspondem às estruturas de superfície nas quais todos os pontos pertencentes ao plano de meia espessura (plano médio) encontram-se em um único plano geométrico (como o plano ), porém apenas na configuração de referência. A diferença fundamental é que, além dos carregamentos previstos para o caso das chapas, há também carregamentos ortogonais 1 Notas de Aula preparadas pelo Prof. Dr. Roberto Ramos Jr., rramosjr@usp.br Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 1

2 ao plano de meia espessura (tendo, portanto, a direção z), podendo ser atribuídos, por exemplo, ao peso próprio das placas, ou a esforços de outra natureza (ex.: ação do vento, carregamentos hidrostáticos ou hidrodinâmicos, pressões decorrentes do contato com outros corpos, etc). Desta forma, na configuração deformada, os pontos pertencentes ao plano de meia espessura, irão apresentar deslocamentos transversais ao plano médio, sendo tais deslocamentos transversais uma das principais incógnitas do problema. As cascas correspondem às estruturas de superfície tridimensionais, ou seja, aquelas nas quais a superfície de meia espessura é descrita por uma superfície tridimensional no espaço (não mais um plano). Além disto, deve ter rigidez suficiente de modo a poder suportar esforços de flexão e de torção distribuídos ao longo dos pontos da superfície média, além dos esforços contidos no plano tangente à superfície média. Como exemplos de cascas, citamos os reservatórios, os silos, a estrutura da fuselagem e das asas das aeronaves, os cascos das embarcações marítimas, e parte considerável da carroceria dos automóveis (ver Fig.2). Fig. 2. Exemplos de estruturas de cascas na engenharia. Finalmente, o termo membrana é reservado às estruturas de superfície que não possuem rigidez suficiente para suportar esforços de flexão e de torção, e que, portanto, suportam os carregamentos externos modificando sua geometria de modo a oferecer apenas esforços normais (em geral, sempre de tração) contidos no plano tangente à superfície média. Um balão de gás é um exemplo clássico de membrana (ver Fig.3). Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 2

3 Fig. 3. Exemplos de estruturas de membrana na engenharia. O objetivo destas notas de aula é introduzir aos alunos de Engenharia Mecânica alguns conceitos básicos referentes à teoria clássica de placas e cascas, conforme apresentado por Timoshenko e Woinowsky-Krieger [1]. O texto está dividido em dez partes, incluindo esta parte introdutória (item 11.1). O item 11.2 apresenta as hipóteses de trabalho necessárias ao equacionamento do problema (hipóteses de Kirchhoff). Em seguida, utilizando a formulação geral para a solução de um problema da Teoria da Elasticidade Clássica (ver [2]), são apresentadas as relações cinemáticas e as correspondentes relações deformações-deslocamentos (item 11.3), as equações constitutivas e a forma em que se apresenta o estado tensional dos pontos da placa (itens 11.4 e 11.5) e as equações diferenciais de equilíbrio estático e a equação governante (item 11.6). No item 11.7 são apresentadas algumas condições de contorno usualmente recorrentes na modelagem de placas e no item 11.8 é apresentada a solução proposta por Navier para placas retangulares, com bordos simplesmente apoiados, submetida a um carregamento qualquer. Os itens 11.9 e apresentam, respectivamente, as modificações necessárias para a análise de placas circulares e um exemplo de aplicação envolvendo uma placa circular submetida a um carregamento axissimétrico Hipóteses da Teoria Clássica de Placas As hipóteses utilizadas na Teoria Clássica de Placas, conhecidas como hipóteses de Kirchhoff, são: i. O material da placa é homogêneo, isótropo e possui comportamento elástico-linear; ii. O plano médio da placa não se deforma pela flexão (ou seja, admite-se que o plano de meia espessura é um plano neutro, isento de tensões, que irá se constituir na superfície elástica após atingir o equilíbrio); Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 3

4 iii. iv. Um segmento normal ao plano médio da placa (plano ) continuará normal à superfície elástica após atingido o equilíbrio (hipótese análoga à hipótese de Navier na teoria de barras de Euler-Bernoulli: seções transversais planas e ortogonais ao eixo central na configuração de referência permanecem planas e ortogonais ao eixo central na configuração deformada); Desprezam-se as contribuições de, e no estado de tensão da placa. De fato, é possível mostrar que as tensões, e são significativamente maiores que as tensões, e na maior parte dos casos de interesse prático. Contudo, os esforços generalizados e, associados respectivamente às distribuições de tensões e, serão devidamente considerados quando da imposição do equilíbrio de forças em um elemento infinitesimal da placa; v. Admite-se a hipótese de linearidade geométrica, ou seja, admite-se a hipótese de pequenos deslocamentos (quando comparados à espessura da placa), pequenas deformações (quando comparadas à unidade, i.é, 1) e pequenas rotações (também quando comparadas à unidade, i.é, 1 rad). Como decorrência desta hipótese, pode-se admitir que a eventual possibilidade de extensibilidade da superfície média da placa pode ser desconsiderada, isto é, a ação das forças de membrana decorrentes da flexão da placa é desprezível quando comparada com a própria ação dos esforços de flexão Relações Cinemáticas Como visto em sala de aula, das hipóteses realizadas, obtém-se as relações cinemáticas: Da hipótese (v) resultam: = = = = = = = + = 2 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 4

5 A partir das relações obtidas, observamos que, de fato, a superfície média da placa não irá se deformar (visto que, para z = 0, obtemos: = = = 0). Ainda, deve-se observar que a total semelhança das relações entre as componentes de deformação e com as respectivas componentes de curvatura, como já observamos na teoria simples de viga Equações Constitutivas e o Estado Tensional dos Pontos da Placa Das hipóteses (i) e (iv), temos: 1 1 = E, portanto, invertendo as relações dadas acima (ou seja, escrevendo as tensões em função das deformações), encontramos: 1 + = = 1 + = 21 + = Esforços Generalizados na Placa De forma análoga ao que é feito na teoria simples de viga, em que as condições de equilíbrio são impostas empregando-se os esforços solicitantes nas seções transversais ao invés de se impor o equilíbrio local (na forma da equação de equilíbrio + = 0), definimos os seguintes esforços generalizados na placa: = = 1 + = + = = + Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 5

6 Onde = Observações: = = = 1 = 1 é a chamada rigidez de placas e cascas, sendo h a espessura da placa (ou casca). i) Note que, no S.I., temos: = = N = N.m/m, ou seja, os momentos fletores e são momentos por unidade de comprimento da placa, sendo o momento fletor associado às tensões (que flete a placa em torno do eixo y) por unidade de comprimento medido ao longo da direção y, enquanto é o momento fletor associado às tensões (que flete a placa em torno do eixo x) por unidade de comprimento medido ao longo da direção x; ii) Note que, no S.I., temos: = = N = N.m/m, ou seja, os momentos torçores e são momentos de torção por unidade de comprimento da placa, sendo o momento torçor (associado às tensões cisalhantes ) por unidade de comprimento medido ao longo da direção y, enquanto é o momento torçor (associado às tensões cisalhantes ) por unidade de comprimento medido ao longo da direção x; iii) Como o tensor das tensões é simétrico (ou seja, = ), é óbvio que, em valor absoluto, os momentos torçores e serão exatamente iguais. Porém, por convenção de sinais, consideramos que os momentos de torção positivos são todos aqueles cujo vetor aponta para fora do plano de atuação do momento (daí, a razão do sinal negativo na definição de ). Além destes momentos definimos as forças cortantes e na forma: = = Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 6

7 Observações: i) Note que, no S.I., temos: = = N/m, ou seja, são forças por unidade de comprimento da placa, sendo a força cortante, associada às tensões, por unidade de comprimento medido ao longo da direção y, enquanto é a força cortante, associado às tensões, por unidade de comprimento medido ao longo da direção x; ii) Note ainda que tanto quanto são forças que atuam segundo a direção transversal ao plano da placa (ou seja, possuem a direção z) Equações Diferenciais de Equilíbrio e a Equação Governante Conforme mostrado por Timoshenko e Woinowsky-Krieger [1] (ver cap.4, item 21), a imposição do equilíbrio estático de forças na direção z leva a: , = 0 Onde, representa o carregamento distribuído por unidade de área da placa (podendo representar o peso próprio da placa por unidade de área ou, ainda, carregamentos hidrostáticos, pressões decorrentes do contato com outros corpos, etc). Em suma, possui unidade de pressão no SI (ou seja, sempre será expresso em N/m 2, ou algum múltiplo, como kpa ou MPa). Dividindo cada parcela da equação de equilíbrio acima pelo produto. e levando ao limite para 0 e 0, virá: + =, De forma análoga, impondo o equilíbrio de momentos (incluindo os momentos fletores, torçores e decorrentes dos binários associados às forças cortantes) nas direções Ox e Oy, teremos: Segundo a direção : Ou seja: + + = 0 = Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 7

8 E segundo a direção : Ou seja: + = 0 Ainda, como =, temos: = + = Substituindo os resultados encontrados no equilíbrio de momentos no resultado encontrado para o equilíbrio de forças, virá: Mas, das relações vistas no item 11.5: Resultando na equação governante: Ou de forma resumida: 2 + =, = + = + = , =, =, A equação acima é chamada equação de Sophie-Germain-Lagrange e sua solução (para um determinado carregamento aplicado sobre a placa, de rigidez D conhecida, e para dadas condições de contorno sobre os bordos) permite-nos determinar, além dos deslocamentos transversais, do plano de meia-espessura, todos os esforços e tensões atuantes sobre a placa. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 8

9 De fato, obtidos, e, conseqüentemente,, e, também encontramos: = 12 h + = 12 h = 12 h + = 12 h = = 121 h = 12 h Lembrando que as tensões normais e de cisalhamento variam conforme consideramos outros planos de corte da placa (que não os planos paralelos aos planos coordenados Oxz e Oyz) é possível encontrarmos planos onde teremos o valor máximo (ou mínimo) de momento fletor por unidade de comprimento da placa, bem como planos de máximo momento de torção por unidade de comprimento da placa, sendo este estudo totalmente equivalente ao já visto anteriormente no curso (quando foram apresentadas as tensões principais de tensão e suas direções principais, bem como as tensões de cisalhamento máximas e as direções dos planos em que elas atuam). Ou seja, a construção dos círculos de Mohr das tensões é totalmente equivalente à construção dos círculos de Mohr dos momentos (fletores e torçores) generalizados Algumas Condições de Contorno em Placas Retangulares Lados Simplesmente Apoiados: Se um dado lado, = 0, por exemplo, está apoiado, então devemos ter: 0, = 0 0, = 0 Note, porém, que 0. = 0 = 0 + = 0 = 0 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 9

10 Lados Engastados: Se o lado em = 0 estiver engastado, as condições de contorno serão: = 0 = 0 Lados Livres: Se o lado em = 0 estiver livre, as condições de contorno serão (ver [1], item 22): 0, = 0 0, = 0 + = 0 = 0 + = = Exemplo: a Solução de Navier Para o que segue, suponha a existência de uma placa retangular, cujo plano de meia espessura é o plano e cujos vértices se encontram nas coordenadas 0,0,, 0,, e 0,. Portanto, os lados paralelos ao eixo têm comprimento e os lados paralelos ao eixo têm comprimento. Todos os lados da placa encontram-se simplesmente apoiados. O carregamento aplicado sobre a placa é dado na forma de um carregamento, (carregamento genérico). Para uma apresentação mais detalhada ver Timoshenko e Woinowsky-Krieger [1] (cap.5, item 28). São dados:,, h,,, =. Navier propôs a seguinte solução para este problema:, = tendo em vista que, acima satisfaz todas as condições de contorno sobre os quatro lados da placa, a saber: 0, = 0 0, = 0, = 0, = 0, 0 = 0, 0 = 0, = 0, = 0 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 10

11 Para a determinação dos coeficientes, Navier considerou que o carregamento prescrito sobre a placa,,, pudesse ser aproximado na forma de uma série dupla de Fourier, de forma análoga à expressão proposta para os deslocamentos transversais, ou seja:, = Utilizando, então, as propriedades de ortogonalidade das funções trigonométricas, é imediato verificar que os coeficientes da função aproximadora acima são dados por: = 4, Substituindo, então, tanto as aproximações dos deslocamentos transversais, quanto do carregamento, (na forma das expansões em série dupla de Fourier) na equação governante do problema, encontramos: + 2 +, = + E, novamente, utilizando as propriedades de ortogonalidade podemos verificar que a relação acima só será verdadeira se tomarmos: = + Ficando, portanto, completamente determinados os coeficientes a serem considerados para a aproximação por série dupla de Fourier do campo de deslocamentos transversais. = 0 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 11

12 11.9. Estudo de Placas Circulares 2 No caso de placas com geometria circular, é conveniente utilizar a equação governante em coordenadas polares, ou seja:, = Os esforços generalizados neste caso são os seguintes: Momentos fletores por unidade de comprimento:, = = Momentos torçores por unidade de comprimento: = = Forças cortantes por unidade de comprimento: Sendo possível mostrar que: = = = = Como referência para este item, ver Timoshenko e Woinowsky-Krieger [1] (cap.3). Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 12

13 = 1 1 = = Ainda, no caso particular em que o carregamento aplicado sobre a placa circular é um carregamento axissimétrico (ou seja, independente da coordenada θ), a forma do operador laplaciano se reduz a: E a equação governante fica: = + 1 = d d + 1 d d + 1 = A solução geral da equação diferencial ordinária de 4ª ordem dada acima é obtida pela simples superposição da solução da equação homogênea com uma solução particular, ou seja: = + Onde a solução da equação homogênea (ou seja, aquela obtida para = 0) é dada por: = Exemplo de Solução para Placa Circular Consideremos, como exemplo, o caso de uma placa circular de raio externo a, submetida a uma pressão uniformemente distribuída em toda a superfície, ou seja, = (constante), e simplesmente apoiada em seu contorno (isto é, em = ). Do exposto no item anterior, sabemos que a solução geral será: = Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 13

14 Para a determinação da solução particular podemos considerar um polinômio de 4ª grau, ou seja: = Substituindo esta solução particular na equação governante e impondo a igualdade de polinômios (ou seja, dos polinômios do lado esquerdo e do lado direito do sinal de igualdade), teremos: Logo: = 64, = = = 0 = 64 Os coeficientes são obtidos através das condições de contorno na placa circular. Os coeficientes e devem ser obrigatoriamente nulos, caso contrário nas proximidades de = 0 (note que = 0 faz parte do domínio da placa, já que não há um furo central na placa). Para a determinação dos coeficientes e, utilizamos as condições de contorno sobre o lado apoiado (em = ): = = 0 = = = 0 Resolvendo-se o sistema acima, chega-se à solução final: = Referências [1] Timoshenko, S.; Woinowsky-Krieger, S., Theory of Plates and Shells, 2 nd ed., McGraw-Hill Book Company, Inc., 1959, 580p. [2] Ramos Jr, R. PME-2350 Mecânica dos Sólidos II. Aula #6: Solução de um Problema Geral da Teoria da Elasticidade Clássica. Notas de aula da disciplina PME p. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 14