M =C J, fórmula do montante

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1 1 Ciências Contábeis 8ª. Fase Profa. Dra. Cristiane Fernandes Matemática Financeira 1º Sem/2009 Unidade I Fundamentos A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos pagamentos de empréstimos. Essa definição é muito geral. Nesse texto iremos perceber que a Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo e a avaliação das formas de aplicação de dinheiro bem como de pagamento de empréstimos. I.2 O Capital e o Juro Chamamos de capital a qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante um certo tempo. Tendo em vista que o emprestador se abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo (para o tomador) ou a remuneração pelo uso do capital (para o emprestador). Chamamos de taxa de juros ao valor do juro numa certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital. Assim, por exemplo, se um capital de $5.000,00 for emprestado por um mês à taxa de 2% ao mês, o juro será igual a 2% de $5.000,00, que é $100,00. Se o empréstimo for devolvido em um único pagamento, o tomador pagará, ao final do prazo combinado, a soma do capital com o juro, que é denominada montante. Assim, para um empréstimo de $5.000,00 por um mês com juro de $100,00, o montante será igual a $5.100,00. I.3 Relações Básicas Chamando de C o capital, M o montante, J o juro e de i a taxa, temos as seguintes relações, de acordo com o que definimos: J =C i, fórmula do juro no período da taxa. Também valem: M =C J, fórmula do montante e i= M C 1, fórmula da taxa no período do empréstimo. Exemplo 1: Um capital de $8.000,00 é aplicado durante um ano à taxa de 22% ao ano. Pergunta-se: a) Qual o juro? b) Qual o montante? Resolução: a) J =C i=8000 0,22 =$1.760,00 b) M =C J = =$9.760,00 Exemplo 2: Um capital de $12.000,00 foi aplicado durante 3 meses, gerando um montante de $12.540,00. Qual a taxa de juros no período? Resolução: Usando a relação de taxa, temos i= M C = 1=0,045, ou seja, 4,5% ao trimestre I.4 Regimes de capitalização Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas regimes de capitalização. Tem-se o regime de capitalização simples (ou juros simples) e o regime de capitalização composta (ou juros compostos).

2 2 a) Regime de capitalização simples Nesse regime o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa. Além disso, os juros são pagos somente no final da operação. Exemplo 3: Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% ao ano, em regime de juros simples. Qual o montante final? Resolução: Durante o 1o. ano o juro gerado foi de $1.000,00(0,10) = $100 Durante o 2o. ano o juro gerado foi de $1.000,00(0,10) = $100 Durante o 3o. ano o juro gerado foi de $1.000,00(0,10) = $100 Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros, e o montante após 3 anos foi de $1.300,00. b) Regime de capitalização composta Neste caso, o juro do 1o. período (capital vezes a taxa), se agrega ao capital dando o montante M 1. O juro do 2o. período, que é igual ao produto de M 1 pela taxa, se agrega a M 1, dando um montante M 2. O juro do 3o. período, que é igual ao produto de M 2 pela taxa, se agrega a M 2, dando um montante M 3 e assim por diante. Portanto, o juro que é gerado em cada período (montante do início do período vezes a taxa) se agrega ao montante do início do período e esta soma passa a render juro no período seguinte. Exemplo 4: Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% ao ano, em regime de juros compostos. Qual o montante final? Resolução: Durante o 1o. ano o juro gerado foi de $1.000,00(0,10) = $100, e o montante após 1 ano foi de $1.100,00. Durante o 2o. ano o juro gerado foi de $1.100,00(0,10) = $110 e o montante após 2 anos foi de $1.210,00. Durante o 3o. ano o juro gerado foi de $1.210,00(0,10) = $121 e o montante após 3 anos foi de $1.331,00. Portanto o montante após 3 anos foi de $1.331,00. I.5 Fluxo de caixa de uma operação O fluxo de caixa de uma operação é uma representação esquemática muito útil na resolução de problemas. Basicamente, consta de um eixo horizontal no qual é marcado o tempo, a partir de um instante inicial (origem); a unidade de tempo pode ser ano, mês, dia, etc. As entradas de dinheiro num determinado instante são indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal e orientadas para cima; as saídas de dinheiro são indicadas da mesma forma, só que a orientação das setas é para baixo. Exemplo 5: Uma pessoa aplicou $50.000,00 num banco e recebeu $6.500,00 de juros após 12 meses. O fluxo de caixa do ponto de vista do aplicador é: $56.500,00 0 $50.000,00 12 E o fluxo de caixa do ponto de vista do ponto de vista do banco é: $50.000, $56.500,00

3 Observações: a) Estamos usando o conceito de fluxo de caixa para aplicações e empréstimos; contudo, a mesma idéia é utilizada por empresas para representar entradas e saídas de dinheiro de caixa. b) As setas do fluxo de caixa não são necessariamente proporcionais aos valores monetários envolvidos. Lista de Exercícios I (os cálculos devem ser explicitados em todos os exercícios e itens) 1) Um capital de $2.000,00 é aplicado em cada uma das condições abaixo. Obtenha o juro e o montante em cada caso. Taxa Prazo a) 50% ao ano 1 ano b) 30% ao semestre 1 semestre c) 12% ao trimestre 1 trimestre d) 5% ao bimestre 1 bimestre e) 1,7% ao mês 1 mês f) 0,03% ao dia 1 dia 2) Qual a taxa de juros (no período) paga por tomador de empréstimos em cada uma das situações abaixo? Capital Juro Prazo a) $3.500,00 $400,00 1 ano b) $8.000,00 $1.200,00 1 semestre c) $4.300,00 $210,00 1 trimestre d) $5.300,00 $220,00 1 bimestre e) $9.000,00 $150,00 1 mês f) $6.700,00 $2,50 1 dia 3) Qual o capital recebido por um tomador de empréstimo em cada uma das situações abaixo? Taxa Prazo Juro a) 28% ao ano 1 ano $14.000,00 b) 12% ao semestre 1 semestre $24.000,00 c) 3,8% ao trimestre 1 trimestre $7.600,00 d) 4% ao bimestre 1 bimestre $10.800,00 e) 1,8% ao mês 1 mês $3.600,00 f) 0,06% ao dia 1 dia $6.000,00 4) Um capital de $10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% ao mês. Obtenha o montante para os seguintes prazos: a) 2 meses b) 3 meses c) 5 meses d) 10 meses 5) Um capital de $10.000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 10% ao ano. Calcule o montante para os seguintes prazos: a) 1 ano b) 2 anos c) 3 anos d) 4 anos e) 5 anos 6) Um capital A de $1.000,00 é aplicado a juros simples à taxa de 10% ao ano. Um outro capital B de $900,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 12% ao ano. A partir de quantos anos de aplicação o montante produzido por B será superior ao produzido por A? 3

4 4 Ciências Contábeis 8ª. Fase Profa. Dra. Cristiane Fernandes Matemática Financeira 1º Sem/2009 Unidade I I Juros simples Na unidade anterior, vimos que, na capitalização simples, os juros em todos os períodos eram iguais, valendo o produto de capital pela taxa naquele período. Vamos considerar um capital C, aplicado a juros simples à taxa i por período, durante n períodos de tempo; a fórmula dos juros simples é dado por: J =C i n e a fórmula do montante é dada por: M =C 1 i n. Observações: 1) Na fórmula dos juros e do montante é necessário que i e n sejam expressos na mesma unidade (por exemplo, se i for taxa mensal, n deve ser expresso em meses) 2) Embora a fórmula tenha sido deduzida para n inteiro, ela pode ser usada para n fracionário. Exemplo 1: Um capital de $5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% ao ano. a) Obtenha os juros. b) Obtenha o montante. Resolução: a) J =C i n=5000 0,12 3=$ 1.800,00 b) M = J C = =$6.800,00 ou M =C 1 i n = ,12 3 =$ 6.800,00 Exemplo 2: Um capital de $7.000,00 é aplicado a juros simples, durante um ano e meio, à taxa de 8% ao semestre. Obtenha os juros e o montante. Resolução: J =C i n=7000 0,08 3=$1.680,00, são os juros M = J C = =$ 8.680,00, é o valor do montante. Exemplo 3: Qual o capital que rende juros simples de $3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% ao mês? Resolução: Seja C o capital procurado. Então: J =C i n C= J i n C= J 3000 C= i n 0,02 5 =$30.000,00. Exemplo 4: Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses, rende juros simples à taxa de 22% ao ano e paga imposto de renda igual a 20% do juro. O imposto é pago no resgate. a) Qual o montante líquido de uma aplicação de $8.000,00? (Montante líquido é igual ao montante menos o imposto de renda) b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $9.500,00? Resolução: a) Seja IR o imposto de renda e M o montante líquido. Assim: M =C J IR, com taxa de 20% ao ano, temos: M =C J 0,20 J, agrupando os termos em J, temos: M =C 0,80 J, agora substituindo os valores, teremos: M = , , =$8.586,67. Observe que como a taxa é dada ao ano, o prazo tem que ser expresso em anos, isto é n= 5 12.

5 b) Chamando de C o capital procurado, devemos ter: M =C J IR, com taxa de 20% ao ano e o valor do montante líquido, temos: =C J 0,20 J, agrupando os termos em J, temos: 9.500=C 0,80 J, como J =C i n com i = 0,22 e n= 5 12, temos: 9.500=C 0,80 C 0,22 5, ou seja, =1,0733C, resultando em: C= =$ 8.851,21. 1,0733 II.2 Taxas equivalentes Na fórmula de juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa. O procedimento inverso também pode ser adotado, ou seja, podemos expressar a taxa na mesma unidade do prazo; para isto, devemos saber converter taxas de um período para outro. Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples quando, aplicadas num mesmo capital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais. Embora este prazo referido possa ser qualquer um, habitualmente é utilizado o prazo de 1 ano. Exemplo 5: Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% ao mês? Resolução: Seja i a taxa anual procurada, C o capital procurado aplicado e 1 ano o prazo. Devemos ter: C i 1=C 0,01 12, cancelando o capital C que aparece dos dois lados dessa igualdade, temos: i 1=0,01 12, ou seja, i= 0,01 12 =0,12, ou seja, 12% ao ano. 1 Portanto, a taxa anual equivalente a 1% ao mês é 12% ao ano. Note que se tivéssemos adotado qualquer outro prazo, por exemplo 2 anos, teríamos chegado ao mesmo resultado: C i 2=C 0,01 24 i 2=0,01 24, ou seja, i= 0,01 24 =0,12, ou seja, 12% ao ano. 2 Exemplo 6: Em juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 9% ao trimestre? Resolução: Seja i a taxa anula procurada, C o capital procurado aplicado e 1 ano o prazo. Devemos ter: C i 12=C 0,09 4, pois 1 ano tem 4 trimestres.

6 Cancelando o capital C que aparece dos dois lados dessa igualdade, temos: 6 i 12=0,09 4, i= 0,09 4 =0,03, ou seja, 3% ao mês. 12 II.3 Juro exato e Juro comercial É muito comum certas operações ocorrerem por um ou alguns dias apenas. Nesses casos é conveniente utilizarmos a taxa diária equivalente. O cálculo pode ser feito segundo duas convenções: a) considerando-se o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias, e cada mês com seu número real de dias; ou b) considerando-se o ano comercial com 360 dias, e o mês comercial com 30 dias. Os juros obtidos segundo a convenção em a) são chamados juros exatos e aqueles obtidos pela convenção em b), juros comerciais. Exemplo 7: Um capital de $5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% ao ano, no regime de juros simples. a) Obter os juros exatos. b) Obter os juros comerciais. Resolução: a) J =C i n=5000 0,30 42=$ 172, b) J =C i n=5000 0,30 42=$ 175, II.4 Valor nominal e Valor atual Consideremos que uma pessoa tenha uma dívida de $11.000,00 a ser paga daqui a 5 meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 2% ao mês, quanto precisará aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento? Em situações como esta, costuma-se chamar o valor da dívida, na data de seu vencimento, de valor nominal. Ao valor aplicado a juros simples numa data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal chamamos de valor atual (ou valor presente). Indicando por N o valor nominal, por V o valor atual, por i a taxa e por n o prazo de aplicação até o vencimento, teremos esquematicamente: N V 0 n Portanto, N =V V i n. Assim, no exemplo citado, teremos: 11000=V V 0,02 5, agrupando os termos semelhantes em V, temos: 1,1V =11000, ou seja V = =$ ,00. 1,1 Desta forma, esta pessoa deverá aplicar $10.000,00 hoje, para saldar o compromisso mencionado daqui a 5 meses.

7 7 Exemplo 8: Consideremos que um investidor tenha adquirido por $17.000,00 um título de uma empresa, cujo valor nominal é de $20.000,00, sendo o prazo de vencimento igual a 12 meses. Esta operação dará ao investidor o direito de receber $20.000,00 daqui a 12 meses. a) Qual a taxa de juros desta aplicação, no período e ao mês, no regime de juros simples? b) Supondo que, 6 meses antes do vencimento do título, o investidor, necessitando de dinheiro, decida vender o título para outro investidor. Além disso, consideremos que nesta data a taxa de juros para este tipo de aplicação tenha caído para 1,3% ao mês. Qual o preço de venda do título? Resolução: a) i= M = i= 1=0,1765, ou seja, 17,65% ao período. C Portanto a taxa mensal foi de i= 17,65% =1,47%. 12 b) O investidor que adquiriu o título exigiu uma taxa de juros de 1,3% ao mês. Assim sendo, chamando de V o valor que ele pagou pelo título, devemos ter: N =V V i n 20000=V V 0,013 6, agrupando os termos semelhantes em V, 1,078 V =20000, ou seja V = ,078 =$18.552,88. Lista de Exercícios II (os cálculos devem ser explicitados em todos os exercícios e itens) 1) Determinar os juros simples obtidos nas seguintes condições: Capital Taxa Prazo a) $2.000,00 1,2% ao mês 5 meses b) $3.000,00 21% ao ano 2 anos c) $2.000,00 1,3% ao mês 3 anos d) $6.000,00 15% ao trimestre 2 anos e meio 2) Qual montante de uma aplicação de $16.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 80% ao ano? 3) Um capital de $1.000,00 foi aplicado por 2 meses, a juros simples e à taxa de 42% ao ano. Qual o montante? 4) Numa aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% ao ano, o montante recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação. 5) Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% ao mês no regime de juros simples. Findo esse prazo, o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% ao mês. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de $ ,00. 6) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de 1,8% ao mês, porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $4.000,00? b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $3.600,00? 7) Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas:

8 a) 1,5% ao mês b) 2,5% ao bimestre c) 3,5% ao trimestre d) 4,5% ao quadrimestre e) 6,5% ao semestre 8 8) Um capital de $25.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% ao ano, pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros exatos e comerciais para esta aplicação. 9) Um determinado capital aplicado a juros simples exatos, e a certa taxa anual, rendeu $240,00. Determine os juros comerciais auferidos nessa aplicação. 10) Uma aplicação de $800,00 a juros simples comerciais teve um resgate de $908,00 após 135 dias. Determine a taxa mensal desta aplicação. 11) Uma dívida de $50.000,00 vence daqui a 8 meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% ao mês, calcule seu valor atual: a) hoje; b) 3 meses antes do vencimento; c) daqui a 2 meses. 12) Um título de $24.000,00 vence daqui a 10 meses. a) Qual seu valor atual, se a taxa de juro simples para esses títulos hoje for de 2,2% ao mês? b) Qual seu valor atual 3 meses antes do vencimento, se neste momento a taxa de juros simples pra estes títulos for de 2,6% ao mês? c) Qual seu valor atual 65 dias antes do vencimento, se nesta data a taxa de juros simples para estes títulos for de 2,1% ao mês? 13) João fez uma aplicação de $50.000,00 a juros simples e à taxa de 2,5% ao mês pelo prazo de 9 meses. No entanto, dois meses antes do vencimento, necessitando de dinheiro, vendeu o título a Pedro. Determine o valor de venda (valor atual dois meses antes do vencimento), sabendo-se que, nesta data, a taxa de juros simples para este título era de 2,8% ao mês.