Matemática Comercial

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Henrique Padilha Varejão
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1 Matemática Comercial Razão Dados dois números a e b, b 0, chamamos de razão de a para b, nesta ordem, ao quociente a/b ou a:b. a é chamado de antecedente e b de consequente. Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, elas devem ser expressas na mesma unidade de medida. Proporção É a igualdade de duas razões, ou seja: a = c, em que a e d são os extremos e b e c são os meios. b - Teorema fundamental produto dos extremos é igual ao produto dos meios. a = c a.d = b.c b d d

2 - Teorema da soma e da diferença a = c a+b = c+d a-b = c-d b d a c a c a+b = c+d a-b = c-d b d b d - Teorema das proporções múltiplas a = c =e a+c+e = a = c = e b d f b+d+f b d f Exemplo: Os números x,y e z, respectivamente, proporcionais aos números 2,4 e 7. Sabendo-se que x+y+z=260, calcular os valores de x, y e z. x = y = z = x+y+z = 260 = x =20 x=40 ; y = 20 y=80 ; z = 20 z=

3 Grandezas Proporcionais Duas grandezas x e y são chamadas diretamente proporcionais, se somente se, para cada par de valores (x,y), tivermos x = k, k 0 K= constante de proporcionalidade y Duas grandezas x e y são chamadas de inversamente proporcionais, se somente se, para cada par de valores (x,y), tivermos x.y= k, k 0. Exemplo: Dividir 410 em partes diretamente proporcionais a 3,2 e 5 e inversamente proporcionais a 4, 2 e 3, respectivamente. x+y+z=410 e x.4 = y.2 = z.3= k x.4 = k x= 3k 3 4 y.2 = k y =k

4 3z =k z = 5k 3k + k +5k = 410 k= Logo: x= 3k = =90 ; y= k = 120; z= 5k = = As partes são (x,y,z) = (90,120,200) Regra de três - Simples problemas que envolvem somente duas grandezas Exemplo: Um caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos ele pode ainda carregar? Solução: 400 tijolos equivalem a 50 sacos de areia, e como já foram colocados 32 sacos de areia, ele ainda pode levar 18 sacos de areia, ou seja, queremos saber quantos tijolos equivalem a 18 sacos de areia. Tijolos Sacos de areia / x = 50 / 18 ; x=144 tijolos x 18

5 - Composta problemas que envolvem três ou mais grandezas Exemplo: Cinco máquinas trabalhando 6 horas/dia, durante 30 dias produzem parafusos. Em quantos dias 6 dessas máquinas, funcionando 8 horas/ dia, produzirão parafusos? Máquinas Horas/dia Parafusos Dias /x = 6/5.8/ /4.800 x= 10dias x Porcentagem Chama-se porcentagem de um número a sobre um número b, b 0, à razão x/100, tal que x/100 = a/b. Indica-se por x%. Ex: taxa percentual de 2 sobre 5 5x=200 x=40% Ex: 35% de / = 70

6 Aumentos e Descontos Aumento: aumento de i% numa mercadoria que custa x unidades monetárias (1+i%).x por exemplo aumento de 28% valor final 1,28x. Desconto: desconto de i% numa mercadoria que custa x unidades monetárias (1-i%).x por exemplo desconto de 28% valor final= 0,72.x Exemplo: Um objeto sofre um aumento de 10% em seu preço de custo para, logo em seguida, sofrer um desconto de 10% em seu novo preço, passando a custar R$ 297,00. Qual é o valor do preço de custo desse objeto? Seja c o preço de custo do objeto. Primeiro, c sofre um aumento de 10%, passando a custar 1,1c; depois 1,1c sofre um desconto de 10%, passando a custar R$ 297,00, ou seja: 1,1c. 0,9= 297 0,99c= 297 c= R$ 300,00

7 Regimes de capitalização Capitalização simples: os juros gerados em cada intervalo de tempo são sempre iguais e são dados pelo produto do capital pela taxa os juros são pagos somente no final da aplicação Exemplo: Um capital de R$ ,00 é aplicado a juros simples durante 3 meses, à taxa de 10% ao mês. Qual é o valor dos juros gerados em cada período e qual o montante após o período de aplicação? Juros do 1º mês: ,1= R$ 1.000,00 Juros do 2º mês: ,1 = R$ 1.000,00 Juros do 3 mês: ,1= R$ 1.000,00 No cálculo dos juros de cada mês, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. O montante após 3 meses é de R$ ,00.

8 Capitalização composta: Os juros gerados em cada período são iguais ao montante do início do período multiplicado pela taxa e esses juros são adicionados ao montante do início do período, gerando o montante do final do período. Exemplo: Um capital de R$ ,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, a uma taxa de 10% ao mês. Qual é o valor dos juros gerados em cada período e qual o montante após o período de aplicação? Juros no 1º mês: ,1= montante após um mês ,00 Juros no 2º mês: ,1= montante após dois meses ,00 Juros no 3º mês: ,1= montante após três meses ,00

9 Juros Simples J = C. i. t, onde J = juros simples 100 C = capital aplicado M = C+ J i = taxa de juros t = prazo de aplicação Obs: o prazo t deve estar expresso na mesma unidade de i Exemplo: Um capital de R$ ,00 é aplicado a juros simples à taxa de 5% ao mês, durante 4 meses. Quais são os juros e o montante desta aplicação? J = C. i.t / 100 = / 100 = M= C+ J = =

10 Juros compostos M= C.(1 + i) t Exemplo: Murilo aplicou R$ ,00 nos sistema de juros compostos durante 3 meses, auma taxa de 20% ao mês. Calcule: a) O montante final desta aplicação b) Os juros acumulados netse período c) A taxa de juros acumulada nesse período Respostas: a) M=C.(1 + i) t = (1+0,20) 3 = (1,2) 3 = b) M= C+J J=M-C = = c) i= / = 72,1%

11 Valor atual de um conjunto de capitais Por exemplo, você tem uma dívida de R$ ,00 que vende daqui a 1 mês. Suponha que você consiga aplicar seu dinheiro a juros compostos, à taxa de 15% ao mês. Qual será a quantia que você deverá aplicar hoje, àquela taxa, para ter dinheiro suficiente para pagar a sua dívida? M= ,00; C=? ; i=15% ; t= 1 mês M=C.(1 + i) t = C(1+0,15) 1 C= / 1,15 C= De modo geral, dado um conjunto de valores monetários C 1 na data 1, C 2 na data 2, C 3 na data 3, C n na data n, chamamos de valor atual desse conjunto, a uma taxa i, ao valor indicado por V, que, aplicado à taxa i, gera as rendas C 1, C 2, C 3,..., C n, ou seja: V= C 1 / (1 + i) 1 + C 2 / (1 + i) 2 + C 3 / (1 + i) C n / (1 + i) n Exemplo: Uma pessoa tem dívidas de R$ 1.050,00, R$ 2.205,00 e R$ 4.630,50, que vencem dentro de 1,2 e 3 meses. Quanto ela deve aplicar hoje, a juros compostos e à taxa de 5% ao mês para pagar os compromissos? V= / (1,05) / (1,05) ,50 / (1,05) 3 = = Logo, o valor a ser aplicado é de R$ 7.000,00

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