O valor do dinheiro no tempo

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1 2011

2 O valor do dinheiro no tempo O valor do dinheiro no tempo A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de caixa, verificados em diferentes momentos. Sabemos, intuitivamente, que é melhor termos uma determinada quantia ou crédito hoje do que em, digamos, 3 anos. Receber uma quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa

3 Definição de juros e de taxa de juros Para Dutra (2000) juro representa a remuneração do capital emprestado, podendo ser e ntendido como o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Pode ser definido, ainda, como o custo pelo uso do dinheiro. Taxa de juro é a relação entre o juro recebido ou pago ao final de certo período de tempo de tempo (prazo) e o capital inicialmente aplicado, sendo definido como segue. I = J/C (equação 1) Onde: I é a taxa de juro, J o valor do juro pago e C o capital inicial. Observe que a taxa de juro deve ser, sempre, expressa numa unidade de tempo, p.e. 20% a.a., 15% a.t., etc.

4 Abreviaturas nas taxas Abreviatura a.d. a.d.u. a.m. a.m.o. a.b. a.t. a.q. a.s. a.a. a.a.o. Significado ao dia ao dia útil ao mês ao mês over ao bimestre ao trimestre ao quadrimestre ao semestre ao ano ao ano over

5 Cuidado com os anos ano civil ou exato formado por 365 dias; ano comercial formado por 360 dias.

6 Formação da taxa de juros Fatores que influenciam, do ponto de vista microeconomico, as taxas de juros Alguns fatores influenciam a formação da taxa de juros: Custo de captação (taxa paga aos investidores + rateio de despesas administrativas); Margem de lucro, taxa para remunerar o capital investido; Taxa de risco (inadiplencia) que é calculada pela relação entre volume de empréstimos não honrados e volume total de empréstimos concedidos; Inflação, taxa embutida para compensar a perda de poder aquisitivo da Moeda;

7 Critério de capitalização de juros: Os critérios ou regimes de capitalização demonstram como os juros são formados e incorporados sucessivamente ao capital ao longo do tempo. Podem ser identificados dois regimes de capitalização de juros: simples (linear) e composto (exponencial).

8 Regime de capitalização simples O regime de capitalização simples comporta-se como uma progressão aritmética (PA), com os juros crescendo linearmente ao longo do tempo. Por este critério, os juros só incidem sobre o capital inicial (principal).

9 Conceito de juros simples Juros sempre incidem sobre o VALOR PRESENTE

10 Admita-se um depósito de R$1.000 remunerados a uma taxa de 10% a.a. Os juros apurados ao longo de 5 anos, os juros acumulados e os montantes (capital inicial +juros) estão demonstrados no quadro 1: Ano Juros apurados Juros acumulados Montante em cada ano ano no ano início 1o. Ano fim 1o. Ano fim 2o. Ano fim 3o. Ano fim 4o. Ano fim 5o. Ano Quadro 1: Juros apurados com capitalização simples

11 Juros simples n Juros VFJuros simples Fórmula sempre 0-100,00 VF=VP incidem sobre valor presente 10% x $ ,00 110,00 10% x $ ,00 120,00 VF=VP + i.vp VF=VP + i.vp + i.vp n i.vp VF VF=VP (1+ i.n)

12 Fórmula dos juros simples VF=VP (1+ i.n) Devem estar em uma mesma base!!! Como a taxa é sagrada, ajusta-se o valor de n

13 Exemplo A Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate? i = 5% a.m. VF meses VF = VP (1+in) VF = 500 (1+0,05 x 8) VF = 700

14 Características dos juros simples Valor uniforme dos juros períodicos Valor futuro cresce linearmente Capitalização Linear Valor Futuro VP Tempo

15 Exemplo B Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am i = 5% a.m ,00 0 -VP 10 meses VF = VP (1+in) 1200 = VP (1+0,05 x 10) VP = 800

16 Exemplo C Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação? i =? , meses VF = VP (1+in) = 8000 (1+i x 6) i = 5%

17 Exemplo D A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? i = 6% a.m , n=? VF = VP (1+in) = 9000 (1+0,06 x n) n = 5

18 Importante!!! Taxas são sagradas!!!

19 Exemplo E Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 por 24 meses a 8% a.a. Taxa anual!!! 24 meses = 2 anos 0 VF X24 2 anos n em anos -$500,00

20 Alterando o prazo VF=VP (1+ i.n) VF=500 (1+ 0,08.2) VF=$580,00

21 Descontando em Juros simples por dentro

22 Desconto Racional Simples Aplicar a fórmula dos juros simples para calcular o valor presente Descontar significa extrair os juros do valor futuro para obter o valor presente

23 Da fórmula dos juros simples VF = VP (1 + i.n) (1+in) Como se deseja obter VP VP 1 VF i n

24 Exemplo F VP 0 2 -$4.400,00 Valor Futuro D = 400 Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto? Juros Valor Presente VP = VF/ (1+i.n) VP = 4400/(1+0,05.2) VP = 4000 D =

25 Taxa efetiva É aquela que incide sobre o valor presente no processo de capitalização.

26 Exemplo G Ao antecipar em 30 dias o recebimento de uma conta a receber no valor de $15.000,00, a Cia Cava Cava S. A. sofreu um desconto igual a 1/3 (33,3333%) do valor nominal. Calcule a taxa efetiva mensal da operação. Taxa por fora = 33,3333%

27 Taxa efetiva no DFC! $10.000,00 Por dentro =50% 0 1 Por fora =33,3333% -$15.000,00 Desconto = 1/3 de $15.000,00 Desconto = $5.000,00 VF = VP (1+i.n) = (1+i.1) i = 50% a.m.

28 Equivalência de Capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais.

29 Constatação importante Dinheiro Deve ser somado apenas em mesma data! tem custo no tempo!!!

30 -4.000, ,00 X? 1.000, ,00 A operação de equivalência

31 Exemplo H Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00. Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 dias Taxa simples igual a 3% a.m. Calcule o valor de X $30.000,00 Use a data focal 60 dias dias -$8.000,00 -$14.000,00 -X

32 Taxa simples igual a 3% a.m. $30.000,00 $22.000,00 $23.320, meses -$8.000,00 -$14.000,00 -X $14.420,00 $8.900,00 Capitalizando $22.000,00 VF = VP (1+in) VF = (1+0,03.2) VF = $23.320,00 Capitalizando $14.000,00 VF = VP (1+in) VF = (1+0,03.1) VF = $14.420,00

33 Exemplo I Uma loja anuncia um microondas a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros simples, iguais a 4%, calcule o valor de X. Use a data focal zero

34 Resolução $500,00 i = 4% a.m. (JS) X $264,91 -X $264,91 Descapitalizando X 1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.1) VP = 0,9615.X Descapitalizando X 2 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.2) VP = 0,9259.X Como a soma a valor presente é igual a $500,00, 500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X X = 500/1,8874 = $264,91

35 Exemplo J Um refrigerador é vendido à vista por $ 1.800,00 ou então a prazo mediante $800,00 de entrada e mais uma parcela de $ 1.150,00 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?

36 Solução do Exemplo J $1.800, $800,00 -$1.150,00 $1.000, VF = VP (1+in) 1150 = 1000 (1+i.3) i = [(1150/1000) 1] / 3) -$1.150,00 i = 5%

37 Exemplo K Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juro simples, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? Use a data focal zero

38 DFC e cálculos do Exemplo K +$15.000,00 +$20.000, X Descapitalizando X 1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = / (1+0,04.3) VP = ,86 Descapitalizando X 2 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = / (1+0,04.8) VP = ,52 Soma = , ,52 = $28.544,38

39 Proporcionalidade de taxas Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal.

40 Fórmula da equivalência ia = ib.(nb/na) Em juros simples, vale usar regra de três!!! Em juros simples!!!

41 Exemplo L I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês. II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio.

42 Solução do Exemplo L I. 3% a.m. = [ ] % a.s. 1 semestre = 6 meses 3% x 6 = 18% a.s. 3% a.m. = [ ] % a.a. 1 ano = 12 meses 3% x 12 = 36% a.a.

43 Solução do Exemplo L II. Cálculo de taxas mensais a) 1 semestre = 6 meses 90% a.s. 6 = 15% a.m. b) 1 ano = 12 meses 220,8% a.a. 12 = 18,4% a.m. c) 1 biênio = 24 meses 96% 24 = 4% a.m.

44 Para pensar... "O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza. Albert Einstein

45 Conceito de juros compostos Juros sempre sobre o MONTANTE ANTERIOR

46 Preste atenção!!! Empréstimo Valor atual na data zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p. Considere juros compostos

47 Juros compostos n Juros VFJuros compostos Fórmula sempre incidem sobre montante 0-100,00 VF=VP 10% x $ ,00 110,00 10% x $ ,00 121,00 VF=VP (1+i) VF=VP (1+i) (1+i) n i.vf ant VF VF=VP (1+ i) n

48 Uma constatação Juros sobre montante Montante inclui juros Juros sobre juros

49 Fórmula dos juros compostos VF=VP (1+ i) n Expoente! Desafio matemático Contas mais difíceis

50 Calculando no braço Um investidor aplicou $4.000,00 por seis meses a uma taxa composta igual a 8% a.m. Calcule o valor do resgate. i = 8% a.m. VF meses VF = VP (1+i) n VF = 4000 (1+0,08) 6 VF = $6.347,50

51 As tabelas padronizadas Para facilitar as contas VF=VP (1+ i) n a n,i =(1+ i) n Tabelas padronizadas coluna linha

52 Para o exemplo n=6 i=8% i = 8% a.m VF 6 meses n\i ,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1, ,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1, ,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1, ,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1, ,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1, ,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1, ,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1, ,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2, ,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2, ,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 a 6,8 =1,5869

53 Substituindo a n,i meses i = 8% a.m. VF VF = VP (1+i) n VF = VP. a n,i VF = (1,5869) VF = $6.347,50

54 Características dos compostos Juros incidem sobre juros Valor futuro cresce exponencialmente Capitalização Exponencial Valor Futuro VP Tempo

55 Compostos superam simples? Valor Futuro Juros simples maiores que compostos VP Juros compostos maiores que simples N = 1 Tempo

56 Para valor de n N < 1 Juros simples são maiores que juros compostos N = 1 Juros simples são iguais a juros compostos N>1 Juros compostos são maiores que juros simples

57 Equivalência de Capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais. (mesmo conceito em juros simples)

58 Exemplo G Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00. Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 dias Taxa composta igual a 3% a.m. Calcule o valor de X $30.000,00 -$8.000,00 -$14.000,00 -X

59 Taxa composta igual a 3% a.m. $30.000,00 $22.000,00 $23.339, $8.000,00 -$14.000,00 -X $14.420,00 $8.919,80 Capitalizando $22.000,00 VF = VP (1+i) n VF = (1+0,03) 2 VF = $23.339,80 Capitalizando $14.000,00 VF = VP (1+i) n VF = (1+0,03) 1 VF = $14.420,00

60 Exemplo H Uma loja anuncia um produto a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros composta, iguais a 4%, calcule o valor de X.

61 Resolução $500,00 i = 4% a.m. (JC) X $264,91 -X $264,91 Descapitalizando X 1 VF = VP (1+i) n VP = VF / (1+i) n VP = X / (1+0,04) 1 VP = 0,9615.X Descapitalizando X 2 VF = VP (1+i) n VP = VF / (1+i) n VP = X / (1+0,04) 2 VP = 0,9246.X Como a soma a valor presente é igual a $500,00, 500 = 0,9615.X + 0,9246.X = 1,8861.X X = 500/1,8861 = $265,10

62 Exemplo I Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juros compostos, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X?

63 Equivalência de taxas Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros compostos são equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal.

64 Fórmula da equivalência ia = [(1+ib) (nb/na) ]-1

65 Exemplo J 1. Determinar as taxas semestral e anual equivalentes à taxa de juros compostos de 3% ao mês. Resposta : 19,41% a.s. e 42,58% a.a. 2. Calcular a taxa mensal equivalente de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio. Resposta : a) 11,29% a.m., b) 10,2% a.m., c) 2,84 a.m.

66 Usando as antigas e funcionais Tabelas

67 Tabela de fatores (1+i) n n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1, ,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1, ,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1, ,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1, ,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1, ,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1, ,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1, ,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2, ,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2, ,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937

68 Tabela de fatores (1+i) n n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2, ,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3, ,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3, ,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3, ,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4, ,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4, ,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5, ,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5, ,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 6, ,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275

69 Bibliografia Matemática Financeira - Adriano Leal Bruni, Editora Atlas MATEMATICA FINANCEIRA E SUAS APLICAÇÕES BASICAS, Assaf, Alexandre Neto, Editora Atlas, 4 a. Edição, 419 p., São Paulo, MATEMATICA FINANCEIRA, Vieira, Jose Dutra Sobrinho, Editora Atlas, 7a. Edição, 409 p., São Paulo, MATEMATICA FINANCEIRA, Puccini, 5a.Edição, 318p. São Paulo