1. As parcelas são pagas ao final de cada período. Neste caso denomina-se pagamento postecipado.

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1 PARTE 5 SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. Introdução 2. Prestações e Valor presente 3. Prestações e Valor futuro 4. Renda perpétua 5. Exercícios Resolvidos 1. Introdução Quando se contrai uma dívida, esta pode ser paga de uma só vez após um determinado período, ou pode ser parcelada em prestações iguais, sendo amortizada a cada período. Da mesma maneira, quando se investe um dinheiro, ele pode ser resgatado de uma só vez, ou pode ser recebido em parcelas iguais e sucessivas, sendo capitalizado a cada período. Os casos de pagamento de dívida e recebimento de investimento de uma só vez, após um determinado período, já foram vistos anteriormente nos itens sobre capitalização simples e composta. Neste módulo serão vistos os casos de parcelamentos iguais das dívidas e investimentos, utilizando amortização e capitalização composta. Será usado o método Price onde as prestações possuem o mesmo valor. Suponha que você contraiu uma dívida no valor C, à uma taxa de juros compostos de i por período e deverá pagar esta dívida em n parcelas periódicas de valor P cada. Ainda existem duas modalidades de pagamento: 1. As parcelas são pagas ao final de cada período. Neste caso denomina-se pagamento postecipado. 2. As parcelas são pagas no início de cada período. Neste caso denomina-se pagamento antecipado. Se um problema for omisso quanto ao pagamento antecipado ou postecipado, adota-se sempre o segundo. 2. Prestação e Valor Presente Aplicam-se as fórmulas apresentadas a seguir, principalmente, em empréstimos e financiamentos com pagamento em prestações fixas. Considera-se o valor presente como o valor financiado. 1

2 a) Parcelas postecipadas (pagamento no final do período) b) Parcelas antecipadas (pagamento no início do período) São n parcelas de valor P cada (a primeira na data 0 e a última em n-1). Como a primeira parcela é paga na data 0 (dada como entrada), podemos considerar que o valor financiado é C-P e que o número de parcelas é de n-1. Esta modalidade é mais aplicada para compras financiadas onde o primeiro pagamento é a entrada. 3. Prestação e Valor futuro Aplicam-se as fórmulas apresentadas a seguir, principalmente em aplicações com depósitos periódicos e de valores iguais e deseja-se calcular o valor do montante após o último depósito. 2

3 a) Parcelas postecipadas (pagamento no final do período) 4. Renda Perpétua Se você aplicar um capital de R$ 100 mil a 1% ao mês e retirar apenas os rendimentos (juros) de R$ todos os meses, você terá uma renda R$ perpetuamente pois o capital de R$ 100 mil não se altera. A renda perpétua, como o próprio nome diz, não tem prazo para acabar e portanto não há montante a ser calculado. O que ela garante, é uma renda periódica (baseada na taxa de juros e capital inicial) e o capital inicial (que não será capitalizado nem depreciado). Para o cálculo da renda periódica perpétua é utilizada a seguinte fórmula: 5. Exercícios resolvidos 1. Um financiamento de R$ a ser pago em 20 prestações mensais iguais, sendo a primeira após 30 dias do empréstimo, e com uma taxa de juros de 2% ao mês terá o seguinte valor da prestação: 3

4 2. Quanto deverá aplicar uma pessoa que deseja receber como retorno, 12 parcelas mensais de R$1.800, sendo a primeira um mês após a aplicação, e sabendo que a taxa de juros é de 1,2% ao mês? 3. Quanto deverá depositar por mês uma pessoa que deseja obter R$ daqui a 12 meses, no momento do depósito da última parcela, aplicando o dinheiro à uma taxa de 1,5% ao mês? 4. Quanto terá, ao final de 5 anos, uma pessoa que deposita no final de cada ano R$ aplicados à uma taxa de 21% ao ano? 5. Qual o valor a vista de uma mercadoria vendida a prazo em 8 prestações mensais de R$160,00, sendo a primeira de entrada, sabendo que a taxa de juros usada é de 2,2% ao mês? 6. Que capital aplicado deverá ter uma pessoa que deseja uma renda mensal perpétua de R$2.000, sabendo-se a taxa de juros paga é de 1% ao mês? 4

5 PARTE 6 FINANCIAMENTO E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. Introdução 2. Sistema Price 3. Sistema de Amortização Constante 4. Exercícios resolvidos 1. Introdução Quando se contrai um empréstimo, este pode ser pago de uma só vez, após um determinado prazo ou pode ser pago de forma parcelada. O primeiro já foi visto nos Módulos 1 e 2 (Capitalizações Simples e Composta). Amortização significa diminuição do capital principal que foi financiado. Existem vários tipos de amortização e aqui serão estudados os dois tipos mais utilizados: o Sistema Price ou Sistema Francês de Amortização e o Sistema de Amortização Constante (SAC). Tanto em um sistema como no outro, o valor da prestação é a soma da parcela de amortização com os juros do período. Definições e Nomenclatura: SD j = Saldo Devedor no período j = Valor da dívida num determinado instante J j = Juros no período j A j = Amortização no período j P j = Prestação no período j Em qualquer sistema de amortização, são validas as seguintes fórmulas: 2. Sistema Price ou Sistema Francês de Amortização (SFA) Consiste num sistema onde o valor da prestação é igual em qualquer período, sendo que a parcela correspondente à amortização cresce ao longo tempo e a parcela correspondente aos juros decresce ao longo tempo. Neste sistema, o regime de capitalização é o de juros compostos e para o cálculo da prestação é utilizada a fórmula de parcelas postecipadas, vista no Módulo 5: 5

6 Exemplo: Seja um financiamento de $ , a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo Sistema Price e com taxa de juros de 15% ao ano: Valor da prestação: $ ,91 Para demonstrar a evolução de um financiamento no decorrer do seu prazo, é elaborada uma planilha onde constam o período, o saldo devedor, os juros, a amortização e a prestação. Utilizando as fórmulas vistas no item 1, monta-se a seguinte planilha do financiamento : Saldo Devedor Juros Amortização Prestação Ano , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,91 Observações: - Os juros de um determinado ano são calculados sobre o saldo devedor do ano imediatamente anterior. Por exemplo, os juros de $ ,60 do ano 3 é correspondente à 15% (taxa de juros) de $ ,64 (Saldo devedor do ano anterior, ou seja ano2); - O saldo devedor de um determinado ano é a diferença do saldo devedor do ano imediatamente anterior pela amortização do ano vigente (Ano 2: $ ,64=$ ,09-$ ,45) - No último ano o saldo devedor deverá ser igual à zero. Com Período de Carência Existem empréstimos onde há um período de carência, ou seja, o pagamento da primeira prestação ocorrerá alguns períodos após a tomada do empréstimo. Geralmente, neste tipo de empréstimo, os juros são capitalizados no período de carência. Só é considerado período de carência se a primeira prestação ocorrer após 2 ou mais períodos de capitalização da tomada do empréstimo. 6

7 Exemplo: Seja um empréstimo de $ , com 4 meses de carência, a ser pago em 7 prestações bimestrais, com taxa de juros de 4,5% ao bimestre, Sistema Price, e juros capitalizados e não pagos durante o período de carência. No período de 0 a 2 bimestres (carência) serão capitalizados juros. Para calcular a prestação deve-se calcular o saldo devedor no 1º bimestre imediatamente anterior ao da 1ª prestação (no caso, bimestre 1) e então colocar este valor na fórmula de parcelas postecipadas. O resultado $ é o valor da dívida no bimestre 1. Então o valor da prestação fica: Planilha de amortização: Bimestre Saldo Devedor Juros Amortização Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,51 3. Sistema de Amortização Constante (SAC) ou Sistema Hamburguês Neste sistema o valor da amortização é igual em qualquer período, variando as prestações e juros. Neste sistema tanto os juros como as prestações decrescem ao longo tempo. O valor de cada amortização é a divisão do valor financiado pelo número de prestações. 7

8 Exemplo: Seja um empréstimo de $ , a ser pago em 6 prestações anuais (a primeira um ano após a tomada do dinheiro) com amortização pelo SAC e taxa de juros de 15% ao ano: Para calcular o valor da amortização: A tabela de amortização fica: Ano Saldo Devedor Juros Amortização Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,67 6 0, , , ,67 4. Exercícios resolvidos 1. Montar a planilha de um financiamento de $ , pelo Sistema Price, que deve ser amortizado em 12 prestações mensais, sem carência, e com taxa de juros de 1,8% ao mês. Saldo Devedor Juros Amortização Prestação Mês , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,12 997, , , ,85 671, , , ,00 338, , ,41 8

9 2. Montar a planilha de um financiamento de $62.500, a ser amortizado em 6 parcelas semestrais, com dois anos de carência e uma taxa nominal de juros de 36% ao ano, pelo sistema SAC. Taxa efetiva de juros: Semestre Saldo Devedor Juros Amortização Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,29 9 0, , , ,60 9