CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

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1 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CONCEITUAÇÃO: Capitalização simples é a operação que determina o crescimento do capital quando a taxa de juros incide somente sobre o valor nominal (capital inicial) aplicado. 1

2 Apresentação Prof. Cosmo ROGERIO de Oliveira Mestre em Controladoria e Contabilidade FEA/USP; Prof. Univ Estad Londrina-UEL, INBRAPE 12 anos na carreira docência Universidades. 11 anos de experiência em empresas de grande porte (controladoria). 2

3 Avaliação Encontros 06/05; 20/05 e 03/06 03 avaliações 02 individuais e 01 em grupo (estudos de casos); Presença mínima 75% 3

4 Programa 1o encontro Conceitos Básicos Conceitos gerais: porcentagem; juros, abatimentos e acréscimos, taxa de juros, diagrama de fluxo e caixa; Regime de Capitalização dos juros; Equivalência de valores no tempo; Formas de Apresentação de Taxas de Juros Conceitos Taxa Nominal; Taxa Efetiva; Cálculo da Taxa Efetiva. 4

5 Programa 2o. encontro Séries de Pagamentos Conceitos e classificações; Cálculo das parcelas; Cálculo do valor atual. Séries Uniformes ou Rendas Serie Uniforme Postecipada; Serie Uniforme Antecipada; Serie Uniforme Diferida. 5

6 Programa 3o encontro Equivalência de Fluxos de Caixa Taxa Interna de Retorno - TIR Sistemas de Amortização de Empréstimos, Cheque Especial; Métodos de Análise de Investimentos, inflação e câmbio Empréstimos e Financiamentos Bancários Sistema de Amortização Americano;; Sistema Francês de Amortização (SFA) ou Sistema Price; Sistema de Amortização Constante (SAC) ou Sistema Hamburguês; 6

7 Matemática Aplicada às Operações Financeiras CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ELEMENTOS Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 1. Juros (J = VP.i.n): Remuneração sobre o capital aplicado em determinado período; 2. Capital Inicial ou Valor Presente (VP): Valor nominal, aplicado com objetivo de obtenção de juros; 3. Taxa de Juros (i): Porcentual aplicado sobre o capital inicial para se determinar o valor dos juros. 4. Montante ou Valor Futuro (VF): É o valor do capital nominal somado os juros do período. 5. Tempo (n): Período pelo qual o qual é investido (dias, meses, bimestres, trimestres, anos) 7

8 Matemática Aplicada às Operações Financeiras CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Notações Utilizadas 1. C ou VP Valor aplicado ou Valor Presente; 2. n números de períodos que o capital será aplicado; 3. r Taxa de juros centesimal (p/ período) expressa em %; 4. i Taxa de juros unitária (p/ período) expressa em décimos; 5. J Valor total dos Juros (expresso em moeda); 6. M ou VF Montante ou Valor Futuro Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 8

9 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira CAPITALIZAÇÃO SIMPLES FÓRMULAS 1. Taxa Unitária r i = VF = VP. ((1+(i.n)) 2. Juros ou VF = VP + J 3. Montante ou VF J = VP.i.n 9

10 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira DESCONTOS (descapitalização) SIMPLES 10

11 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira DESCONTOS (descapitalização) SIMPLES CONCEITUAÇÃO: Desconto é a diferença entre o Valor Nominal (Bruto) e o Valor Atual (Líquido) de um título que será liquidado antes do seu vencimento. Abatimento dado sobre o valor nominal (geralmente títulos de crédito) quando este é resgatado antecipadamente. 11

12 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira CAPITALIZAÇÃO SIMPLES -ELEMENTOS 1. Valor Nominal: Valor bruto do título; 2. Valor Atual: Corresponde ao valor líquido da operação de desconto; 3. Desconto: Diferença entre o valor nominal (Bruto) e o valor Atual (líquido). 4. Taxa: Porcentagem (representada em decimais) aplicada sobre o Valor Bruto para o cálculo do Valor Líquido; 5. Tempo: Período pelo qual será antecipada a liquidação do título; 12

13 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira CAPITALIZAÇÃO SIMPLES - Notações VB ou VN Valor Bruto ou Valor Nominal, ou seja, o valor futuro do título; 1. n números de períodos que o título será descapitalizado; 2. r Taxa de desconto centesimal (p/ período) expressa em %; 3. i Taxa de desconto unitária (p/ período) expressa em décimos; 4. D Valor total dos Desconto (expresso em moeda); 5.VA ou VL Valor Atual ou Valor Líquido, ou seja, o valor presente do título 13

14 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira DESCAPITALIZAÇÃO SIMPLES - FÓRMULAS Taxa Unitária r i = Desconto 2. Valor Atual (VA) ou Valor Líquido (VL) 3. Valor Atual (VA) ou Valor Líquido (VL) D = VN.(i.n) VL = VN. (1-(i.n)) ou VL = VN - D VB = VL/((1-(i.n)) ou VB = VL + D 14

15 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES 15

16 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 1. Um investidor aplicou, a juros simples, a importância de R$ ,00, à taxa de 2% a.m pelo prazo de 18 meses. Determinar o ganho sobre o capital aplicado. Fórmula J = VP.i.n Substituindo-se J = *((2/100)*18) Resultado J =

17 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 2. Uma empresa tem em seu poder uma duplicata no valor de R$ ,00 com vencimento para 25/04/x6. A política de cobrança da empresa estabelece que seja cobrado, dentro dos primeiros 45 dias de 10% de multa e juros de 5% a.m. sobre o valor do título. Após este período será adicionado mais 0,5% de encargos ao dia de atraso. Qual será o valor pago: a) Se o devedor quitar a duplicata no dia 20/05/X6, quanto pagará de encargos? a) Fórmula Substituindo-se Resultado J = VP.((i+multa).n) J+multa = *((5%/30*25)+10%) J+multa = 2.833,33 17

18 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 2. Uma empresa tem em seu poder uma duplicata no valor de R$ ,00 com vencimento para 25/04/x6. A política de cobrança da empresa estabelece que seja cobrado, dentro dos primeiros 45 dias de 10% de multa e juros de 5% a.m. sobre o valor do título. Após este período será adicionado mais 0,5% de encargos ao dia de atraso. Qual será o valor pago: b) Se o devedor quitar a duplicata no dia 15/06/X6, quanto pagará de encargos? b) Fórmula J = VP.((i+multa).n) Substituindo-se J+multa+adicional= *(((5%/30*45)+0,10)+(0,5%*6)) Resultado J+multa+adicional = 4.100,00 18

19 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 3a. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses. a) Qual é a taxa de juros anual imposta pelo fornecedor? a) Fórmula Substituindo-se Resultado i (a) = (J/VP/5*12) I (a) = (333,33/800/5*12) i(a) = 100% 19

20 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 3b. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses. b) Qual seria o valor pago, caso a empresa resolva pagá-lo no 3º mês subseqüente, considerando um desconto de 5% a.m.? b) Fórmula Substituindo-se Resultado VL=VB*(1-(i.n)) VL=1.133,33*(1-(0,05.2)) VL = 1.020,00 20

21 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 3c. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses. c) Qual seria o valor do pagamento no 8º, considerando além dos juros, uma multa de 10% sobre o valor principal? c) Fórmulas i = (J/VP/5) VF = VP.(1+(i.n)+multa) Substituindo-se / Resultado i = (333,33/800/5), VF = 800.(1+(0,0833.8)+0,10) = 1.413,33 21

22 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 4. Um investidor aplica R$ ,00 à taxa de 3,375% ao trimestre. a) Durante quanto tempo este capital deve ser aplicado para render R$ 3.000,00? b) b) Quanto tempo levaria para render os mesmos R$ 3.000,00 descontando-se IR de 20%? a) Fórmulas i (diária) = i / 90 i (total) = J / VP n = i (total) / i (diária) Resultado i (diária) = 0,03375 / 90 0, i (total) = / ,06 n = 0,06 / 0, dias ou 5m 10d b) Fórmulas i (diária) = i / 90 i (total) = J / VP n = i (total) / i (diária) VBrutoIR = 3.000/(1-0,20) Resultado i (diária) = 0,03375 / 90 0, i (total) = / ,075 n = 0,075/0, dias ou 6m 20d 22

23 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 5. Determinar o capital necessário a se investir, considerando-se juros de 36% a.a., para se obter o ganho de R$ 1.800,00 em um período de 15 meses? Fórmula J = VP.((i+m).n) Substituindo-se = VP.(0,36/12.15) Substituindo-se = VP.0,45 Invertendo os lados -VP.0,45 = (1) Substituindo-se VP = 1800/0,45 Resultado VP = 4.000,00 23

24 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 6a. Qual o montante que retornará para um investidor que aplicou R$ ,00 pelo prazo de 11 meses a taxa de juros de 3,8% ao bimestre? 6b.Qual seria o valor do rendimento considerando-se uma taxa anual de 22,8%. a) Fórmula Substituindo-se Resultado VF = VP.(1+(i.n)) VF = *(1+(0,038/2*11) VF = ,00 b) Fórmula Substituindo-se Resultado J = VP.((i+m).n) J = *(0,228/12*11) J = 4.180,00 24

25 4ª AULA - JUROS (capitalização) COMPOSTA Prof. Rogério 25

26 Capitalização Composta CONCEITUAÇÃO É a operação que determina o crescimento do capital quando a taxa de juros incide sobre o valor do montante em cada período. 26

27 Capitalização Composta ELEMENTOS 1. Valor Presente (Atual): Valor nominal do título; 2. Montante (Valor Futuro): Corresponde ao valor atual (VP) somado aos juros calculados no período; 3. Juros: Diferença entre o valor nominal (VP) e o Montante (VF). 4. Taxa: Porcentagem (representada em decimais) aplicada sobre o Valor Bruto para o cálculo do Valor Líquido; 5. Tempo: Período pelo qual será cálculo os juros sobre o título. 27

28 Capitalização Composta Notações Utilizadas 1. VP ou VN Valor Presente ou Valor Nominal; 2. n números de períodos que o título será capitalizado; 3. r Taxa de desconto centesimal (p/ período) expressa em %; 4. i Taxa de desconto unitária (p/ período) expressa em décimos; 5. J Valor total dos Juros (expresso em moeda); 6. M ou VF Montante ou Valor Futuro. 28

29 FÓRMULAS 1. Taxa Unitária 2. Juros 3. Montante (M) ou Valor Futuro (VF) r i = J = VP*((1+i) n 1) VF = VP*((1+i) n ) ou VF = VP + J 4. Taxa de Juros i = VF VP 1/n -1 * Tempo n = Log Log VF VP (1+i) 29

30 Exemplo: Série Uniforme Mês Valor Juros Montante (n) Inicial (VP) (J) (VF) 1 $ 1.000,00 $ 100,00 $ 1.100,00 2 $ 1.100,00 $ 110,00 $ 1.210,00 3 $ 1.210,00 $ 121,00 $ 1.331,00 4 $ 1.331,00 $ 133,10 $ 1.464,10 5 $ 1.464,10 $ 146,41 $ 1.610,51 Pagamento no 5o. Período $ 1.610,51 30

31 Exemplo: Série Uniforme A) Calcular o valor do montante, com base nos seguintes dados: VP = $ 1.000,00 i = 10% a.m. n = 5 VF =? VP = RESOLUÇÃO i = 10% n = 5 VF =? VF = VP*((1+i) n ) VF = 1.000*((1+0,10) 5 ) VF = 1.000*1,6105 VF = 1.610, 50 31

32 Exemplo: Série Uniforme B) Calcular o valor da taxa, com base nos seguintes dados: VP = $ 1.000,00 i =? n = 5 VF = $ 1.610,51 VP = RESOLUÇÃO i =? n = 5 VF = 1.610,51 i = VF VP 1/n -1 *100 i = 1.610, ,00 1/5-1 *100 i = 1, ,20-1 *100 i = 1,100 1 *100 i = 10% 32

33 Exemplo: Série Uniforme B) Calcular o tempo da aplicação, com base nos seguintes dados: VP = $ 1.000,00 i = 10% n =? VF = $ 1.610,51 VP = RESOLUÇÃO i = 10% n =? VF = 1.610,51 n = Log Log VF VP (1+i) n = Log 1.610, ,00 Log (1+0,10) n = Log 1,61051 Log 1,10 0, n = 0, n = 5 33

34 5ª AULA Taxa Nominal de Juros e Taxa Efetiva de Juros Prof. Rogério 34

35 Taxas Nominal e Efetiva CONCEITUAÇÃO Taxa Nominal: É a taxa de juros expressa para um período de tempo diferente do período de capitalização dos juros. Taxa Efetiva: É a taxa de juros expressa para um período de tempo idêntica ao do período de capitalização dos juros. 35

36 Taxas Nominal e Efetiva Conversão de Taxa Nominal p/efetiva EXEMPLOS: Qual é a taxa efetiva de 30% a.a. com capitalização trimestral FÓRMULA i = n 1 + r -1 i = n ,30-1 i = 33,55% a.a. 4 36

37 Taxas Nominal e Efetiva Conversão de Taxa Nominal p/efetiva EXEMPLO: Qual é a taxa efetiva de 30% a.a. com capitalização trimestral Resolução i = n 1 + r -1 i = n ,30-1 i = 33,55% a.a. 4 37

38 Taxas Nominal e Efetiva Outro exemplo: Qual é a taxa efetiva resultante de 12% a.a. com capitalização mensal Resolução i = n 1 + r -1 i = n 0, i = 12,683% a.a Prova Real M= * (1,01) 12 M= 1.126,83 ou M= * (1, 12683) 1 M= 1.126,83 38

39 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se: a) Qual é o valor de resgate no título no vencimento? R. R$ 5.049,91 b) Qual foi o valor negociado do título? R. R$ 4.580,42 c) Qual foi a taxa anual efetiva (em %), obtida? R. i=22,537% 39

40 Taxas Nominal e Efetiva Conversão de Taxa Nominal p/efetiva FÓRMULA Conversão de Taxa Nominal p/ Efetiva i = 1 + r n n -1 Cálculo de Valor Futuro Cálculo de Valor Presente VF=VP*(1+i) n VP=VF/(1+i) n Cálculo da Taxa Eetiva i = VF VP 1/n -1 *100 40

41 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se: a) Qual é o valor de resgate no título no vencimento? R. R$ 5.049,91 i = 24% a.a. Cap. Trim. P(1)? n = 4 VP = VF=VP*(1+i) n VF=4000*(1+(0,24/4)) 4 VF=5.049,91 41

42 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se: b) Qual foi o valor negociado do título? R. R$ 4.580,42 VP = i = 30% a.a. Cap. Bim. P(1)? n= 5 bim 5.049,91 n= 4 trim VP=VF/(1+i) n VF=5.049,91/(1+(0,30/6)) 2 VF=4.580,42 42

43 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se: c) Qual foi a taxa anual efetiva (em %), obtida? R. i=22,537% i =?? a.a. P 1 = 4.580,42 P 2 = 5.049,91 i = VF VP 1/n -1 *100 VP = n= 4 bim n= 4 trim i=((4.580,42/4.000,00)^(12/8)-1)*100 i = 22,537% 43

44 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 2. Um investidor fez uma aplicação financeira à taxa de juros de 27% a.a, com capitalização bimestral. Na data do resgate da aplicação são descontados a título de imposto de renda 20% sobre o ganho nominal obtido. Se o prazo da operação é de 04 meses, pede-se: a) Qual a rentabilidade obtida pelo investidor, em taxa de juros efetiva ao ao? R. 23,752% a.a b) No caso do item a) se a instituição financeira retivesse o montante líquido da aplicação por 6 (seis) dias além do prazo contratado, sem qualquer remuneração, qual seria a rentabilidade líquida obtida pelo investidor, em taxa de juros anual? R. 22,502% a.a 44

45 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 2. Um investidor fez uma aplicação financeira à taxa de juros de 27% a.a, com capitalização bimestral. Na data do resgate da aplicação são descontados a título de imposto de renda 20% sobre o ganho nominal obtido. Se o prazo da operação é de 04 meses, pede-se: a) Qual a rentabilidade obtida pelo investidor, em taxa de juros efetiva ao ao? R. 23,752% a.a i = 27% a.a. Cap. bim. P(1)? -0,20 IR n = 4 Valor Bruto VP = VF=VP*(1+i) n VF=1000*(1+(0,27/6)) 2 VF=1.092,03 Valor Liquido VL=((VF-1000)*(1-IR)+1000) VL=(92,03*0,8)+1000) VL=1.073,24 Taxa Efetiva Anual i = VF VP 1/n -1 *100 VL=(1.073,24/1000)^6/2 VL=23,752% 45