Noções básicas 3 Porcentagem 4 Cálculos de porcentagem: 5 Juros simples e compostos 7. Juros simples 7. Juros compostos 9

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Índice Conteúdo Página Noções básicas 3 Porcentagem 4 Cálculos de porcentagem: 5 Juros simples e compostos 7 Juros simples 7 Juros compostos 9 Cálculos do montante e do capital 11 Calculando o montante em casos de rendas certas 13 Cálculo do capital 13 Taxas equivalentes 14 Taxas nominal e efetiva, real e aparente 16 Cálculo do valor atual 19 Capitalização e amortização composta 20 Capitalização composta 20

2 Amortização composta 22 Sistemas de amortização e carência 23 Determinação do saldo devedor (sistema price e de amortização constante) 26 Sistema de amortização francês (price) (s.a.f) 26 Sistema de amortização constante (s.a.c) 28 Análise comparativa s.a.f x s.a.c 29 Bibliografia básica 31 NOÇÕES BÁSICAS Conceito: a MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros. Capital é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.

3 Juros é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo. Taxa de Juros é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado. Ex.: Capital Inicial : $ 100 Juros : $ $ 100 = $ 50 Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária. Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100: 5 % / 100 = 0.05 Montante denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos). Capital Inicial = $ Juros = $ 50 = Montante = $ 150

4 Regimes de Capitalização quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros: capitalização simples; capitalização composta; Capitalização Simples somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros Capitalização Composta os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente. comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto; salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros. No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.

5 Fluxo de Caixa o fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicação financeira ou de um empréstimo consiste no conjunto de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado período. PORCENTAGEM Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo O índice de reajuste salarial de maio é de 9,8%. O rendimento da poupança foi de 1,58%. Liquidação de inverno com 30% de desconto... Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto, pode se definida como uma razão cujo conseqüente é 100 ou ainda como uma razão centesimal, onde o conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado por cento = 0,80 = 80% CÁLCULOS DE PORCENTAGEM: Existem vários recursos para resolver cálculos que envolvem porcentagens: POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES: Exemplo: Quanto é 20% de 800? 20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas. 20 % de 800 = 20/100 de : = 160 ou usando taxa unitária: 20% de 800 = 2 0/100 = 0, ,20 = 160 POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA: Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quanto passou a ser o seu novo salário? Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos: 1ª) %

6 x 5% x = Salário= 2 000, ,00 = 2 100, x = 100,00 2ª) % x 105% x = x = 2 100,00 Salário: 2 100,00 Exemplo 2: Ao comprar um automóvel por R$ ,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto? % 1800 x x = x = 12% Taxa de desconto: 12% Exemplo 3: Uma taxa de 13% é aplicado num determinado capital, produzindo um valor porcentual de 5 200,00. De quanto era o capital? 13% % x x = 100 x = Capital: R$ ,00 ELEMENTOS DO CÁLCULO PORCENTUAL: Pelos exemplos anteriores observamos que são três os elementos envolvidos no cálculo de porcentagem: Principal: valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem (P) Taxa porcentual: valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 (i). Porcentagem: resultado que se obtém quando se aplica a taxa de porcentagem ou taxa porcentual (p) Concluímos também que a resolução por regra de três permite chegarmos ao seguinte raciocínio: 100.p P Porcentagem = Principal. taxa 100 P.i p = p, onde P = i e i = É mais prático usarmos a taxa unitária: 25% = 25/100 = 0,25

7 ATIVIDADES: 1. Calcular: a) 20 % de 32 b) 3,5% de R$ c) 4% de Qual a taxa unitária de 20%? 3. Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05? 4. Qual é o número principal em que 20 representa 3%? 5. Qual o número principal em que 800 representa 3/5%? 6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40? 7. Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15%. Quanto ganhou? 8. Em uma escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total? 9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num concurso público com inscritos? 10. Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples reajuste (que naquele dissídio seria 7,5% ) não cobriria suas reais necessidades. Na ocasião, seu salário era de R$ 2 850,00 e sua proposta foi uma correção de 9 %. No final do mês, ele recebeu R$ 3 092, 25. Calculando qual o índice de correção aplicado pela empresa, responda se o pedido foi atendido. 11. Um comerciante comprou um automóvel de R$ ,00 com desconto de 2%. Em seguida, vendeu o automóvel por um valor 3% acima desse preço (valor inicial do automóvel). Qual foi a taxa de lucro total, desde a venda até a compra, usada pelo comerciante? 12. Dois postos de abastecimento misturam água ao álcool que vendem. No primeiro deles foram encontrados 7,5 l de água em 300 l de álcool e, no segundo, 13,5 l de água em 500 l de álcool. Quanto por cento o álcool de um posto é, mas aguado que o do outro? 13. Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação, restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário?

8 14. Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa cidade se nela residem mulheres? 15. Uma certa quantia y tornou-se 2y após 1 ano e 3y após 2 anos. Com relação a quantia inicial, calcule a taxa aplicada no primeiro e no segundo ano. 16. Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x? 17. Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 de comissões, qual o total vendido por ele? 18. Comprei uma casa cujo preço era R$ ,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e 3% de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar? 19. Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem (taxa) que compareceu às aulas nesse dia? 20. Ao comprar um automóvel por R$ ,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto? JUROS SIMPLES E COMPOSTOS JUROS SIMPLES É composto da seguinte fórmula : j = C.i.n Exemplo Você pediu a seu chefe um empréstimo de $ ,00 e ele, que não é bobo, vai lhe cobrar uma taxa de juros de 5% ao mês, sobre o capital inicial. 6 meses depois você quita sua dívida. Quanto a mais você terá de pagar, a título de juros? Aplicando a fórmula: j : o que você quer descobrir C:R$ ,00 i:5% a.m.

9 n:6 meses Logo: j= ,05.6 resultando R$ 3.000,00 de juros pagos (Whoa!). Quase um terço do total emprestado Cuidado com as taxas mensais supostamente baixas. Pelo exemplo acima, fica evidenciado que mesmo taxas pequenas, se forem aplicadas por um período mais ou menos longo, pode causar um verdadeiro prejuízo ao bolso. Um grande exemplo do dia-a-dia? Crediário! Exercícios: 1) Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% ao ano, rende $ ,00 de juros, determinar o futuro valor, no regime de capitalização simples. Resp. $ ,00 2) Um empréstimo de $ ,00 deverá ser quitado por $ ,00 no final de 12 meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas nesta operação de capitalização simples. Resp.: 8,33% a.m. e 100% a.a 3) Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de $ 2.000,00, feita a uma taxa de 4,94% ao mês, no regime de capitalização simples, pelo prazo de 76 dias. Resp.: $ 250,29 e $ 2.250,29 4) Uma aplicação de $ 5.000,00, pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 825,00. Indaga-se: qual a taxa anual correspondente a essa aplicação, no regime de juros simples? Resp.: 33% a.a. 5) Determinar o valor de um título cujo valor de resgate é de $ 6.000,00, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada para gerar este título é de 5% ao mês e que o seu vencimento é de 4 meses. Resp.: $ 5.000,00 6) Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 bimestres, à taxa de 36% ao ano rende $ 7.200,00 de juros, determinar o montante no regime de capitalização simples. Resp.: $ ,00. Exercícios Extras:

10 1) Um capital, aplicado por 2 meses, elevou-se a 3/2 de si próprio. Qual foi a taxa linear considerada?25% ao m. 2) Depositei a quantia de $72.000,00 em um banco que remunera seus clientes a taxa simples de 36% ao ano. Depois de um certo tempo, verifiquei que o meu saldo era de $73.800,00. Por quantos dias deu-se essa aplicação? 25 dias 3) Pretendo poupar uma parte do salário, para daqui 2 bimestres ter um montante de $500,00, sabendo que a taxa é de 48% ao ano, quanto devo aplicar sendo o regime de capitalização simples? 431,03 JUROS COMPOSTOS Os juros compostos referem-se às situações em que os juros são integrados ao Capital, a cada cálculo. Para facilitar, vamos pegar um exemplo clássico: Caderneta de Poupança. A cada mês os juros são incorporados ao Capital e no próximo mês os juros incidirão sobre esse montante e assim sucessivamente. Nos caso dos juros compostos, o resultado é o próprio Montante. A fórmula é: C n=c. (1 + i) n Exemplo Uma aplicação bancária está oferecendo juros fixos de 3% a.m. por 6 meses, sobre um valor mínimo de $ ,00. Quanto renderá ao final desse período? Aplicando a fórmula: C n ou M - o que você quer saber C ,00 i - 3 % - 0,03 n - 6 Logo : (1+0,03) 6 => ,52. DESCONTO COMPOSTO

11 O conceito de desconto em juro composto é similar ao de desconto em juro simples. A fórmula é: A= N. 1/ (1+i) n No final deste texto existe uma tabela com o cálculo dos fatores (1+i) n. Exemplo Suponhamos que você quer descontar um título de $ ,00, 2 meses antes do vencimento, de um banco que utiliza uma taxa de juro composto de 3% a.m. Calcule o valor atual do título. Aplicando a fórmula: A - o que você quer saber N ,00 i - 3 % - 0,03 n - 2 Logo: / (1+0,03) 2 => ,90 EXEMPLOS RESOLVIDOS 1) Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês. Resolução: A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações. C = R$ 600 i = 4% = 0,04 n = 12 M = C (1 + i) n M = 600 (1 + 0,04) 12 M = 600 (1,04) 12 M = 600 1,60103 M = R$ 960,62

12 O fator (1,04) 12 pode ser calculado com auxílio das tabelas financeiras, para n = 12 e i = 4%. (1 + i) n n i 2% 3% 4% 5% 9 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos? Resolução: C = R$ 500

13 i = 5% = 0,05 n = 8 (as capitalizações são mensais) M = C (1 + i) n M = 500 (1,05) 8 M = R$ 738,73 O valor dos juros será: J = 738, J = R$ 238,73 3) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? Resolução: M = R$ 477,62 i = 3% = 0,03 n = 6 (as capitalizações são trimestrais) M = C (1 + i) n 477,62 = C (1,03) 6 C = 477,62 1,19405 C = R$ 400,00 CÁLCULOS DO MONTANTE E DO CAPITAL Montante é o CAPITAL acrescido dos seus JUROS. Ou Seja, montante nada mais é do que a soma de um capital com os juros aplicados a ele. Seguindo o exemplo da seção anterior, o Capital inicial (principal) era de $ ,00 e os juros incidentes foram de $ 3.000,00 (ou seja, M = C+j). Logo, o Montante é de R$ ,00. Bico, não?

14 A fórmula para calcular o Montante direto é: M = C. (1 + i.n) Exemplo Seu chefe, num ato de generosidade desmedida e pressionado pelo Sindicato, informou que, no mês que vem, dará um aumento de 3% no salário de todos os funcionários. Supondo-se que você ganhe $ 1.100,00, para quanto vai o seu salário? Aplicando a fórmula => M = o que você quer descobrir C=1.100,00 i=3% a.m. n=1 mês Logo: M=1100. (1 + 0,03.1) resultando $ 1.133,00, o que já dá para pagar um cineminha ou então comprar mais alguns lanchinhos no McDonald's para a criançada. (eheheheh)... DESCONTO COMERCIAL SIMPLES O desconto é aplicado quando um empréstimo é saldado antes do vencimento previsto e, claro, desde que esse desconto esteja previsto em contrato. A fórmula é: d = N.i.n Exemplo Qual o desconto de um título no valor de R$ ,00, se ele for pago 2 meses antes do vencimento à uma taxa de 5,5 % a.m.? Aplicando a fórmula: d : o que você quer saber N :50.000,00 i :5,5% - 0,055 n:2 Logo : , = > R$ 5.500,00 de desconto VALOR ATUAL / NOMINAL

15 O cálculo do valor atual está para o Desconto Simples como o Montante para o cálculo de Juros Simples, ou seja, é o valor final após calcular o desconto. Seguindo o exemplo da seção anterior, o Valor Nominal do título era de R$ ,00 e o desconto incidente foi de $ 5.500,00 ( ou seja, A = N-d ). Logo, o Valor Atual é de $ ,00. Bico, não? A fórmula para o cálculo direto do Valor Atual é: A = N. (1-i.n) Exemplo Após receber sua devolução do I.R., você resolve quitar de uma vez as suas parcelas restantes do seu consórcio, num valor total de $ ,00. Faltam 5 parcelas mensais e o desconto será de um 1% a.m..quanto você terá de pagar em cash? Aplicando a fórmula: A = o que você quer descobrir N=70.000,00 i=1% a.m. n=5 meses Logo: A= (1-0,01.5) resultando $ ,00. CALCULANDO O MONTANTE EM CASOS DE RENDAS CERTAS Como você deve se lembrar, montante nada mais é do que a somatória dos juros com o capital principal. No caso de rendas certas, a fórmula é dada por: M=T.Sn i Para saber o valor de Sn i você pode: -usar as tabelas -calcular usando a fórmula (1+i) n -1/i.

16 Exemplo Calcule o Montante de uma aplicação de $ 100,00, feita durante 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Aplicando a fórmula (esse é um caso de postecipada, porque o primeiro rendimento é um mês após a aplicação) : n=5 T=100 i=10% a.m. M=100.S5 10%=>$ 610,51 Quando for uma situação de antecipada : subtraia 1 de n Diferenciada: após determinar Sn i, divida o resultado por (1+i) m CÁLCULO DO CAPITAL Em alguns casos podemos ter situações em que diversos capitais são aplicados, em épocas diferentes, a uma mesma taxa de juros, desejando-se determinar os rendimentos produzidos ao fim de um certo período. Em outras situações, podemos ter o mesmo capital aplicado a diferentes taxas de juros, ou ainda, diversos capitais aplicados a diversas taxas por períodos distintos de tempo. Capital Médio (juros de diversos Capitais) é o mesmo valor de diversos capitais aplicados a taxas diferentes por prazos diferentes que produzem a MESMA QUANTIA DE JUROS. Cmd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n Cn in nn i 1 n 1 + i 2 n 2 + i 3 n i n n n

17 Taxa Média é a taxa à qual a soma de diversos capitais deve ser aplicada, durante um certo período de tempo, para produzir juros iguais à soma dos juros que seriam produzidos por diversos capitais. Taxamd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n Cn in nn C 1 n 1 + C 2 n 2+ C 3 n C n n n Prazo Médio é o período de tempo que a soma de diversos capitais deve ser aplicado, a uma certa taxa de juros, para produzir juros iguais aos que seriam obtidos pelos diversos capitais. Prazomd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n Cn in nn C 1 i 1 + C 2 i 2+ C 3 i C n i n TAXAS EQUIVALENTES Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento.

18 Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. capitalização composta, não. Na No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de: Atribuindo um capital R$ 100, temos: M = 100(1,1) 3 M = 10 1,331 M = R$ 133,10. Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%. Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas. Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim: Equivalência entre ANO e MÊS: 1 + i a = (1 + i m) 12 Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: 1 + i a = (1 + i t) 4 Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + i m) 6 = 1 + i s Observamos que o lado da igualdade que contém a menor das unidades de tempo envolvidas, fica elevado ao expoente igual a quantas vezes a menor unidade cabe na maior. EXEMPLOS RESOLVIDOS 1) Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, durante 1 ano. Resolução:

19 Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal. A taxa efetiva é, portanto, 60% 12 = 5% ao mês. C = R$ i = 5% = 0,05 n = 12 M = C (1 + i) n M = (1,05) 12 M = ,79586 M = R$ 2.693,78 2) Aplicando R$ 800,00 à taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização bimestral, durante um ano e meio, qual o valor do montante? Resolução: Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. A taxa efetiva é, portanto, 12% 6 = 2% ao bimestre. C = R$ 800 i = 2% = 0,02 n = 9 M = C (1 + i) n M = 800 (1,02) 9 M = 800 1,19509 M = R$ 956,07 3) Um capital, após 5 anos de investimento, à taxa de 12% ao ano, capitalizada semestralmente, eleva-se a R$ 1.969,93. Qual o valor desse capital? Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é semestral. A taxa efetiva é, portanto, 12% 2 = 6% ao semestre. M = R$ 1.969,93 i = 6% = 0,06 n = 10 C = M (1 + i) -n C = 1.969,93 (1,06) -10 C = 1.969,93 0,55839 C = R$ 1.100,00 4) Qual a taxa anual equivalente a: a) 3% ao mês; b) 30% ao semestre com capitalização bimestral

20 Resolução: a) ia =?; im = 3% Para a equivalência entre ANO e MÊS, temos: 1 + i a = (1 + i m) i a = (1,03) i a = 1,42576 i a = 1, ia = 0,42576 = 42,57% b) 30% ao semestre é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. A taxa efetiva é, portanto, 30% 3 = 10% ao bimestre. Para a equivalência entre ANO e BIMESTRE, temos: 1 + i a = (1 + i b) i a = (1,1) i a = 1,77156 i a = 1, ia = 0,77156 = 77,15% 5) A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente a que taxa mensal? Resolução: Para a equivalência entre MÊS e SEMESTRE, temos: (1 + i m) 6 = 1 + i s (1 + i m) 6 = 1,9738 im = 12% TAXAS NOMINAL E EFETIVA, REAL E APARENTE TAXA NOMINAL = É a taxa utilizada para preparar ou montar uma operação financeira. É a que aparece nos contratos financeiros e que não coincide com o período de capitalização. Exemplo: 1) Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% a.a. capitalizados trimestralmente? PV = 5.000,00 FV = 5000( 1 + 0,24)² n = 2 anos FV = ,5376

21 I = 24% a.a. = 0,24 a.a. FV = 7688,00 pela convenção adotada, temos: PV = 5.000,00 FV = 5000( 1+ 0,06) 8 n = 2. 4t = 8t FV = ,5938 i = 24%a.a. = 0,24 a.a. = 0,24/ 4 = 0,06 a.t FV = 7969,24 (simples) Pela conversão composta temos: i = 5,52% a.t. temos: FV = 5000( 1+0,0552) 8 FV = 7685,07 Exercícios: 1) Um banco faz empréstimos à taxa de 5% a.a., mas adotando a capitalização semestral dos juros. Qual seria o juro pago por um empréstimo de R$ ,00, feito por 1 ano? 2) Calcular o montante e a taxa efetiva anual ganha por um investimento de R$ 20,00, após 2 anos de aplicação, se rendeu juros nominais de 9% a.a. com as seguintes hipóteses de capitalização: a) anual b) semestral c) trimestral d) diária Respostas: 1) FV = ,25 2) a) FV = 23,76 i = 9% a.a. b) FV = 23,85 i = 9,2% a.a.

22 c) FV = 23,90 i = 9,3% a.a. d) FV = 23,94 i = 9,42% a.a. TAXA EFETIVA = É a taxa que de fato está sendo praticada. É obtida por meio da relação entre os valores final e inicial da operação financeira. O período de capitalização corresponde ao intervalo de tempo em que os juros são empregados ao capital. Quando a taxa nominal tem unidade de tempo diferente do período da capitalização, por exemplo, 6% ao ano, capitalizados mensalmente, fazemos a divisão simples 6/12 = 0,5% a.m. para encontrar a taxa efetiva que é proporcional à taxa dada. A conversão da taxa nominal em efetiva pode ser feita regra de três simples e direta. Exemplos: 1) Uma aplicação financeira paga juros compostos de 28% a.a., capitalizados trimestralmente. Qual é a taxa de juros trimestral efetiva da aplicação? 1 ano = 12 meses... 28% 1 trimestre = 3 meses...i i = 3. 28/12 = 7% a.t. 2) A caderneta de poupança rende juros de 6% a.a., capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva? 6%a.a = 6% /12 = 0,5% a.m. = taxa efetiva mensal

23 TAXA APARENTE, TAXA REAL E TAXA DE INFLAÇÃO (JUROS COMPOSTOS) = Denominamos taxa aparente aquela que vigora nas operações correntes. Quando não há inflação, esta taxa é igual à taxa real; porém, quando há inflação, a taxa aparente é formada pela taxa da inflação e pela taxa de juro real, ambas apuradas no mesmo período da taxa aparente. Sendo : PV = capital inicial i r = a taxa real i ap = a taxa aparente i in = a taxa de inflação Podem acontecer os seguintes casos: Taxa de inflação igual a zero e uma taxa de juros i r, o capital inicial se transformará, ao final de um período, em : PV(1 + i r) Taxa de inflação igual a i in, o capital inicial se transformará, ao final de um período, em: PV ( 1+ i in) Taxa de juro igual a ir e uma taxa de inflação igual a i in, simultaneamente, o capital inicial equivalerá: PV(1+ i r ) ( 1 + i in) Taxa aparente igual a i ap, o capital se transformará, ao final de um período, em: PV( 1+ i ap) Como as duas últimas expressões se equivalem, temos: PV( 1+ i ap) = PV(1+ i r ) ( 1 + i in) Logo ( 1+ i ap) = (1+ i r ) ( 1 + i in)

24 Obs.: A taxa de juro real é livre dos efeitos inflacionários, enquanto a taxa de juro aparente leva em consideração os efeitos inflacionários do período. Exemplos: 1) Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,8% a.m. e uma inflação de 20% no período? ( 1+ i ap) = (1+ i r ) ( 1 + i in) ( 1+ i ap) = (1 + 0,008). ( 1 + 0,2) ( 1+ i ap) = 1,008. 1,2 ( 1+ i ap) = 1,2096 i ap = 1, i ap = 0,2096 i ap = 20,96% a.m. 2) Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período, foi de 15%. ( 1+ i ap) = (1+ i r ) ( 1 + i in) ( 1+ 0,25) = (1+ i r ) ( 1 + 0,15)

25 1,25 = (1+ i r ). 1,15 1,25 (1 i r ) 1,15 1,087-1 = i r i r = 0,087 i r = 8,7% Exercícios: 1) Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32%a.a.. Sabendo que a inflação nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual. 2) Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% a.a., com a intenção de ter um retorno real correspondente a uma taxa de 9%a.a.. Determine a taxa de inflação do período. 3) Um capital foi aplicado à taxa de juro de 300% a.a. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 250%. Qual a taxa real de juro dessa aplicação? 4) Um capital foi aplicado por um ano à taxa de juros aparente de 21% a.a.. No mesmo período a inflação foi de 11%. Qual a taxa de juros real desse período? 5) Um banco deseja auferir 24% a.a. de juros reais sobre determinado período de aplicação. Qual deve ser a taxa aparente de juros para o período de um ano se a inflação esperada neste período for de 18%? Respostas: 1) i r = 9,09% a.a. 2) i in = 11,93% a.a. 3) i r = 14,29% a.a. 4) i r = 9,01% a.a. 5) i ap = 46,32% a.a. CÁLCULO DO VALOR ATUAL Valor Atual o Valor Atual (ou presente) de um título é aquele efetivamente pago (recebido) por este título, na data de seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. O Valor Atual é obtido pela diferença entre seu valor nominal e o desconto comercial aplicado. Vc = N - Dc

26 Ex.: Um título de crédito no valor de $ 2000, com vencimento para 65 dias, é descontado à taxa de 130 % a.a. de desconto simples comercial. Determine o valor de resgate (valor atual) do título. N = $ 2000 Dc = N. i. n = $ /360 n = 65 dias = 65/360 Dc = $ 469,44 i = 130 a.a. = 1.30 Dc =? Vc = N Dc = $ $ 469,44 Vc =? Vc = $ 1.530,56 CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTA Primeiro definimos: Renda imediata: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do 1º período a contar da data zero. Renda antecipada: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no início do 1º período, ou seja, na data zero. Renda diferida: ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos, a contar da data zero. Capitalização: tem como objetivo determinar o montante constituído por depósitos periódicos de quantias constantes sobre os quais incide a mesma taxa. Amortização: tem como objetivo determinar o valor atual, o valor de um empréstimo, constituído por prestações periódicas de quantias constantes sobre os quais incide a mesma taxa.

27 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 1) Fator de Capitalização => n / i s 1 i i n 1 (tabelado) a) Renda Imediata: Montante (VF) após n períodos de aplicação de T reais no final de cada período (renda imediata), a uma taxa de rendimento i é de: VF T s n / i Exemplo 1: Calcule o valor futuro de uma série de 12 depósitos de R$ 500,00, realizados no final de cada mês, sendo que a taxa de rendimento é de 1,5% ao mês. R: R$ 6520,61 Exemplo 2: Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizado anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ ,00? R: R$ ,19 Exemplo 3: A que taxa uma pessoa realizando depósitos mensais imediatos no valor de R$ 8.093,00, forma um capital de R$ ,00 ao fazer o décimo quinto depósito? R: 1,5% ao mês Exemplo 4: Quantas prestações mensais imediatas de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se constituir o montante de R$ 6.706,00? R: 12 prestações. Resolva:

28 Exercício 1: Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 25 ao mês, quanto possuirá em 1 ano e 3 meses. R: R$ ,52 Exercício 2: Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ ,00 à taxa de 25 % ao ano. R: R$ ,90 Exercício 3: Desejamos fazer aplicações mensais imediatas de R$ ,00, de modo que na data do décimo depósito constituamos o montante de R$ ,00. A que taxa devemos aplicar aquelas importâncias? R: 1% ao mês Exercício 4: Quantas mensalidades de R$ 2.000,00 serão necessárias para, a 0,5% ao mês, constituirmos um capital de R$ ,00? R: 8 mensalidades b) Renda antecipada: Montante (VF) após n períodos de aplicação de T reais, no início de cada período (renda antecipada), a uma taxa de rendimento i é de: VF T s n 1/ i 1 Exemplo 5: Calcule o valor futuro de uma série de 12 depósitos de R$ 500,00, realizados no início de cada mês, sendo que a taxa de rendimento é de 1,5% ao mês. R: R$ 6.618,41

29 Exercício 5 : Quanto se deve depositar no início de cada mês, numa instituição financeira que paga 1,5% ao mês, para constituir o montante de R$ ,00 no fim de 3 anos? R: R$ 1.041,99 AMORTIZAÇÃO COMPOSTA 2) Fator de Amortização => n / i a n 1 i 1 i 1 i n (tabelado) a) Renda Imediata: O valor do empréstimo (VP) a ser pago em n parcelas de T reais, no final de cada período (renda imediata), a uma taxa de juros i é de: VP Ta n / i Exemplo 6: Calcule o valor das 12 parcelas iguais de um empréstimo de R$ 5.000,00, pagas ao final de cada mês, sendo que a taxa de juros é de 3% ao mês. R: R$ 502,31 Exercício 6: calcule o valor atual de uma motocicleta comprada a prazo, com uma entrada de R$ 1.200,00 e o restante à taxa de 4% ao mês. O prazo do financiamento é de 12 meses e o valor da prestação é de R$ 192,00. R: R$ 3001,93 Exercício 7: O preço de um carro é de R$ ,00. Um comprador dá 40% de entrada e o restante é financiado à taxa de 2,5% ao mês em 12 meses. Calcule o valor da prestação mensal. R: R$ 2.205,16 b) Renda antecipada: O valor do empréstimo (VP) a ser pago em n parcelas de T reais, no início de cada período (renda imediata), a uma taxa de juros i é de:

30 VP T a n 1/ i 1 Exemplo 7: Calcule o valor das 12 parcelas iguais de um empréstimo de R$ 5.000,00, pagas no início de cada mês, sendo que a taxa de juros é de 3% ao mês. R: R$ 487,68 Exercício 8: Que dívida pode ser amortizada por 12 prestações bimestrais antecipadas de R$ 1.000,00 cada uma, sendo de 5% ao bimestre a taxa de juro? R: R$ 9306,41 Exercício 9: Determine o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações antecipadas, um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 3% ao mês. R: R$ 1.433,77 c) Renda diferida (carência): O valor do empréstimo (VP) a ser pago em n parcelas de T reais, após um diferimento (carência de m períodos), no final de cada período (renda imediata), a uma taxa de juros i é de: VP T a a m n / i m/ i Lembrando que m é período que antecede a renda imediata

31 Exemplo 8: Calcule o valor das 12 parcelas iguais de um empréstimo de R$ 5.000,00, pagas ao final de cada mês, sendo que a taxa de juros é de 3% ao mês e a primeira parcela deverá ser efetuada 3 meses após a realização do empréstimo. R: R$ 532,90 Exercício 10: Uma dívida de R$ ,00 foi amortizada com 6 prestações mensais. Qual o valor dessas prestações, sendo a taxa de juro igual a 1,5% ao mês e tendo havido uma carência de 2 meses? R: R$ 3.616,60 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E CARÊNCIA Amortização Conceito: Ato de pagar as prestações que foram geradas mediante tomada de empréstimo. Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações sucessivas. Prazo de amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortizações. Parcelas de amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal, ou seja, do capital emprestado.

32 Nos sistemas de amortização os juros serão sempre cobrados sobre o saldo devedor, considerando a taxa de juros compostos, sendo que, se não houver pagamento de uma parcela, levará a um saldo devedor maior, calculando juro sobre juro. Saldo Devedor é o estado da dívida, ou seja, o débito, em um determinado instante de tempo. Sistemas de Amortização Definição: meios pelos quais vai se pagando uma dívida contraída, de forma que seja escolhida pelo devedor a maneira mais conveniente para ele. Qualquer um dos sistemas de amortização pode ter, ou não, prazo de carência. Prazo de carência: período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Durante esse prazo o devedor só paga os juros. Sistema Americano Após um certo prazo o devedor paga, em uma única parcela, o capital emprestado, ou pode querer pagá-lo durante a carência. A modalidade mais comum é aquela em que o devedor paga juros durante a carência. Prestação Principal Juro Períodos

33 O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um fundo que iguale o desembolso a ser efetuado para amortizar o principal. Tal fundo é conhecido por sinking fund na literatura americana e, na brasileira, por fundo de amortização. C: i: 1,5% a.m. Amortização no 5º mês Os juros são calculados sobre o saldo devedor, pagos no final. Mês Saque Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , ,00-750,00 750, ,00-750,00 750, ,00-750,00 750, ,00-750,00 750, ,00 750, ,00

34 Total , , ,00 Há capitalização dos juros durante a carência: Mês Saque Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , ,00-750, ,25-761, ,92-772, ,18-784, ,00 796, ,20 Total , , ,20 Sistema de amortizações variáveis As parcelas de amortização são contratadas pelas partes e os juros são calculados sobre o saldo devedor. Neste caso, a devolução do principal (amortizações) é feita em parcelas desiguais. Isto pode ocorrer na prática quando as partes fixam, antecipadamente, as parcelas de amortizações (sem nenhum critério particular) e a taxa de juros cobrada.

35 Prestação Juro Amortização Períodos Nestas condições a taxa de juros também será sobre o saldo devedor. O empréstimo é amortizado mensalmente conforme abaixo:. 1º mês

36 2º mês º mês º mês C: i: 1,5% a.m. Amortização: 4 meses Coloca-se inicialmente as amortizações, a seguir são calculados os juros sobre o saldo devedor do período anterior e calculada a prestação: Mês Saque Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , ,00 750, , , ,00 600, , , ,00 375, ,00 4-0, ,00 225, , Total , , ,00 DETERMINAÇÃO DO SALDO DEVEDOR (Sistema Price e de Amortização Constante)

37 No mundo dos negócios, é bastante comum contrair-se uma dívida para saldá-la a médio e longo prazo. Considerando o fato de que o valor nominal de cada pagamento consiste em uma mescla de pagamentos de juros e de amortização do principal, podem-se usar várias metodologias para estabelecer a forma de liquidar-se uma dívida. Para efeito ilustrativo, lembramos que a crise pela qual vem passando o S.F.H. (Sistema Financeiro da Habilitação), aliada à estabilização da economia, implicou uma série de alternativas de financiamentos, consórcios e cooperativas no ramo imobiliário. Tais situações práticas constituem-se na aplicabilidade do assunto aqui tratado; sobremaneira nos sistemas utilizados com maior freqüência. Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. Uma característica fundamental dos sistemas de amortização a serem estudados é a utilização exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurado em período imediatamente anterior. Conceitos Iniciais Amortização: é o pagamento do principal ou capital emprestado que é feito, normalmente, de forma periódica e sucessiva durante o prazo de financiamento. Juros: é o custo do capital tomado sob o aspecto do mutuário e o retorno do capital investido sob o aspecto do mutuante. Prestação: é o pagamento da amortização mais os juros relativos ao saldo devedor imediatamente anterior ao período referente à prestação. A taxa de juros pode ser pré ou pós-fixada, dependendo de cláusula contratual. Entende-se como taxa pré-fixada aquela cuja expectativa de inflação futura já está incorporada à taxa, enquanto na pós-fixada existe a necessidade de apurar-se a desvalorização ocorrida por conta da inflação, compensado-a através da correção monetária. Saldo devedor ou estado da dívida: é o valor devido em certo período, imediatamente após a realização do pagamento relativo a este período. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE) (S.A.F)

38 Este sistema estabelece, ao contrário do S.A. C, que as prestações são iguais e sucessivas durante todo o prazo da amortização. È importante notar que, à medida que as prestações são realizadas, o saldo devedor é diminuído implicando, dessa forma, uma concomitante diminuição dos juros apurados para o período em análise. Porém, em função de manter-se a uniformidade em relação ao valor da prestação, a amortização aumenta de forma a compensar a diminuição dos juros. O cálculo do valor da prestação é feito, a partir do FATOR DE VALOR PRESENTE POR OPERAÇÃO MÚLTIPLA, através da fórmula: (1 i) R P. n (1 i) n.1 1 Onde: R = valor das prestações P = principal i = taxa de juros n = período Exemplo: Uma pessoa contraiu um empréstimo de $20.000,00 para ser pago ao longo de cinco anos com prestações semestrais (sistema francês) à taxa de 18% ao semestre. Monte a planilha financeira. Resolução: 1º Cálculo do valor da prestação:

39 (1 i) R P. n (1 i) n (1 0,18).1 R R = $4.4450,30 10 (1 0,18) 1 2º Montagem da planilha: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Atual , ,00 850, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,417, , , , , , , , , , , ,47 678, ,30 0,00 Totalizações , , ,83 Observações: 1. Os juros incidem sobre o saldo atual. 2. A amortização é a diferença entre a prestação e os juros. 3. O saldo atual consiste na diferença entre o saldo atual anterior e a amortização. 4. O saldo devedor consiste na soma do saldo atual mais os juros.

40 Exercício: Um imóvel no valor de $60.000,00 será pago através de prestações trimestrais durante 4 anos. Elabore a planilha financeira pelo sistema francês, sabendo que a taxa é de 7% a.t. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (S.A.C) Este tipo de sistema, como o próprio nome sugere, consiste na amortização constante do principal durante todo o prazo de financiamento. A prestação a ser paga será decrescente, na medida em que os juros incidirão sobre um saldo devedor cada vez menor. O valor da amortização é calculado através da divisão entre o capital inicial e o número de prestações a serem pagas. Exemplo. Fazer o quadro demonstrativo para um empréstimo no valor de $10.000, o qual será amortizado em cinco prestações trimestrais à razão de 7% ao trimestre através do S.A.C. Para montagem da planilha, devemos inicialmente calcular o valor da amortização: P A n Onde: A = Amortização P = Principal n = números de prestações Resolução:

41 P A n A A = $2.000,00 5 Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Atual ,00 700, , , , ,00 560, , , , ,00 420, , , , ,00 280, , , , ,00 140, ,00 0,00 Totalizações , , ,00 Observações: Os juros são obtidos sobre o saldo devedor anterior ao período de apuração do resultado. A prestação é a soma da amortização aos juros calculados no período. O saldo devedor é a soma dos juros ao saldo anterior; O saldo atual é a diferença entre o saldo devedor e a prestação; Exercício: Uma empresa contraiu um empréstimo para financiar uma subsidiária no valor de $ ,00 à taxa de 20% a.s. Sabendo que o empréstimo será amortizado em oito prestações semestrais pelo S.A.C, monte a planilha financeira.

42 Período Totalizações Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Atual ANÁLISE COMPARATIVA S.A.F x S.A.C Visando comparar as duas metodologias aqui apresentadas, faremos um estudo em conjunto a partir de uma situação hipotética a seguir: Principal: $15.000,00 Taxa de Juros: 10% a.p. Número de Períodos: 10 1º Cálculo da amortização para o S.A.C P A n A A = 1.500,00 10

43 2º Cálculo da prestação para o S.A.F. (1 i) R P. n (1 i) n (1 0,10).0,10 R R = 2.441,18 10 (1 0,10) 1 S. A. C. Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Atual , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 900, , , , ,00 750, , , , ,00 600, , , , ,00 450, , ,00

44 , ,00 300, , , , ,00 150, ,00 0,00 Totalizações , , ,00 S. A. F. Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Atual , ,00 941, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,78 925, , , , ,36 773, , , , , , , , , ,50 423, , , , ,25 221, ,18 0,00 Totalizações , , ,81 Como podemos constatar a partir da análise das planilhas, as prestações do S.A.C. são maiores do que as do S.A.F no início do período, ficando menores no final. Evidentemente, existe um momento em que ocorre a igualdade dos pagamentos. Podemos calcular este instante através do seguinte raciocínio:

45 Sendo j = P. i. n (juros) P A (amortização) n R = A + j (prestação) Então: P R1 P. i.1 n De fato: R1 = , R1 = $3000,00 Atentando para a planilha do S.A.C. notamos, a partir do 2º período, que as prestações apresentam valores aritmeticamente decrescentes, daí podemos expor em termos matemáticos:

46 R2 = A + {j [(1/n. P). i]} R2 P P. i.( n 1) { n n De fato: ,10.(10 1) R 2 { } = R2 = 2.850, Podemos generalizar esta fórmula da seguinte maneira: Rk P P. i.[ n ( k 1) { } n n Onde: K = período de análise Exemplo: Calcule a prestação do S.A.C. em relação ao 7º período. Resolução: ,10.[10 (7 1) R 7 { R7 = $2.100,00 Bibliografia Básica

47 SOBRINHO, José Dutra Vieira Matemática Financeira, Editora Atlas, PUCCIN, Abelardo de Lima, OUCCINI, Adriana Matemática Financeira, Editora Saraiva, SILVA, André Luiz Carvalhal da Matemática Financeira Aplicada, Editora Atlas, 2006.