C (PV, Valor Presente Present Value), o capital aplicado; M (FV, Future Value Valor Futuro), o montante a receber.

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1 Introdução A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, objetivando analisar e comparar fluxos entrada e saída de dinheiro de caixa acontecendo em momentos diferentes. O recebimento ou fornecimento de uma quantidade de dinheiro hoje ou no futuro são coisas diferentes. Postergar uma entrada (ou recebimento) envolve um custo que deve ser compensado no futuro. Conceitos C (PV, Valor Presente Present Value), o capital aplicado; M (FV, Future Value Valor Futuro), o montante a receber. N, o número de períodos envolvidos no processo. J, Juros. São os rendimento da aplicação. Taxa de juros (i) coeficiente que determina o valor dos juros (compensação) e se referem sempre a um período de tempo. São dados de duas formas. Exemplos: Taxa percentual: 20% Taxa unitária : 0,20 As fórmulas são apresentadas em função de taxas unitárias.

2 Modalidades de aplicações: Regime de Juros Simples Crescem segundo uma progressão aritmética; J = C. i. n) (1) M=C + J; M = C (1 + i. n) FV = PV (1 + i. n) (2) Regime de Juros Compostos Crescem segundo uma progressão geométrica. M = C ( 1 + i ) n FV = PV ( 1 + i ) n (3) C = M / ( 1 + i ) n PV = FV / ( 1 + i ) n (4) J = FV PV = M - C J = C [( 1 + i ) n -1] (5) i = [FV/PV] (1/ n) 1 Ln [FV/PV) n= ] Ln[1 + i] ] (6) Representação no tempo PV FV = PV ( 1 + i ) n PV PV = FV / ( 1 + i ) n

3 Sequência de pagamentos (ou recebimentos) Seja uma sequencia de pagamentos de mesmo valor, ao longo de n períodos, sujeita a uma taxa de juros (unitária) composta por período. P P P P P P n Qual o valor presente (C, PV) correspondente a esta série de aplicações? Em outras palavras, qual o valor atual de uma série de aplicações (ou recebimentos) de meso valor feitas em n períodos sucessivos? Sob outro ponto de vista, se for feita uma compra a prazo, de um objeto que custa hoje o valor C (PV), qual o valor da prestação, P (PMT PayMenT) que deverá ser paga sucessivamente em n períodos? Este problema foi resolvido por matemáticos em séculos passados e a solução exprime o Capital equivalente HOJE (no momento zero, momento da compra, do empréstimo, ou da aplicação) em função dos pagamentos, P (PMT), da taxa de juros unitária e do período dado. O valor do capital é expresso por: (1 + i) n - 1 C=P.[ ] (7) (1 + i) n. i O valor de P é expresso por: [(1 + i) n. i ] P=C.{ } [(1 + i) n 1] (8)

4 Exercícios sobre JUROS COMPOSTOS 1 Calcular o montante de uma aplicação de $8 000,00 no seguintes casos a) i = 5,5% a.m. n = 2anos Resp.; $ ,20 b) i = 9% ao bimestre. n = 1 ano e 8 meses Resp.; $ ,10 c) i = 12% a.a. n = 108 meses Resp.; $ ,30 2 Determinar os juros para C = $ ,00 nas seguintes condições e prazos a) i = 1,5% a.m. n = 1 anos Resp.; $ ,80 b) i = 3,5% ao trimestre n = 2 anos 6m Resp.; $ ,90 c) i = 5,5% ao semestre n = 3anos Resp.; $ ,60 d) i = 4,2% ao quadrimestre n = 84m Resp.; $ ,70 3 Em quanto tempo duplicará um capital que cresce a taxa de 2,2% a.m. Resp.: 31,85 meses 4 Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valor de resgate de $ 4000,00 e $ 9000,00, vencíveis respectivamente em 5 e 7 meses. Desejando antecipar a liquidação da dívida para o momento atual calcule o valor a ser pago considerando a taxa de juros compostos de 1,9% a.m. Sugestão: Use a representação no tempo equação (4) da página 1, para cada um dos valores de resgate nos seus períodos respectivos. Some os resultados. 5 Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ ,00 no prazo de 8 meses à taxa de JC de 3,5% a.m. Resp. = $ ,71 6 Determine a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação de $400000,00 que produziu $ ,63 no final de um quadrimestre. Resp;= 0,0235

5 7 - A aplicação de $22 000,00 efetuada em certa data produz sob a taxa de juros compostos de 2,4% a.m., o montante de $26596,40, em certa data futura. Calcule o prazo da aplicação Resp. 8m 8 Determinar o juro pago para um empréstimo de $ ,00 por 5 meses, a taxa composta de 4,5% a.m. Resp ,02 9 Quanto será pago por um empréstimo de $ ,00 vencível de hoje à 14 meses ao se antecipar de 5 meses a data de pagamento. O credor está disposto a atualizar a dívida à taxa composta de 2,5% a.m. Resp. $17 677,10 10 Considere um empréstimo que envolve a série de pagamentos, sendo a taxa de juros de 3% a.m Calcule o valor presente dessas aplicações na data de hoje Resp. PV= / (1,03) / (1,03) / (1,03) / (1,03) 8 = $ ,15 ******************************************************************* Exercícios sobre juros compostos para lista de exercícios 1) Determinar o montante correspondente a uma aplicação de $ ,00, pelo prazo de 7 meses, a uma taxa de 3,387% ao mês. 2) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de $ ,00 à taxa de 3,75% ao mês. 3) Uma empresa obtém um empréstimo de $ ,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado.

6 4) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no valor de $ ,00 por 90 dias, à taxa de 5,65% a.m. Qual é o montante a ser desembolsado pela empresa, na data do vencimento da operação? 5) Uma empresa desembolsou $ ,00 no vencimento de um empréstimo contratado por 90 dias, à taxa de 5,65% a.m.qual foi o valor do empréstimo? 6) Qual foi a taxa mensal de juros apurada por um investidor, para uma aplicação de $ ,00, cujo valor de resgate após 60 dias foi de $ ,25? 7) Uma empresa desembolsou $ ,97 no vencimento de um empréstimo contratado por 150 dias, à taxa de 8,73% a.m.qual o valor do empréstimo? Referência Matemática financeira e suas aplicações Alexandre Assaf Neto A84m

7 Desconto Normalmente é realizada quando se conhece o valor nominal de um título (dívida, cheque pré-datado, valor de face ou valor de resgate) e se quer oferecer um abatimento segundo alguma condição entre as partes. D = VN * i, onde i é a taxa de desconto, e VN é o valor nominal (o que está sendo cobrado, ou da dívida, ou resgatado) Exemplo1: O senhor Teobaldo vende animais para pagamento em três prestações mensais ou no ato com 5% de desconto. Um animal custa $450,00 (que podem ser pagos em 3 X $150,00). Qual o desconto (D)? Qual o valor no ato (Valor nominal desconto). Resposta: D = 450 * 0,05 D = 22,50 O valor no ato é ,5 = 422,50 Exercício 1 - A senhora Doralice, compra roupas n fábrica e as repassa para vendedoras de venda ponto a ponto, pagando comissão de 15% sobre o total da venda. Exemplo, se um produto for vendido por $100,00, a senhora Doralice para $15,00 de comissão e recebe $85,00. Se a senhora Doralice quer $230,00 por uma venda, qual deverá ser o valor que o mesmo deve ser vendido para que, descontada a comissão da vendedora, a senhora Doralice receba $230,00. Resposta: $ 270,59 Desconto simples - Envolve cálculos lineares. A taxa no período incide sobre o valor futuro e não sobre o valor presente (como são as demais operações). Conhecido no mercado financeiro como desconto bancário ou comercial, o desconto simples é obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja: D = FV. i. n (9) Onde: D = Valor do Desconto ($); FV = Valor Futuro ou de Face i = taxa de desconto; n = o prazo O valor presente é dado por: PV = FV D (10) Exemplos: Qual o valor do desconto simples de um título de $ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? Dados: FV = 2.000,00 n = 90 dias = 3 meses i = 2,5% a.m. D = FV. i. n D = x 0,025 x 3 D = 150,00

8 Matéria para o segundo bimestre IRR Taxa Interna de Retorno (Rentabilidade) Pode ser usada para determinar o custo de um empréstimo/financiamento. Conceitualmente, o IRR é a taxa de juros que iguala numa única data, os fluxos de entrada e saída produzidos por uma operação financeira (aplicação ou captação). É a taxa de juros que,se utilizada para descontar um fluixo de caixa, produz um resultado nulo. Exemplo. $ ,00 produz $ ,60 no final de 3 meses. Calcule a IRR. Resposta: 2,5% ao mes