Prof. Luiz Felix. Unidade II MATEMÁTICA APLICADA

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Antônio Cruz da Costa
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1 Prof. Luiz Felix Unidade II MATEMÁTICA APLICADA

Ajuste de curvas É um método que consiste em

Custo Total X Quantidade Custo Total em R$

2 Ajuste de curvas É um método que consiste em encontrar uma curva que se ajuste a uma série de pontos e que, possivelmente, cumpra uma série de parâmetros adicionais. Custo Total X Quantidade Custo Total em R$ Quantidade em unidades

3 Ajuste de curvas Teoria de interpolação obtenção de funções que passem exatamente pelos pontos dados. Teoria de aproximação obtenção de funções que se aproximem ao máximo dos pontos dados.

4 Método dos mínimos quadrados Consiste em um dos mais simples e eficazes métodos da análise de regressão. É utilizado quando temos uma distribuição de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse conjunto de dados.

5 Regressão linear equação da reta y = A.x + B n = número de pontos observados. x = soma dos valores de x. y = soma dos valores de y. x.y = soma dos produtos entre x e y. x2 = soma dos quadrados dos valores de x. x = x e y = y (médias de x e y). n n

6 Regressão linear exemplo Uma empresa produz uma determinada quantidade de produtos (x) e tem seu custo (y) de acordo com a tabela abaixo. Qual a curva que se adapta melhor para o conjunto de pontos e qual a previsão de custo para 10 unidades do produto? X y

7 Regressão linear exemplo y = A.x + B x y x.y x =10 =690 = 1992 =30

8 Regressão linear exemplo y = A.x + B Sendo x = 10 e y = 690, temos: x = 10 = 2,5 y = 690 = 172,5 4 4 A = (2,5).172,5 = = 53, (2,5)

9 Regressão linear exemplo B = y A.x = 172,5 53,4. 2,5 = 39 y = A.x + B y = 53,4.x + 39 Para 10 unidades o custo será: y = 53,4.x + 39 y = 53, = 573

10 Interatividade Determine a equação da reta que melhor se ajusta aos seguintes pontos: a) y = 0,24.x 2,72. x y b) y = 0,24.x + 2, c) y=055x+389 0,55.x 3, d) y = 2,72.x + 0,24. e) y = 3,89.x 0,

11 Resposta A alternativa correta é: a) y = 0,24.x 2,72.

12 Regressão linear resolução y = A.x + B x y x.y x =

13 Regressão linear resolução y = A.x + B Sendo x = 165 e y = 26, temos: x = 165 = 33 y = 26 = 5,2 5 5 A = (33).5,2 = = 137 = 0, (33) B = 5,2 0,24.33 = 5,2 7,92 = 2,72 y = 0,2.4x 2,72

14 Matemática financeira De modo geral, podemos afirmar que a matemática financeira é a divisão da matemática aplicada que estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo.

15 Juros Juros são a remuneração de um capital aplicado a uma taxa estipulada, previamente, durante um determinado prazo. A incidência de juros é resultado de vários fatores, dentre os quais podemos destacar: inflação: redução do poder aquisitivo da moeda num determinado espaço de tempo. risco: os juros recebidos representam garantia contra possíveis riscos do investimento.

16 Taxa de juros A taxa de juros pode se apresentar na forma porcentual (exemplo: 11%) ou na forma unitária (exemplo: 0,11) e é simbolizada pela letra i. Forma Porcentual 30% a.m. 3% a.a. 23,5% a.d. Transformação _3_ ,5 100 Forma Unitária 0,30 a.m. 0,03 a.a. 0,235 a.d.

17 Taxas de juros exercícios Passe para a forma unitária os seguintes valores: 0,5% a.a. 0,005 a.a. 2% a.s. 0,02 a.s. 10% a.t. 01at 0,1 a.t. 17,5% a.d. 0,175 a.d. Passe para a forma porcentual os seguintes valores: 0,003 a.b. 0,3% a.b. 0,04 a.m. 4% a.m. 0,5 a.a 50% a.a. 0,18 a.d. 18% a.d.

18 Fluxo de caixa Linha horizontal é a escala do tempo. O ponto 0 indica o ponto inicial. Demais pontos representam os demais períodos de tempo (datas). Entradas de Caixa ( + ) tempo Saídas de Caixa ( - )

19 Juros simples Juros de cada período incide sobre o capital inicial aplicado juros não rendem juros. Crescimento linear ou em progressão aritmética. Poucas são as operações financeiras e comerciais.

20 Juros simples * Crescimento de 40% em 4 períodos.

21 Taxas e tempo Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo. Exemplos: 36% a.a. = 36/12 = 3% ao mês. 36% a.a. = 36/6 = 6% ao bimestre. 36% a.a. = 36/4 = 9% ao trimestre. 36% a.a. = 36/2 = 18% ao semestre.

22 Juros simples taxas e tempo exercícios Qual a taxa mensal equivalente a 8% ao bimestre? Resposta - 8/2 = 4% ao mês. Qual a taxa mensal equivalente a 3% ao trimestre? Resposta - 3/3 = 1% ao mês. Qual a taxa mensal equivalente a 24% ao semestre? Resposta - 24/6 = 4% ao mês.

23 Interatividade Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? a) 0,16% ao ano. b) 0,5% ao ano. c) 6% ao ano. d) 12% ao ano. e) 24% ao ano.

24 Resposta A alternativa correta é: e) 24% ao ano.

25 Juros simples fórmulas J = C. i. n Onde: J = juros C = capital i = taxa de juros n = número de períodos M = C + J ou M = C.(1 + i.n) Onde: M = montante

26 Juros simples exemplo Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês, durante 5 meses. Quanto receberá de juro e qual será o montante ao fim dessa aplicação? C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J =? M =? J = C.i.n M = C + J J = M = J = M = J = R$ ,00 M = R$ ,00 Resolução incorreta

27 Juros simples exemplo Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês, durante 5 meses. Quanto receberá de juro e qual será o montante ao fim dessa aplicação? C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J =? M =? J = C.i.n M = C + J J = ,02. 5 M = J = 300 M = 3300 J = R$ 300,00 M = R$ 3.300,00

28 Juros simples exemplo Um investidor aplicou R$ ,00 à taxa de 30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob regime de juro simples? C = n = 80 dias i = 30% a.a. J =? J = C.i.n J = ,3. 80 J = J = R$ ,00 Resolução incorreta

29 Juros simples exemplo Um investidor aplicou R$ ,00 à taxa de 30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob regime de juro simples? C = n = 80 dias i = 30% a.a. = 2,5% a.m. = 0,0833% a.d. J =? J = C.i.n J = , J = 999,6 J = R$ 999,60

30 Juros simples exemplo Calcule o capital que deve se empregar à taxa de 6% a.m., a juro simples, para obter R$ 6.000,00 de juro em 4 meses: C =? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 meses J = C.i.n 6000 = C. 0, = C. 0,24 C = 6000 = ,24 C = R$ ,00

31 Interatividade Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. por quatro meses e quinze dias: a) R$ 150,00. b) R$ ,00. c) R$ 702, d) R$ ,00. e) R$ 234,00.

32 Resposta A alternativa correta é: e) R$ 234,00. Dica para a resolução: i = 13% a.t. i = 4, % a.m. i = 0, % a.d. n = 4 meses e 15 dias = 135 dias J = , = 234 J = R$ 234,00

33 Juros compostos Juros de cada período incide sobre o capital do início do período (saldo) juros rendem juros. Crescimento exponencial ou em progressão geométrica. É o mais comum no sistema financeiro.

34 Juros compostos Suponha que R$100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:

35 Juros compostos fórmula M = C.(1 + i) n Onde: M = montante C = capital i = taxa de juros n = número de períodos

36 Juros compostos exemplo Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o total de juros efetuados? C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C.(1 + i)n M = 6000.(1+0,02)3 M = 6000.(1,02)3 = ,06 = M = R$ ,00 Resolução incorreta

37 Juros compostos exemplo Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o total de juros efetuados? C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C.(1 + i)n M = 6000.(1+0,02)3 M = 6000.(1,02)3 = ,0612 = 6367,20 M = C + J 6367,20 = J J = 6367, = 367,20 O montante foi de R$ 6.367,20 e o juros de R$ 367,20.

38 Juros compostos exemplo Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano? M = i = 2,5% a.m. n = 12 meses M = C.(1 + i)n 3500 = C.(1+0,025) = C(1,025) = C1,3449 C = 3500 = 2.602,42 1,3449 O capital é de R$ 2.602,42.

39 Interatividade Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 4.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? a) R$ 4.240,00. b) R$ 5.065,90. c) R$ ,00. d) R$ 4.245,45. e) R$ 5.040,65.

40 Resposta A alternativa correta é: d) R$ 4.245,45. Resolução: C = 4000 i = 1,5% a.m. n = 4 meses M = C.(1 + i)n M = 4000.(1+0,015)4 M = 4000.(1,015)4 = , M = 4.245,45 M = R$ 4.245,45

41 ATÉ A PRÓXIMA!

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