Matemática Financeira

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1 Taxas Equivalentes Taxas Nominais Taxas Efetivas 1

2 Taxas Equivalentes - Juros Simples Duas Taxas são Equivalentes se resultarem em Montantes iguais a partir do mesmo Capital ao final de certo período de tempo. Em Juros Simples, a Taxa Equivalente é a própria taxa proporcional da operação. Por Exemplo: a taxa de 3% a.m. e 9% a.t (ao trimestre) são ditas proporcionais, pois 1/3 = 3/9 São também equivalentes, pois promovem a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo período de tempo. 2

3 Taxas Equivalentes - Juros Simples n = 3 meses n = 12 meses FV (3% a.m.) = 80mil (1 + 0,03 x 3) = $ ,00 FV (9% a.t. ) = 80mil (1 + 0,09 x 1) = $ ,00 FV (3% a.m.) = 80mil (1 + 0,03 x 12) = $ ,00 FV (9% a.t. ) = 80mil (1 + 0,09 x 4 ) = $ ,00 3

4 Taxas Equivalentes - Juros Compostos O conceito enunciado de Taxa Equivalente permanece válido para o regime de Juros Compostos. A diferença fica por conta da fórmula de cálculo da Taxa de Juros. Por se tratar de Capitalização Exponencial, a expressão da taxa equivalente composta É a média geométrica da Taxa de Juros do período inteiro. 4

5 Taxas Equivalentes - Juros Compostos Onde: q = número de períodos de capitalização Por Exemplo, a Taxa Equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre é de 1,66%, ou seja: = 0,0166 ou: 1,66% a.m. 5

6 Taxas Equivalentes - Juros Compostos Para um mesmo capital e prazo de aplicação, é indiferente (equivalente) o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre. Exemplo: Um capital de $100mil aplicado por anos produz: Para i = 1,66% e n = 24 meses: Para i = 10,3826% e n = 4 semestres: 6

7 Taxas Equivalentes - Exemplo Um banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). Desta maneira, uma aplicação de $ produz, ao final de 6 meses, o montante de $ (10mil * 1,12). Efetivamente, 12% constituem-se na Taxa de Rentabilidade da operação para o período inteiro de um semestre, e, em bases mensais, esse percentual deve ser expresso em termos de Taxa Equivalente Composta. Assim, os 12% de rendimentos determinam uma rentabilidade efetiva mensal de 1,91%, e não de 2% conforme foi anunciado. ao mês 7

8 Taxas Equivalentes - Exemplos Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? i 25,00% ao ano q 1 ano 12 meses = 1,877% a.m. i 25,00% ao ano q 1 ano 4 trimestres = 5,737% a.t. 8

9 Taxas Equivalentes - Exemplos Explicar a melhor opção: aplicar um capital de $ 60mil à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano. Considerando, n = 1 ano = $ ,00 = $ ,00 Produzindo resultados iguais para um mesmo período, Diz-se que as taxas são Equivalentes. Portanto, é indiferente, para um mesmo prazo, e para o regime de juros compostos aplicar a 9,9% a.s. ou a 20,78% a.a. 9

10 Taxas Equivalentes - Exemplos Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de 20,4999% para 5 meses. Calcular também a equivalente mensal composta dessas taxas. Uma maneira de identificar a equivalência de taxas de juros é apurar o MMC de seus prazos e capitalizá-las para este momento. Se os resultados forem iguais na data definida pelo MMC, diz-se que as taxas são equivalentes, pois produzem, para um mesmo capital, montantes idênticos. para 15 meses As taxas são equivalentes compostas, pois quando capitalizadas para um mesmo momento, produzem resultados iguais. Taxa Equivalente Mensal (descapitalização) 10

11 Taxas Equivalentes - Exemplos Uma aplicação financeira rendeu 11,35% em 365 dias. Determinar a Taxa Equivalente de retorno para 360 dias. = 11,1186% p/ 360 dias 11

12 Taxas Equivalentes - Exemplos Calcular a taxa de juro que equivale, em 44 dias, a uma taxa anual de 11,2%. = 1,306% p/ 44 dias 12

13 Taxas Equivalentes - Exemplos Uma mercadoria pode ser adquirida com desconto de 7% sobre o seu preço a prazo. Calcular a Taxa Efetiva mensal de juros que é cobrada na venda a prazo, admitindo um prazo de pagamento de: a) 30 dias b) 40 dias i = 0,0753 (7,53% a.m.) i = 0,0753 (7,53% p/40 dias.) i = 5,59% a.m. 13

14 Taxa Nominal e Taxa Efetiva A Taxa Efetiva de Juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Taxa Efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. q representa o número de períodos de capitalização dos juros 14

15 Taxa Nominal e Taxa Efetiva Uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante efetivo de juros de 56,45% ao ano, ou seja: Quando se diz, por outro lado, que uma Taxa de Juros é Nominal, geralmente, é admitido que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros. Prazo de capitalização dos juros é o período de formação e incorporação dos juros ao principal. 15

16 Taxa Nominal e Taxa Efetiva Seja a Taxa Nominal de Juros de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Os prazos não são coincidentes. O prazo de Capitalização é de um mês; e; O prazo a que se refere a Taxa de Juros igual a de 1 ano (12 meses). Assim, 36% ao ano representa uma Taxa Nominal de juros, Expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização. Quando se trata de Taxa Nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples. A Taxa por período de Capitalização seria de 36%/12 = 3% ao mês (Taxa Proporcional ou Linear). 16

17 Taxa Nominal e Taxa Efetiva Ao Capitalizar-se a Taxa Nominal, apura-se uma Taxa Efetiva de Juros superior àquela declarada para a operação. Sendo assim, no exemplo anterior, temos: Taxa Nominal da operação para o período = 36% ao ano. Taxa Proporcional Simples (taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês. Taxa efetiva de Juros: 17

18 Taxa Nominal e Taxa Efetiva Para que os 36% a.a. fosse considerada a Taxa Efetiva, a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da Taxa Equivalente Composta. Taxa Equivalente Mensal de 36% a.a. Capitalizando-se exponencialmente esta taxa de juros equivalente mensal chega-se aos 36% a.a. Taxa Efetiva Anual 18

19 Taxa Nominal e Taxa Efetiva - Exercícios 1. Um empréstimo no valor de $ ,00 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo. 2. A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira. 3. Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja: (a) mensal; (b) trimestral; (c) semestral. 4. Um aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo de um mês o prazo da aplicação, pede-se determinar a sua rentabilidade efetiva considerando os juros de 42% a.a. como: (a) Taxa Efetiva; (b) Taxa Nominal. 19

20 Para Estudar Mathias e Gomes (2010) Capítulo 4 - Equivalência de Capitais Fazer Exercícios propostos (página 154). MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas,

21 Bibliografia Básica Bibliografia MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática financeira aplicada. Coleção Coppead de Administração. 3a ed., São Paulo: Atlas, ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12a ed., São Paulo: Atlas, Bibliografia Complementar BRUNI, Adriano leal. Matemática financeira com hp12c e excel. São Paulo: Atlas, VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C: tradicional, platinum, prestige. 3a ed., São Paulo: Atlas,