Prof.: Joni Fusinato. Juros Compostos

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1 Prof.: Joni Fusinato Juros Compostos

2 Juros Compostos Calculado sobre o montante obtido no período anterior. Somente no primeiro período é que os juros são calculados sobre o capital inicial. Também conhecido como Juros sobre Juros. Os juros compostos formam uma curva exponencial, cada vez mais inclinada para cima ao longo do tempo. Calculadora Online de Juros Compostos:

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4 Juros Compostos são Injustos? Já houve muita polêmica sobre os juros compostos, considerando injusto o cálculo de juros sobre juros. Entretanto, os juros compostos são aplicados tanto para dívidas, quanto para investimentos, ou seja, os bancos utilizam a mesma matemática tanto na cobrança de dívidas, quanto na remuneração de investimentos (poupança, CDB, LCI,...). Então como um Banco ganha dinheiro? A resposta é simples: a taxa de juros paga pelo Banco (quando você deposita ou investe) é sempre menor que a taxa de juros cobrada (quando você pega um empréstimo ou financiamento).

5 Juros Compostos são Injustos? Portanto, os juros compostos são a forma matematicamente correta e justa de aplicar juros ao dinheiro, entretanto alguns bancos cobram juros muito altos ao emprestar dinheiro. Podemos protestar contra os juros abusivos, mas jamais contra a matemática dos juros compostos. Veja o manifesto em defesa dos juros compostos. Fonte:

6 Fórmulas J = M C M = C.(1 + i) t Juros = J Montante = M ou FV Capital = C ou PV Taxa = i Período de tempo = t ou n M C (1 i) t t M log C log(1 i) Lembretes: O período de capitalização deve ser compatibilizado com a taxa. A taxa é quem define o período da capitalização. A taxa, para ser substituída na fórmula, deverá estar escrita em números decimais. 6

7 Exemplo Um capital de R$ 2.640,00 foi aplicado durante seis meses a uma taxa de juros compostos de 1% a.m. Quantos reais de juros rendeu essa aplicação? M =? C = 2.640,00 i = 1% = 0,01 t = 6 meses M = C. (1 + i) t M = (1 + 0,01) 6 M = (1,01) 6 M = , M = R$ 2.802,41 J = M C J = 2.802, ,00 J = R$ 162,41 R: Esta aplicação rendeu R$ 162,41 de juros. 7

8 1 o Grupo Dados C, t, i, achar M Um capital de R$ ,00 estará aplicado à taxa de juros compostos de 5% ao mês durante 1,5 anos. Determinar o valor do montante dessa aplicação. 1,5 anos = 18 meses (taxa e prazo compatibilizados) M = C.(1 + i) t M = (1 + 0,05) 18 M = , M = ,92 R: O montante é de R$ ,92

9 2 o Grupo Dados M, t, i, achar C A partir do montante de R$ ,00, determinar o principal relativo ao empréstimo com prazo de 1 ano e taxa de juros compostos de 5% ao mês. M = C.(1 + i ) t = C.(1 + 0,05) = C.1, C = /1, = ,61 M C (1 i) t R: O valor do empréstimo foi de R$ ,61

10 3 o Grupo Dados M, t, C, achar i Determinar a taxa de juros mensal composta relativa ao empréstimo cujo montante é de R$ ,00, o capital de R$ ,00 e o prazo do empréstimo é de 1 ano. 1 ano = 12 meses M = C.(1 + i ) t = (1 + i) / = (1 + i) 12 1,72 = (1 + i) 12 E agora? Como resolver? 1ª maneira 12 (1 i) 1, i 1,72 1 i 1,0462 i 1, i 0,0462 i 0, i 4,62% a. m

11 Vamos lembrar da seguinte propriedade: (x a ) b = x a.b Então aplicando a propriedade na equação... 2ª maneira 1,72 = (1 + i) 12 1,72 1 /12 = [(1 + i) 12 ] 1/12 1,72 1 /12 = (1 + i) 12 * 1 /12 1,72 1 /12 = (1 + i) 1 1,0462 = 1 + i i = 1, i = 0,0462 i = 0, i = 4,62% a.m R: A taxa de juros do empréstimo é de 4,62% a.m.

12 4 o Grupo Dados M, C, i, achar t Conhecendo o montante de R$ ,00, o principal de R$ ,00 e a taxa de juros compostos de 7% ao mês, determinar o prazo do empréstimo. M = C.(1 + i ) t = * (1 + 0,07) t / = (1 + 0,07) t 1,84 = (1,07) t E agora? Como resolver? Vamos lembrar da seguinte propriedade: Log(x) a = a.log x 1,84 (1,07) t log(1,84) log(1,07) log(1,84) t.log(1,07) log(1,84) t log(1,07) t 9,01meses t Então aplicando a propriedade na equação...

13 1) Uma aplicação no Tesouro Direto (Selic) rende 14,25% a.a. Considere que você aplicou o dinheiro economizado em mensalidades do seu curso estimado em um montante de R$ ,00 (R$ 800,00 por mês em 3 anos) por 20 anos, qual será o valor a ser resgatado? 2) Considere uma aplicação de R$ 5.000,00 no Tesouro Direto (IPCA+2019) que paga juro nominal de 13,25% a.a. Calcule o tempo necessário para o capital dobrar de valor. 3) A partir do montante de R$ 8.000,00, determinar o capital relativo ao empréstimo com prazo de 1 ano e 4 meses a uma taxa de juros compostos de 1,2% ao mês.

14 Taxas Equivalentes Juros Compostos Duas taxas de juros são equivalentes se, aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final. No regime de juros composto, as taxas de juros não são proporcionais, ou seja, 12% ao ano não é equivalente a 1% ao mês. Conversão entre taxas Juros Compostos a m 12 i (1 i ) -1 i 12 m (1 i a) 1 ou m a 1 12 i (1 i ) 1 i a = taxa anual i m = taxa mensal

15 Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? i a = (1 + i m ) 12-1 i a = (1,005) 12-1 i a = 0,0617 = 6,17% a.a. Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês: i a = (1 + i m ) 12-1 i a = (1,02) 12-1 i a = 1, = i a = 0,2682 ou 26,82% a.a

16 Qual a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano: i m = (1 + i a ) 1/12 1 i m = (1,60103) 1/12 1 i m = 1,04-1 i m = 0,04 ou 4% ao mês Qual a taxa mensal do cheque especial cobrada pelo Banco do Brasil equivalente a 264,35% ao ano? 12 im 1 2, Im 3, i 1, i m m 0, ou 11,38% a.m

17 TAXAS DE JUROS DE CHEQUE ESPECIAL Bancos a.m a.a 21 Safra S.A. 11,62 274,17 23 Bradesco S.A. 11,98 288,72 25 Caixa Econômica Federal 12,01 289,98 26 Banco do Brasil S.A. 12,11 294,23 27 Itaú 12,63 316,80 29 Citibank S.A. 14,73 420,35 30 Santander 15,00 434,84 Fonte: Banco Central - 24/08/2016 A 30/08/2016

18 Taxa anual de juros para algumas linhas de crédito Linha de Crédito a.m a.a Cartão de Crédito 14,72 % 419,60% Cheque Especial 11,16 % 255,94% Empréstimo Pessoal (Financeiras) 8,20 % 157,47% Empréstimo Pessoal (Bancos) 4,53 % 70,17% Juros no Comércio 5,70 % 94,49% CDC Bancos Financ. de Automóveis 2,32% 31,68% Taxa Média 7,77% 145,46% Fonte: Conversor de taxas on line:

19 Calcule a taxa mensal de juros para cada item citado abaixo. Juros de Descontos para Cheques Posição Instituição % a.m. % a.a. 3 Santander 47,65 5 Banco do Brasil 50,09 7 Banco Bradesco 63,10 11 Banco Daycoval 164,86 Fonte: Banco Central - 22/02/2016 A 26/02/2016 Santander 3,30%; Banco do Brasil 3,44%; Bradesco 4,16% e Daycoval 8,46%

20 Fórmula Genérica q q t i (1 it) 1 i q = taxa para o prazo que eu quero i t = taxa para o prazo que eu tenho q = prazo que eu quero t = prazo que eu tenho Exemplos: Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano: i 183 = (1 + 0,65) 183/360 1 = 28,99% Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês: i 491 = (1 + 0,05) 491/30 1 = 122,23% Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre: i 27 = (1 + 0,13) 27/90 1 = 3,73%