MATEMÁTICA COMERCIAL MÓDULO 1 CONCEITOS INICIAIS

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1 MATEMÁTICA COMERCIAL MÓDULO 1 CONCEITOS INICIAIS

2 Índice 1. Introdução Taxa de Juros Fluxo de caixa Juros Simples Exemplos de Juros Simples Valor Nominal e Valor Atual Desconto Simples Nomenclatura Relação entre Taxa de Desconto e Juros Simples Relação entre Taxa de Desconto e Juros Simples - exemplos

3 1. INTRODUÇÃO Hoje em dia, é muito comum falar-se em juros, taxa de juros, taxa SELIC, aumento dos juros do cheque especial, etc. Vamos começar entendendo o que são juros. Juro é um atributo de uma aplicação financeira, ou seja, uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor (o que pede emprestado) pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta). Neste curso, aprenderemos os dois tipos de juros: juros simples e juros compostos. Vamos ver do que trata cada um deles. Os juros simples são acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação, ou seja, o regime de juros simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Juros compostos são acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando, com esta soma, um novo capital. A grande diferença entre esses dois tipos de juros é que, no final das contas, quem financia por juros simples obtém um montante (valor total a pagar) inferior ao valor do montante a ser pago por quem financia por juros compostos. O regime de juros simples não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas a análise desse tema, como introdução à matemática comercial, é importante. No Brasil, costuma-se utilizar o regime de juros compostos. Agora, vamos definir alguns termos utilizados no mercado financeiro e que serão muito úteis no aprendizado de matemática comercial: capital: chamamos de qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo; juro: o custo do empréstimo; taxa de juros: valor do juro em certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital; montante: soma do capital com juro. 2. TAXA DE JUROS É a taxa de juros que indica qual será a remuneração paga pelo dinheiro emprestado, por um determinado período de tempo. Normalmente, é expressa na forma percentual, e em seguida a especificação do período de tempo a que se refere: 10% a.a. (a.a. significa ao ano); 30% a.t. (a.t. significa ao trimestre). 3

4 Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por cem, ou seja, na forma decimal, portanto, sem o símbolo %: 0,15 a.m. (a.m. significa ao mês); 0,10 a.q. (a.q. significa ao quadrimestre). Por exemplo: taxa de 11% ao ano, ou 11% a.a.; taxa de 25% ao ano, ou 25% a.a. Isso significa dizer que para cada R$ 100,00 emprestados, receberemos R$ 11,00 de juros no caso de 11% a.a., e no caso de 25% a.a., para cada R$ 100,00 emprestados, a pessoa/instituição receberá R$ 25,00 de juros. Temos como nomenclatura de cada um desses: 3. FLUXO DE CAIXA O fluxo de caixa é um gráfico contendo informações sobre entradas e saídas de capital, realizadas em determinados períodos de tempo, demonstrando, assim, graficamente, as transações financeiras nesse determinado período. O tempo é representado na horizontal (linha de tempo), dividido pelo número de períodos relevantes para análise, ou seja, com os valores indicados nos respectivos tempos. A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo, enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema. Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que se tem na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que se terá no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. Vamos observar o exemplo abaixo. Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$ 5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano, compostos 4

5 mensalmente, e que se continue a depositar mensalmente valores de R$ 1.000,00 durante os cinco meses seguintes. No sexto mês, quer-se conhecer o valor futuro da reunião desses depósitos. Para obter o valor futuro desse capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado. 4. JUROS SIMPLES Como já dito anteriormente, juros simples são acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação, ou seja, o regime de juros simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Consideremos um capital C, aplicado a juros simples à taxa i por período, durante n períodos de tempo. Sendo assim: J = C x i x n Onde: J = juros C = capital i = taxa da aplicação n = tempo que durou a aplicação Para o montante, ou seja, a soma do capital a ser resgatada com juro, temos a seguinte fórmula: M = C (1 + i x n) M = C + J i = MC - 1 Onde: 5

6 J = juros C = capital i = taxa da aplicação n = tempo que durou a aplicação M = montante Temos uma dívida de R$ 2.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em dois meses. Os juros que pagaremos serão: J = C x i x n J = 2000 x 0.08 x 2 = 260. Exemplo Calcule o montante resultante da aplicação de R$ ,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. Solução Dias Taxa (%) ,5 1 x 360x = 36 x = 0,03% a.d., ou seja, r = 0,03% a.d. Portanto, i = 0,03/100 = 0,0003 M = C. (1 + (i x n)) M = [1 + (0,0003).(145)] = R$ ,00. Observe que expressamos a taxa i e o período n na mesma unidade de tempo, ou seja, dias. Daí ter encontrado a taxa diária dividindo a taxa por 360, para obter o valor equivalente em dias, já que um ano comercial possui 360 dias. 5. EXEMPLOS DE JUROS SIMPLES Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. por quatro meses e quinze dias. 6

7 r = 13% i = 13/100 = 0,13 4m15d = 4,5 meses. Para transformar em trimestre, usamos a regra de três: Meses Trimestre 3 1 4,5 x 3x = 4,5 x = 1,5 trimestre j = x 0,13 x 1,5 = 234. Exemplo Calcular os juros simples produzidos por R$ ,00 aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias. Temos: J = C x i x n Dias Taxa (%) x 360x = 36 x = 0,1% a.d., ou seja, r = 0,1% a.d. Portanto, i = 0,1/100 = 0,001. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tem po, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = x 0,001 x 125 = R$ 5.000,00. Exemplo Qual é o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias? Dias Taxa(%) 30 1,2 1 x 7

8 30x = 0,04 x = 0,04% a.d., ou seja, r = 0,04% a.d. Portanto, i = 0,04/100 = 0,0004. Temos imediatamente: J = C.i.n, ou seja: = C.(0,0004).(75). Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, dias. Logo, = C x 0,0004 x 75 = P. 0,030. Daí, vem: C = / 0,030 = R$ ,67. Exemplo Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.C Dados: r = 1 50% i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = C (1 + i.n) Desenvolvimento: 2C = C (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses. 6. VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL Consideremos que uma pessoa tenha uma dívida de R$ ,00 a ser paga daqui a cinco meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 2% a.m., quanto precisará aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento? Valor nominal (N): valor do título a ser descontado. Valor atual ou valor presente (V): valor aplicado a juros simples numa data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal. 8

9 N = valor nominal V = valor atual ou presente i = taxa da aplicação n = tempo que durou a aplicação Esquematicamente: 7. DESCONTO SIMPLES Para uma pessoa que faz uma dívida tomando algum dinheiro emprestado, tendo que pagar esse valor emprestado em data futura, é normal que entregue ao credor (aquele de quem tomou emprestado o dinheiro) um título de crédito, que é o comprovante da dívida. Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, caso o devedor queira resgatá-lo antes da data de vencimento estabelecida no título de crédito, poderá obter, com isso, um abatimento denominado desconto. O desconto é uma das aplicações mais comuns da regra de juro. A ideia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Desconto costuma ser expresso por um percentual aplicado sobre o preço. Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são: nota promissória: é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira; duplicata: é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato; letra de câmbio: assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é 9

10 um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira. Existem algumas situações em que o devedor quer efetuar o pagamento do título antecipadamente. Nesse caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento. Também pode ocorrer de o credor necessitar de dinheiro antes da data do vencimento estabelecida junto ao devedor. Nesse caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro, como, por exemplo, um banco, e efetuar o desconto da duplicata. É claro e justo que este último obtenha um lucro correspondente ao juro do capital que adianta ao credor, de acordo com o período que ainda falta para o vencimento do título; assim, o banco paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito. Resumidamente, ocorre que a empresa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro imediato. Como exemplo desse caso, imagine uma empresa que emitiu uma duplicata no valor de R$ ,00 para vencimento em quatro meses. Em determinado momento, antes de completar esse prazo, a empresa necessitou de dinheiro para seu fluxo de caixa. Foi, então, ao banco, que ofereceu um adiantamento de R$ ,00 em troca da duplicata. Dizemos, nesse caso, que o banco propôs um desconto de R$ 1.500,00 (R$ R$ ,00). Quando existe um benefício obtido de comum acordo, como o citado anteriormente, dado pela diferença entre as duas quantidades, esse benefício recebe o nome de desconto. As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o ato de efetuá-las é chamado descontar um título. As operações de descontos de duplicatas e notas promissórias, sendo bastante comuns no sistema financeiro, possuem uma sistemática de cálculo bem caracterizada chamada desconto comercial ou bancário. 8. NOMENCLATURA 10

11 Valor nominal ( N) (ou valor futuro, ou valor de face, ou valor de resgate) é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento). Valor atual (Vd) é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento: Vd = N D. Prazo de vencimento do título (n) é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou, então, incluindo o último e não o primeiro. Desconto (D) é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual, ou seja: D = N - Vd. D = N x d x n e Vd = N - D Exemplo Uma duplicata de R$ ,00 foi descontada num banco três meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 4,5% a.m. a) Obtenha o desconto; b) obtenha o valor líquido recebido pela empresa; c) calcule a taxa efetiva de juros e o fluxo de caixa. a) D = N x d x n D = x 0,045 x 3 D = R$ 2.835,00. b) Vd = N D Vd = = R$ ,00. c) i = M/C 1 i = / i = 0, 143 = 14,3% a.m. 11

12 Exemplo Uma duplicata de R$ 150,00 foi quitada dois meses antes do vencimento com taxa de desconto comercial simples de 15% ao mês. Pergunta-se: a) qual o valor do desconto? b) Por quanto ela foi quitada? Dados: valor nominal: N = R$ 150,00 Taxa: i = 0,15 a.m. Período: n = 2 meses. a) Temos: D = N x d x n d = 150,00. 0,15. 2 d = R$ 45,00 (valor do desconto). b) Logo, o valor atual: temos: Vd = N D 45,00 = 150,00 Vd A = R$ 105,00 (valor atual) (valor com desconto). 9. RELAÇÃ O ENTRE TAXA DE DESCONTO E JUROS SIMPLES Suponha a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estando na mesma unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade de tempo de d e i), sendo N o valor nominal do título e D o desconto. é: O fluxo de caixa da operação de desconto, do ponto de vista do banco, 12

13 Por meio dessa relação, podemos achar o valor de i dado o valor de d e vice-versa. Exemplo 1 Se a taxa de desconto comercial for de 6% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata emitida tiver o prazo de pagamento estabelecido para cinco meses, qual é a taxa mensal de juros simples da operação? d = 6% a.m. n = 5 meses i=? 10. RELAÇÃO ENTRE TAXA DE DESCONTO E JUROS SIMPLES - EXEMPLOS Exemplo Se uma duplicata foi emitida com prazo de vencimento de quatro meses e foi descontada antecipadamente em um banco, proporcionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples igual a 4% a.m., qual foi a taxa de desconto utilizada? 13

14 Exemplo Qual é a taxa que produz juros equivalentes ao desconto comercial de 2% ao mês, pelo prazo de cinco meses? Dados: taxa de descontos: i = 0,02 a.m. Período: n = 5 meses. Temos: Logo: Exemplo Qual é a taxa de desconto comercial simples equivalente à taxa de juros simples de 5% a.m. num período de nove meses? Dados: taxa de juros: i= 0,05 a.m. Período: n = 9 meses. Temos: 14

15 Logo: Assim, a taxa de juros simples de 5% a.m. equivale à taxa de desconto comercial simples de 3,448% a.m. com antecipação de nove meses. 15