Apostila de. Matemática Financeira 2012

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1 Apostila de Matemática Financeira 2012

2 2 Sumário CAPITULO 01 CONCEITOS FUNDAMENTAIS: JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Capital e juros Porcentagem (rápida revisão) Relações básicas ( Juros, taxas e montante) Regimes de capitalização: (Simples e Composta) Fluxos de caixa de uma operação CAPITULO 02 JUROS SIMPLES Formulas de Juros simples e do Montante Taxas equivalentes Juros exatos e juros comerciais CAPÍTULO 03 DESCONTO SIMPLES Introdução e conceitos Descontos comerciais ou bancário Relações entre taxa de desconto e taxa de juros simples Operações (de descontos) com um conjunto de títulos CAPITULO 04 JUROS COMPOSTOS Fórmula do montante Períodos não Inteiros Taxas equivalentes CAPITULO 05 TAXA REAL DE JUROS ( INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA) Introdução e conceitos Índice de preços Taxa acumulada Principais índices de preços: Medidas de inflação Taxa real de juros Atualização monetária APENDICE REVISAO DE MATEMÁTICA (FUNDAMENTAL) I Revisão de Porcentagem II Revisão de Frações III Revisão de Potências ATIVIDADES COMPLEMENTARES... 72

3 3 INTRUDUÇÃO Com uma carga semanal de 1 hora e 30 minutos, perfazendo uma carga horária semestral de 30 horas, esse curso de Matemática Financeira tem os seguintes pontos a serem abordados: 1 Capitalizações Simples e compostas; 2 Descontos Simples e compostos; 3 Rendas Certas e Rendas Variáveis; 4 Equivalência de fluxos de caixa; 5 Amortização de Empréstimos; 6 - Noções de análise de investimentos e 7 - Correção monetária. O pressuposto é que o aluno venha com conhecimentos mínimos de matemática; ou seja; que já conheça ou tenha oportunidade de rever as regras básicas que foram ensinadas no ensino fundamental de matemática. Em outras palavras, caso a aluno não tenha aprendido ou não lembre, é importante o seu desempenho pessoal nesses estudos para que possa estar no mesmo nível dos demais alunos. Com o objetivo de deixar todos os alunos no mesmo nível de conhecimento para o início do programa de matemática financeira, no final desta apostila há uma revisão dos principais fundamentos que o aluno deve revisar ou relembrar para ter uma maior familiaridade com esta apostila. Os temas são: I) Porcentagem; II) Frações e III) Potencias.

4 4 1 Conceitos Fundamentais: Juros Simples e Juros Compostos A Matemática Financeira visa a estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações de dinheiro e nos pagamentos de empréstimos. Tal definição é bem geral; o aluno terá oportunidade de verificar, ao longo do curso, que a Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo e a avaliação das formas de aplicação de dinheiro, bem como de pagamento de empréstimos. 1.1 O CAPITAL E O JURO Chamamos de Capital qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo. Tendo em vista que o emprestador abstém-se de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não-pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo (para o tomador) ou a remuneração pelo uso do capital (para o emprestador). Denominamos taxa de juros o valor do juro em uma certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital. Assim, por exemplo: NOTA: No item 1.2 adiante há um pequeno resumo para revisar conceitos de porcentagem. Se um Capital de $ 5.000,00 for emprestado por um mês à taxa de 2% a.m. (2% ao mês), o juro será iguala 2% de $ 5.000, que é $100,00. Lembre-se de que, para achar 2% de 5.000, basta multiplicar por 0,02, que é a forma decimal de 2% (2% = 2/100 = 0,02). Se o empréstimo for devolvido em um único pagamento, o tomador pagamento, o tomador pagará, ao final do prazo combinado, a soma do capital com o juro, que é denominada de Montante. Assim, para um empréstimo de $ 5.000,00 por um mês com juro de $100,00, o montante será igual a $ 5.100,00. Juros = R$ 100,00 Montante = M M = R$ 5.100, Taxa de juros = i = 2% ao mês. Prazo = n = 1 mês Capital = C = R$ 5.000,00 As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A captação é feita a uma taxa menor que a de empréstimo, e a diferença é a remuneração da instituição. São várias as opções de aplicação (também chamadas de instrumentos) que um investidor tem à sua disposição: por exemplo: a Caderneta de Poupança, o Certificado de Depósito Bancário (CDB) etc. Cada opção tem sua taxa, em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Analogamente, os tomadores de empréstimos têm várias opções de financiamento (instrumentos), cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas.

5 5 De um modo geral, quando as taxas sobem, os aplicadores tendem a aumentar a oferta de capitais, mas os tomadores tendem a diminuir a demanda por crédito. Na determinação das taxas de juros, o Governo tem uma grande influência, seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras, seja comprando ou vendendo títulos públicos, cobrando impostos etc. Os fundos de investimentos e os fundos de pensão e previdência também têm um importante papel na intermediação financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos fundos de investimentos é utilizado para a compra de títulos públicos e privados ou ações. Por meio dos ganhos oferecidos por estes papéis, o investidor recebe remuneração (quando um investidor aplica em um fundo de investimentos, ele adquire um certo número de cotas deste fundo, e a valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papéis). Comportamento análogo ocorre com os fundos de previdência e pensão, em que o aplicador visa ao recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria PORCENTAGEM (Revisão rápida) Breve resumo para recordar. No final da apostila há uma revisão mais completa e exercícios preparados para revisão mais profunda: necessária para a continuação do assunto. É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Timão, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Timão, 90 são craques. Razão centesimal : Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

6 6 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor: exemplos: Calcular 10% de 300. Calcular 25% de 200kg Logo, 50kg é o valor cor respondente à porcentagem procurada(25% de 200Kg). 1.3 RELAÇÕES BÁSICAS Chamando de C o capital, M o montante, J o juro e i a taxa (do inglês, interest, que significa juro), temos as seguintes relações, de acordo com o que definimos: J = C. i Em que J é o juro no período da taxa. M = C + J i = M -1 C Em que i é a taxa no período do empréstimo A relação de J=C.i justifica-se até pela própria definição de porcentagem. A relação de M = C+1 é a própria definição do Montante e a terceira i= (M/C) -1 justifica-se da seguinte forma: i = J = M - C = M - C = M -1 C C C C C Exemplo 1 Um capital de $ é aplicado durante um ano à taxa de 22%a.a. (22% ao ano). Responda: (a) Qual o juro? J=C.i J = (0,22) = b) Qual o montante? M=C+J M = Exemplo 2 Um capital de $12.000,00 foi aplicado durante três meses, gerando um montante de $12.540,00. Qual a taxa de juros do período? i = M -1 C

7 7 Exercícios de Fixação: Os alunos deverão fazer esses exercícios fora da sala de aula. Sozinho ou de preferência em grupos para fixar esses conceitos. Todos os exercícios (números 01 a 09) têm prazo n=1 ( ou seja, só um período) 1) Um capital de $ 2.000,00 é aplicado em cada uma das condições indicadas a seguir. Obtenha o juro e o montante em cada caso. Item Taxa Prazo J= C x i Juros = $ M = C + J M= $ a) 50% a.a. 1 ano 2,000 x 0, b) 30% a.s. 1 semestre c) 12% a.t. 1 trimestre d) 5% a.b 1bimestre e) 1,7%.a.m. 1 mês f) 0,03% a.d 1 dia 2) Calcule a taxa de Juros auferida (no período) por um investidor em cada uma das situações seguintes: Montante ($) Capital ($) Prazo I = (M/C)-1 I = (%) a) , ,00 1 ano I= (10.000/8.000) % a.a. b) , ,00 1 semestre c) 7.200, ,00 1 trimestre d) 3.300,00, 3.200,00 1 bimestre e) 2.420, ,00 1 mês f) 4.002, ,00 1 dia 3) Calcule a taxa de juros (no período) paga por um tomador de empréstimos em cada uma das seguintes situações:

8 8 Capital Juro Prazo i = J / C i = % ao... a) 3.500,00 400,00 1 ano I = (400/3.500) 11,42 % a.a. b) 8.000, ,00 1 semestre c) 4.300,00 210,00 1 trimestre d) 5.400,00 220,00 1 bimestre e) 9.000,00 150,00 1 mês f) 6.700,00 2,50 1 dia 4) Calcule o capital recebido por um tomador de empréstimos em cada uma das situações seguintes: Taxa Prazo Juro Se J=C.i então C=J/i J = $ a) 28%a.a. 1 ano ,00 C= / 0, ,00 b) 12%a.s. 1 semestre ,00 c) 3,8% a.t 1 trimestre 7.600,00 d) 4% a.b 1 bimestre ,00 e) 1,8%a.m. 1 mês 3.600,00 f) 0,06% a.d. 1 dia 6.000,00 (5) Um banco anuncia o seguinte: aplique hoje $ 666,67 e receba $1.000,00 daqui a um ano. Qual a taxa anual de juros paga pelo banco? (6)Um banco anuncia o seguinte: "aplique hoje $ ,00 e receba daqui a três anos $ ,00". Qual a taxa paga pelo banco no triênio? (7)Um título, cujo valor de resgate daqui a seis meses é de $ ,00, foi adquirido hoje por um fundo por $ 9.600,00. Qual a taxa de rendimento do papel no período? (8) Um título governamental, cujo valor de resgate daqui a 42 dias é de $ ,00, foi adquirido hoje por um fundo por $ ,00. Qual a taxa de rendimento do papel no período? (9) Hoje o valor da cota de um fundo de investimentos é de 17,24 e, há 65 dias, foi de 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no período considerado?

9 9 1.4 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante poderá aumentar de acordo com duas convenções, denominadas regimes de capitalização. Há o regime de capitalização simples (ou juros simples) e o regime de capitalização composta (ou juros compostos) Regime de capitalização simples: Neste regime, o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa. Além disso, os juros são pagos somente no final da operação. Exemplo Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% a.a., em regime de juros simples. Resolução Durante o 1 ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100 Durante o 2 ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100 Durante o 3 ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100 Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros. O montante, após três anos, foi de $ 1.300,00. Esquematicamente, temos a figura 1.1 a seguir: Regime de capitalização composta: Neste caso, o juro do 1º período (capital vezes a taxa) agrega-se ao capital, resultando no montante M 1. O juro do 2º período, que é igual ao produto de MI pela taxa, agrega-se a M 1, resultando no montante M 2. O juro do 3º período, que é igual ao produto de M 2 pela taxa, agrega-se a M 2, resultando em um montante M 3, e assim por diante. Portanto, o juro que é gerado em cada período (montante do início do período vezes a taxa) a- grega-se ao montante do início do período e esta soma passa a render juro no período seguinte. Exemplo Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% a.a., em regime de juros compostos.

10 10 Resolução: Durante o 1º ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100, e o montante após um ano foi de $ 1.100,00. Durante o 2º ano, o juro gerado foi de 1.100(0,10) = 110, e o montante após dois anos foi de $ 1.210,00. Durante o 3 ano, o juro gerado foi de 1.210(0,10) = 121, e o montante após três anos foi de $ 1.331,00. Esquematicamente, temos a figura 1.2: A Figura 1.3 ilustra o montante a juros simples e compostos para efeito de comparação, utilizando um capital de $ 1.000,00, taxa de 10% a.a. e prazos variando de 1 a 12 anos. 1.5 FLUXO DE CAIXA DE UMA OPERAÇÃO O fluxo de caixa de uma operação é uma representação esquemática muito útil na resolução de problemas. Basicamente, consta de um eixo horizontal em que é marcado o tempo, a partir de um instante inicial (origem); a unidade de tempo pode ser qualquer (ano, mês, dia etc.). As entradas de dinheiro em um determinado instante são indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal, no instante considerado, e orientadas para cima; as saídas de dinheiro são indicadas da mesma forma, só que a orientação das setas é para baixo. Exemplo: Uma pessoa aplicou $ ,00 em um banco e recebeu $ 6.500,00 de juros após 12 meses. O fluxo de caixa, do ponto de vista do aplicador, foi (Figura 1.4):

11 11 Atenção: O fluxo de caixa, do ponto de vista do banco ficou exatamente na posição inversa: iniciando com uma entrada de caixa de $ ,00 e recebendo um montante no final de $56.500,00 Observações: importante: 1) Estamos usando o conceito de fluxo de caixa para aplicações e em préstimos; contudo, a mesma idéia é utilizada por empresas para representar entradas e saídas de dinheiro do caixa. 2) As setas do fluxo de caixa não são necessariamente proporcionais aos valores monetários envolvidos. 3) Algumas vezes usaremos a notação esquemática de um conjunto de capitais, com setas em geral para cima, a fim de tornar claras certas idéias, sem que a representação indique um fluxo de caixa. Exercícios de Fixação: 10) Um capital de $ ,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m. Obtenha o montante para os seguintes prazos: a) Dois meses. b) Três meses c) Cinco meses. d) Dez meses 11) Um capital de $ 700,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 20% a.a. Calcule o montante para os seguintes prazos: a) Um ano. b) Dois anos. c) Cinco anos. d) Dez anos 12) Um capital de $ ,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 10% a.a. Calcule o montante para os seguintes prazos: a)um ano; b) Dois anos; c) três anos; d) Quatro anos; e) Cinco Anos

12 12 13) Um capital de $ ,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 20% a.a. Obtenha o montante para os seguintes prazos: a) Um ano. b) Dois anos. c) Três anos. d) Quatro anos. e) Cinco anos. 14) Um capital A de $1.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 10% a.a. Um outro capital B de $ 900,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 12% a.a. A partir de quantos anos de aplicação o montante produzido por B será superior ao produzido por A? 15) Um capital A de $ 1.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 12% a.a., ao passo que um outro capital B, também de $ 1.000,00, é aplicado a juros compostos, à taxa de 10% a.a. A partir de quantos anos de aplicação o montante produzido por B será superior ao produzido por A? 16) Um investidor aplicou um capital e recebeu, um ano depois, um montante em cada uma das situações a seguir. Calcule a taxa de juros em cada caso: Final do capítulo 1

13 13 2 Juros Simples 2.1 Fórmula dos Juros Simples e do Montante No capítulo anterior, vimos que, na capitalização simples, os juros eram iguais em todos os períodos, valendo o produto do capital pela taxa naquele período. Consideremos um capital c, aplicado a juros simples, à taxa i por período, durante n períodos de tempo. Vamos deduzir a fórmula dos juros após os n períodos: Juros após 1 período: Juros após 2 períodos: Juros após 3 períodos: J 1 = Ci J 2 = Ci+ Ci = (Ci)2 J 3 = Ci+ Ci+ Ci = (Ci)3 Juros após n períodos: J n = Ci+ Ci+ Ci +... Ci = (Ci)n Portanto, eliminando o índice n quando não houver possibilidade de confusão, teremos a fórmula dos juros simples: J = C. i. n e assim a fórmula do montante é: M = C + J M = C + C.i.n M = C (1 + i. n) Observações: 1) Na fórmula dos juros e do montante, é necessário que i e n sejam expressos na mesma unidade (por exemplo, se i for taxa mensal, n deverá ser expresso em meses); 2) Embora a fórmula tenha sido deduzida por n inteiro, ela é estendida para n fracionário. Exemplos para fazer junto com o professor: (Construa os respectivos Fluxos de Caixa): 1) Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante três anos, à taxa de 12% a.a. Obtenha: a) Os Juros e b) O Montante. 2) Um capital de $ 7.000,00 é aplicado a juros simples, durante um ano e meio, à taxa de 8% a.s. (ao semestre). Obtenha: a) Os juros e b) o Montante. 3) Que capital rende juros simples de $3.000,00 no prazo de cinco meses, se a taxa for de 2% a.m. 4) Uma televisão é vendida à vista por $ 1.500,00, ou então, a prazo com $ 300,00 de entrada mais uma parcela de $ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa de juros simples do financiamento?

14 14 5) Uma aplicação financeira tem prazo de cinco meses, rende juros simples à taxa de 22%a.a. e incide imposto de renda igual a 20% do juro; O imposto é pago no resgate. Qual o montante líquido de uma aplicação de $ 8.000,00? (O montante líquido é igual ao montante bruto menos o valor do imposto de renda pago). Exercícios de fixação: (juros simples) 1) Determine os juros simples obtidos nas seguintes condições: Capital $ Taxa Prazo J = C. i. n J = $ a) 2.000,00 1,2% a.m. 5meses b) 3.000,00 21% a.a. 2 anos c) 2.000,00 1,3% a.m. 3 anos d) 6.000,00 15% a.t 2 anos e meio 2) Qual o montante de uma aplicação de $ ,00 a juros simples, durante cinco meses, à taxa de 80% a.a.? 3) Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado, por dois meses, a juros simples à taxa de 42% a.a. Qual o montante? 4) Bruno aplicou $ ,00 a juros simples, pelo prazo de seis meses, e recebeu $ 9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? 5) Em uma aplicação de $ 3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebido foi de $ 4.800,00. Determine o prazo da aplicação. 6) Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a.m., pelo prazo de quatro meses. Obtenha o juro auferido nesta aplicação, sabendo-se que o montante recebido foi de $ 5.360,00. 7) Mara aplicou $ 800,00 a juros simples à taxa de 12% a.a. Se ela recebeu $ 384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação. 8) Uma geladeira é vendida à vista por $ 1.500,00 ou, então, a prazo com $ 450,00 de entrada mais uma parcela de $ 1.200,00 após quatro meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 9) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. para que duplique? 10) Dois capitais, o primeiro igual a $ 1.100,00 e o segundo igual a $ 500,00, estiveram aplicados a juros simples durante três meses. A que taxa foi aplicada o primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 10% a.m., rendeu $ 246,00 menos que o primeiro? 11) (concurso para Controlador de Arrecadação Federal) Um fazendeiro possui um estoque de sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $ 3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstân-

15 15 cias, vende o estoque por $ 2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples. 12) Um produtor de milho, possuidor de um estoque de sacas, na expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $ 5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $ 12,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 12% a.m., calcule o lucro (ou prejuízo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples. 13) Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% a.m. no regime de juros simples. Findo este prazo, o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% a.m. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de $ ,00 14) Uma aplicação financeira tem prazo de três meses, rende juros simples à taxa de 1,8% a.m., mas o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $ 4.000,00? 15) ma aplicação financeira tem prazo de quatro meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a., mas o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $ ,00? b) Qual capital deve ser aplicado para resultar em um montante líquido de $ ,00? 2.2 Taxas Equivalentes Na fórmula dos juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa. O procedimento inverso também pode ser adotado, ou seja, podemos expressar a taxa na mesma unidade do prazo; para isto, devemos saber converter taxas de um período para outro. Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples quando, aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais. Embora este prazo referido possa ser qualquer um, habitualmente é utilizado o prazo de um ano. Exemplo 1: Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1 % a.m.? i = (0,01). 12 = 0,12 ou 12% a.a. Exemplo 2: Em juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 9% a.t.? i = (0,09) /3 = 0,03 = 3% am. Assim; por exemplo: (faça a conta para praticar) 4% a.b. (ao bimestre) é equivalente a 2% a.m. 6% a.t. (ao trimestre) é equivalente a 2% a.m. 12% a.s. (ao semestre) é equivalente a 2% a.m. 24% a.a. (ao ano) é equivalente a 2% a.m.

16 16 Exemplo 3 : Qual a taxa anual de juros simples que um fundo de investimento rendeu, sabendo-se que o capital aplicado foi de $ 5.000,00 e que o valor de resgate foi de $ 5.525,00 após sete meses? Resolução: (faça o fluxo de caixa) Os juros simples da aplicação foram de $ 525,00 (diferença entre o valor de resgate e o capital aplicado). Chamando de i a taxa mensal de juros, teremos: J = C.i.n 525 = i (7) i = 525 I = 525/ = 0,015 = 1,5%.a.m. Conseqüentemente, a taxa anual foi de 12 x (1,5%) = 18% a.a. 2.3 JURO EXATO E JURO COMERCIAL É muito comum certas operações ocorrerem por um ou alguns dias apenas. Nesses casos, é conveniente utilizarmos a taxa diária equivalente. O cálculo pode ser feito segundo duas convenções: 1º) Considerando o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias, e cada mês com seu número real de dias. 2º) Considerando o ano comercial, com 360 dias, e o mês comercial com 30 dias. Os juros obtidos segundo a primeira convenção (ano de 365 dias) são chamados de juros exatos, e aqueles obtidos pela segunda convenção, (ano de 360 dias, ou seja, 12 meses de 30 dias cada) de juros comerciais. Em geral, a convenção adotada é a de juros comerciais, ou seja, ano de 360 dias). Exemplo 1) Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% a.a. no regime de juros simples: a) Obtenha os juros exatos. b) Obtenha os juros comerciais. a) Juros Exatos: J = ,30 42 = 365 b) Juros Comerciais: J= ,30 42 = 360 2) Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital de $ 5.000,00 foi também aplicado a juros simples, à mesma taxa, durante 45 dias. Determine a taxa anual (convenção de juros comerciais), sabendo-se que a diferença entre os juros da 1ª aplicação e da 2ª são iguais a $ 31,50.

17 17 Resolução: Seja i a taxa diária da aplicação. Teremos:. Juros da 1ª aplicação: i (72) = i. Juros da 2ª aplicação: i (45) = i Portanto: i i = 31, i=31,50 I = 31,50 = 0,0005 = 0,05% a.d Conseqüentemente, a taxa anual vale 360 (0,05%) = 18% a.a (juros comerciais) Exercícios para Fixação: 16) Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,5% a.m. d) 4,5% a.q. b) 2,5% a.b. e) 6,5% a.s. c) 3,5% a.t. 17) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.? 18) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de $ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de sete meses. 19) Calcule o montante de uma aplicação de $ 5.000,00 a juros simples à taxa de 48% a.a. pelo prazo de cinco meses. 20) Um capital de $ ,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% a.a. pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros exatos e comerciais para esta aplicação. 21) Um determinado capital aplicado a juros simples exatos, e a uma certa taxa anual, rendeu $240,00. Determine os juros auferidos nessa aplicação se fossem comerciais. 22) Uma aplicação de $ 800,00 a juros simples comerciais teve um resgate de $ 908,00 após 135 dias. Determine a taxa mensal desta aplicação. 23) Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 24% a.a. a) Qual o montante após seis meses? b) Após quanto tempo de aplicação os juros auferidos formarão uma quantia igual ao capital inicialmente empregado? 24) Calcule a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-se que o capital aplicado foi de $ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de $ 5.200,00 após seis meses. 25) Um capital de $ 3.000,00 foi aplicado em 23 de março de 1999 a juros simples e à taxa de 96% a.a. O resgate foi feito em 17 de setembro de Determine os juros exatos e comerciais desta aplicação (o número de dias decorridos foi de 544). 26) (Concurso para Controlador de Arrecadação Federal) Um capital de $ ,00 é aplicado por quatro meses, correspondendo a um resgate final de $ ,00. Calcule a taxa de juros simples anual desta operação.

18 18 Matemática Financeira Exercícios: Série Especial para a NP1. Juros com capitalização Simples ALUNO: RA: TURMA Demonstre como chegou aos resultados dos exercícios: Você deverá primeiro, após a rigorosa leitura, confeccionar o Fluxo de Caixa com os dados do problema e em seguida informar a fórmula que utilizará para resolver o problema. Faça á lápis e depois transporte o resultado para o gabarito no final deste trabalho. 1) Determinar quanto renderá um capital de R$ ,00 aplicado à taxa de 22% ao ano, durante 7 meses. 2) Um capital de R$ ,00 aplicado durante 14 meses, rendeu juros de R$ 7.752,50 Determinar a taxa anual. 3) Durante 855 dias certo capital gerou um montante de R$ ,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 1,5% ao mês, determinar o valor do capital aplicado. 4) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ ,00 resultante da aplicação de certo capital a taxa de 42% ao ano, durante 13 meses. 5) Qual o valor a ser pago, no final de 5 meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$ ,00 sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre. 6) Em quanto tempo um capital de R$ ,00 aplicado a taxa de 0,03% ao dia, gera um montante de R$ ,00. 7) Um capital de R$ ,00 foi aplicado no dia 19/06/1997 e resgatado em 20/01/1998. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcular o valor dos juros, considerando-se o número de dias efetivo entre as duas datas. 8) Uma empresa aplicou R$ ,00 no Open Market no dia 15/07/1997 e resgatou essa aplicação no dia 21/07/1997 por R$ ,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação. (%ao mês) 9) Calcular o valor do capital que aplicado a taxa de 50,4% ao ano, durante 2 anos e 3 meses, produz um montante de R$ ,00. 10) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ ,00 aplicado a taxa de 3% ao mês, produz R$ ,00 de juros. 11) Obteve-se um empréstimo de R$ ,00 para ser liquidado por R$ ,00 no final de 26 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação. 12) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor. 13) Um capital emprestado gerou R$ ,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 2% ao mês, calcular o valor do montante. 14) Em quantos dias um capital de R$ ,00 produzirá juros de R$ ,60 a uma taxa de 3% ao mês. 15) A aplicação de R$ ,00 gerou um montante de R$ ,00 no final de 20 meses. Calcular a taxa anual. 16) Certo capital aplicado gerou um montante de R$ ,00 sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e o prazo de 9 meses, calcular o valor dos juros. 17) Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ ,00 por 225 dias, à taxa de 2,6% ao mês. 18) Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 1,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de R$ ,00. 19) Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ ,00 e resgatado por R$ ,00 no final de 8 meses. Calcular a taxa mensal de juros. 20) Em que prazo uma aplicação de R$ ,00 possibilita o resgate de R$ ,00 a taxa de 2,2% ao mês.

19 19 As questões a seguir são para o cálculo de Taxas Equivalentes: Utilize apenas 02 (duas) casas depois da vírgula e sempre arredondando a última conforme regra convencional. Taxa %a.a. %a.m. %a.d %a.t. %a.b. 21 0,089 % a.d % a.m 23 1,20 %a.b. 24 0,9% a.t % a.s % a.a. Exercícios de Juros Comerciais Calcular as seguintes Taxas Equivalentes: % a.a. equivale a % para 75 dias a juros exatos % a.a. equivale a % para 75 dias a juros comerciais % é a taxa para 42 dias, portanto: % é o equivalente ao ano para juros exatos % é a taxa para 75 dias, portanto: % é o equivalente ao ano para juros comerciais Gabarito: 1 R$. 2 %a.a. 3 R$. 4 R$. 5 R$. 6 dias 7 R$. 8 %a.m. 9 R$. 10 dias 11 %a.a. 12 meses 13 R$. 14 dias 15 %a.a. 16 R$. 17 R$. 18 R$. 19 %a.m. 20 meses Professor Cláudio Campos Matemática financeira Gestão UNIP-

20 20 3 DESCONTO SIMPLES 3,1 INTRODUÇÃO A idéia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Assim, por exemplo, quando uma compra é feita em grande quantidade, é comum o vendedor conceder algum desconto no preço por unidade. No comércio, também é bastante comum o vendedor conceder um prazo para o pagamento; caso o comprador queira pagar à vista, geralmente é proporcionado um desconto sobre o preço oferecido. Nestas situações, o desconto costuma ser expresso por um porcentual aplicado sobre o preço. No primeiro exemplo, consideremos que o preço cobrado por unidade seja $ 20,00, e que, caso o comprador compre mais de 100 unidades, haja um desconto de 5%. Nestas condições, o desconto é igual a $ 1,00 (5% de $ 20,00), e o novo preço passa a ser $ 19,00. No segundo exemplo, consideremos que o preço de um produto seja $ 500,00 para pagamento dentro de 40 dias; caso o vendedor conceda um desconto de 3% para pagamento à vista, o valor do desconto será de $ 15,00 (3% de $ 500,00), e o preço à vista será $ 485,00. Uma outra situação envolvendo o conceito de desconto ocorre quando uma empresa vende um produto a prazo; nesse caso, o vendedor emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador o valor combinado na data futura. Caso o vendedor precise de dinheiro, ele poderá ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata. Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente. Por exemplo, consideremos que, em uma certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de $ 5.000,00 para vencimento dentro de dois meses. Precisando de dinheiro, a empresa levou a duplicata a um banco, que lhe propôs adiantar $ 4.800,00 em troca da duplicata. Dizemos, neste caso, que o banco propôs um desconto de $ 200,00 ($ 5.000,00 menos $ 4.800,00). De modo análogo ao desconto de duplicatas, uma empresa pode descontar notas promissórias em um banco. As notas promissórias surgem quando, por alguma razão, um devedor assume uma dívida perante um credor; a nota promissória é um papel que representa uma promessa de pagamento ao credor, a qual é feita pelo devedor. As operações de desconto de duplicatas e promissórias, sendo bastante comuns no sistema financeiro, possuem uma sistemática de cálculo bem caracterizada, chamada de desconto comercial ou bancário, a qual passaremos a estudar DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO Chamamos de valor nominal (ou valor de face) e indicamos por N o valor do título a ser descontado. Seja n o prazo de vencimento do título e d a taxa de desconto utilizada na operação (em porcentagem por período). O desconto comercial ou bancário (D) é dado por: D = Ndn N = Valor do título n = Prazo de vencimento do título d = taxa de desconto.

21 21 A diferença N - D é chamada de valor descontado ou valor atual comercial ou, ainda, valor líquido do título; vamos indicar esta diferença por Vd, isto é: Vd =N-D Valor descontado é o valor do título (-) o desconto Exemplos: Acompanhe a resolução junto com o professor: 1) Uma duplicata de $ ,00 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. a) Obtenha o desconto. b) Obtenha o valor líquido recebido pela empresa. c) Obtenha o fluxo de caixa da operação do ponto de vista do banco. Calcule também a taxa efetiva de juros da operação. Resolução: a) D= (0,025)2 = 900 b) Vd = = c) O fluxo de caixa do banco é : e a taxa efetiva é: ( ACOMPANHAR COM PROF.) No regime de e Juros Simples, tal taxa e equivalente a 5,26% / 2 = 2,63% a.m. É importante notar que a taxa de juros simples mensal é diferente da taxa mensal de desconto. Isto porque a taxa de juros incide no valor inicial ($ ) para dar $ 900,00, ao passo que a taxa de desconto incide no valor final ($ ) para dar o resultado $ 900,00 (as pequenas diferenças observadas decorrem do arredondamento feito). 2)-Uma nota promissória de $12.000,00 foi descontada em um banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. a) Qual o desconto? b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço de O,5% do valor da promissória, pago no dia em que a empresa a descontou? c) Qual a taxa efetiva de juros da operação no período? Resolução a) D=12.000(0,02/30) 42 = 336 b) Taxa de serviço: 0 005(12.000) = 60 Valor recebido pela empresa: = c) Taxa efetiva de juros: i = = 3,41% a.p. (ao período)

22 22 3) Um banco cobra, em suas operações de desconto de duplicatas, uma taxa de desconto comercial de 3% a.m. Qual a taxa efetiva de juros simples se os prazos de vencimento forem: a) Um mês. b) Dois meses. Resolução: a) Como o valor da duplicata não é fornecido, vamos considerar um valor arbitrário, digamos $ 100,00. Assim: D = 100(0,03)1 = 3 Vd = 97 Portanto, o fluxo de caixa da operação, do ponto de vista do banco, é Logo: i = = 3,09% am. 97 Importante: Observe que para qualquer valor atribuído á duplicata a resposta será sempre a mesma. Evidentemente a resolução poderia literalmente ser feita da seguinte forma: - Valor da Duplicata : N -Desconto : D = N(0,03)1 = 0,03N -Valor Líquido : N 0,03N = 0,97N -Taxa efetiva de Juros: i = (N/0,97N) 1 = 0,0309 3,09%a.m. (b) Analogamente ao item anterior, se considerarmos uma duplicata de valor $100,00, teremos: D = 100(0,03)2 = 6 Vd = 94 i= (100/94) 1 = 6,38% a.b Isso equivale a 3,19% a.m conforme item (a). 4) Ao descontar uma duplicata com prazo de 72 dias até o vencimento, um banco pretende ganhar um taxa de juros de 6% no período. Qual taxa de desconto mensal deverá cobrar? Resolução: Admitamos uma duplicata de valor igual a $ 100,00, por exemplo. Assim, sendo Vd o valor descontado, teremos: 5) Ao descontar uma duplicata com prazo de 42 dias até o vencimento, um banco pretende ganhar uma taxa de juros de 3% a.m. Qual taxa de desconto mensal deverá cobrar? Resolução: Admitamos uma duplicata de valor igual a $ 100,00, por exemplo. Primeiro, vamos obter a taxa de juros no período da operação. Assim: 3.3 Relação Entre Taxa de Desconto e Taxa de Juros Simples: Vimos, nos exemplos anteriores, como calcular a taxa de juros dada à taxa de desconto e viceversa, usando o fluxo de caixa da operação. Vejamos, a seguir, como estabelecer uma relação entre ambas. Consideremos que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade

23 23 de tempo de d e i). Sendo N o valor nominal do título e D o desconto, o fluxo de caixa da operação de desconto, do ponto de vista do banco, é dado pela Figura abaixo: Fluxo de Caixa de uma operação de desconto do ponto de vista do banco N N-D n Portanto: Por meio desta última relação, podemos achar o valor de i dado o valor de d e vice-versa. Exemplos: (1) Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for de três meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação? Resolução: Temos: d=4% e n=3 Portanto: i= 0,04 = 0,0455 = 4,55% 1-(0,04)3 Assim, a taxa de juros simples da operação vale 4,55% a.m. 2) Uma duplicata com prazo de vencimento de dois meses foi descontada em um banco, proporcionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples igual a 3% a.m. Qual a taxa de desconto utilizada? Resolução: Temos:í = 3% e n = 2. Portanto, usando a mesma relação do exemplo anterior: d 003= 1-d2-0,03 (1-2d)= d 0,03-0,06d = d -1,06d = - 0,03

24 24 d= 0,03 = 0,0283 = 2,83% a.m 1,06 Assim, a taxa de desconto procurada vale 2,83% a.m. Exercícios para fixação: 1) Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. Obtenha: a) O desconto comercial. b) O valor descontado (ou valor atual comercial) do título. c) A taxa efetiva de juros no período. d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação. 2) Uma promissória de $ ,00 foi descontada em um banco três meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% a.m. Pergunta-se: a) Qual o desconto comercial? b) Qual o valor atual comercial do título? c) Qual a taxa efetiva de juros no período? d) Qual a taxa efetiva de juros simples mensal da operação? 3) Uma duplicata de $ ,00 foi descontada em um banco 48 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,1 % a.m. Obtenha: a) O desconto. b) O valor líquido recebido pela empresa. c) A taxa efetiva de juros no período. d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação. 4) Uma empresa descontou em um banco um título de valor nominal igual a $ ,00 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a.a. a) Qual o desconto bancário? b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 1 % do valor nominal do título? 5) Um título governamental com valor de face de $ ,00 foi adquirido 70 dias antes do vencimento, com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25% AA. a) Qual o preço de aquisição? b) Qual a taxa efetiva de juros no período proporcionada pela aplicação? 6) Um fundo de investimento adquiriu por $ ,00 um título governamental com valor de resgate de $ ,00. Sabendo-se que o prazo de vencimento do título era de 49 dias, calcule: a) A taxa efetiva de juros no período. b) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação. 7) Com relação ao exercício anterior, calcule a taxa mensal de desconto comercial utilizada. 8) Uma empresa descontou uma duplicata de $ ,00 45 dias antes do vencimento. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de $ ,00, calcule a taxa de desconto comercial mensal da operação.

25 25 9) Uma duplicata de $ 8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor descontado (valor líquido) de $ 7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o prazo de vencimento deste título. 10) Uma duplicata, cujo prazo até o vencimento era de 90 dias, foi descontada em um banco à taxa de desconto comercial de 1,8% a.m. Calcule o valor de face do título, sabendo-se que a empresa recebeu um valor líquido de $ 3.500,00 e que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 1 % do valor nominal (valor de face) do título. 11) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de $ ,00, 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou, na data da operação, um imposto (imposto sobre operações financeiras) igual a 0,0041 % ao dia, aplicado sobre o valor nominal do título. 12) Para pagar uma dívida de $ ,00, uma empresa juntou um cheque de $ ,00 à importância líquida proveniente do desconto comercial de uma duplicata de $ ,00, três meses antes do vencimento. Determine a taxa mensal de desconto comercial utilizada. 13) Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissória pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. e entrega ao cliente o valor líquido. Se uma pessoa precisar hoje de $ 7.000,00, para pagamento daqui a três meses, que valor da promissória deverá assinar? 14) Resolva o exercício anterior, considerando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m., prazo de pagamento de 47 dias e valor que o cliente precisa hoje igual a $ ,00. 15) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal se os prazos de vencimento forem: a) Um mês. b) Dois meses. c) Cinco meses. 16) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. e cobrando uma taxa de despesas administrativas igual a 1 % do valor da duplicata. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal se os prazos forem: a) Um mês. b) Três meses. 17) Uma empresa, precisando de capital de giro, decide descontar uma duplicata de dois meses até o vencimento. Tal operação pode ser feita em um banco A ou em um banco B. O banco A utiliza uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. mais uma taxa de serviço igual a 0,8% do valor do título; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1 % a.m. sem taxa de serviço. Qual banco a empresa deverá escolher? 18) Se um determinado banco cobra 1 % como taxa de serviço e 36% a.a. como taxa de desconto comercial em desconto de duplicatas, que taxa efetiva de juros simples mensal estará ganhando se os prazos de vencimento forem: a) Dois meses. b) Quatro meses. 19) Se um banco deseja ganhar a taxa efetiva de juros simples mensal de 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial deverá cobrar se os prazos de vencimento forem: a) Um mês. b) Três meses..20) Para promissórias com prazos de vencimento de dois meses, que taxa mensal de desconto comercial proporciona uma taxa efetiva de juros de 6% no período?

26 26 21) Para duplicatas com prazos de vencimento de três meses, que taxa mensal de desconto comercial proporciona uma taxa efetiva de juros de 2% a.m.? 22) Uma taxa efetiva de juros de 14% em um período corresponde a que taxa de desconto comercial no mesmo período? 23) Um título com vencimento em 74 dias foi descontado, sendo a taxa efetiva de juros no período igual a 12%. a) Qual a taxa de desconto no período? b) Qual a taxa mensal de desconto? 24) Se um banco deseja ganhar uma taxa efetiva de juros simples mensal de 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial deverá utilizar se os prazos de vencimento forem: a) Um mês. b) Três meses. c) Vinte e cinco dias 25) (Concurso para Controlador de Arrecadação Federal) Uma financeira deseja obter uma taxa efetiva de 40% a.a. em uma operação de três meses. Nestas condições, a empresa deverá cobrar a taxa anual de desconto comercial simples de: a) 36,36% a.a. b) 37,05% a.a. c) 38,06% a.a. d) 38,5% a.a. 26) Uma determinada loja efetua suas vendas dando ao cliente três meses de prazo para pagamento. Se o cliente optar pelo pagamento à vista receberá um desconto de 10% sobre o valor nominal da compra. Qual taxa efetiva de juros no período está sendo cobrada pela loja? (neste tipo de situação, isto é, desconto para pagamento à vista, a taxa de desconto utilizada é a taxa no período, neste caso, três meses). 21) Um desconto de 20% para pagar à vista um produto cujo preço é dado. para pagamento em quatro meses corresponde a que taxa efetiva di juros no período? 28) (Palestra do professor Mário Henrique Simonsen na FGV-Rio) "Em 1964, foi oferecido a um executivo um empréstimo a uma taxa de desconto de 4,5% a.m., por seis meses, e ele não aceitou, preferindo mesma taxa por um período de 12 meses. Resultado: pagou uma taxa efetiva de 117,39% a.a., em vez de 87,65% a.a., e perdeu o emprego. Confirme o resultado anterior, utilizando o conceito de taxa efetiva de juros. 29) Dois títulos, um para 50 dias e outro para 90 dias, foram descontados uma taxa de desconto comercial de 6% a.m. Sendo de $ ,00 a soma de seus valores nominais e de $ ,00 a soma dos descontos, determine o valor nominal de cada título. 30) Dois títulos, um de $ ,00 e outro de $ ,00, foram descontados a uma taxa de desconto de 6% a.m., sofrendo um desconto total de $ ,00. O vencimento do primeiro o- corre 20 dias depois do vencimento do segundo. Determine os prazos de vencimento de cada título. 3.4 Operações com um conjunto de títulos. Vimos como proceder para descontar um único título. Caso tenhamos um conjunto de títulos (chamado borderô, no caso de duplicatas), o seu valor atual comercial (ou valor líquido) é a soma dos valores atuais de cada título.

27 27 Exemplos: 1)Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas a seguir, para serem descontadas em um banco à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o valor líquido recebido pela empresa? Duplicata Valor $ Prazo até o vencimento A dias B dias C dias Resolução Duplicata A D A = (0,02)1 = 400 V liq = Duplicata B D B = (0,02/30) 65 = 1.733,33 V liq = ,67 Duplicata C DC = (0,02/30) 82 = 4.373,33 V liq = ,67 Desta forma, o valor líquido liberado pela empresa foi de: $ ,34 O mesmo resultado poderia ser obtido subtraindo-se do total do borderô ($ ,00) a soma dos descontos ($ 6.506,66). O fluxo de caixa da operação, do ponto de vista do banco, é: dias ,34 O Fluxo de caixa de um banco que adiantou $ ,34 para receber duplicatas de : $ ; $ e $ em diferentes datas. efetiva de juros, o procedimento é um pouco mais complexo do que com um único título. No caso de vários títulos, a taxa efetiva de juros é a taxa interna de retomo do fluxo de caixa da operação (TIR), assunto que estudaremos mais adiante. 3.4 Prazo médio de um conjunto de títulos: Chama-se de prazo médio de um conjunto de títulos ao prazo em que se deve descontar o valor total do conjunto, a uma certa taxa de desconto comercial, para obter o mesmo resultado que a soma dos descontos de cada título, à mesma taxa de desconto. Sejam: N 1, N 2, N 3,..., N p os valores dos títulos com prazos respectivos iguais a n 1, n 2, n 3,..., n p, e d a taxa de desconto comercial.

28 28 Chamando de n o prazo médio, teremos, por definição: Isto é, o prazo médio é a média ponderada dos prazos dos títulos, sendo os pesos iguais aos valores de cada título. Exemplo: Qual o prazo médio do borderô do exemplo da página anterior? ñ = (20.000)30 + (40.000)65 + ( = 69,71 dias Portanto, se descontarmos o valor do borderô ($ ,00) a uma taxa de 2% am. No prazo de 69,71 dias, obteremos: D = N d n D = ( ) (0,02/30) (69.71) = $ 6.506,27. Exercícios para Fixação: 31) Em cada borderô a seguir, suponha que as duplicatas sejam descontadas à taxa de desconto de 1,8 % am. Obtenha o valor líquido de cada borderô em cada caso: a) Duplicata Valor $ Prazo até o vencimento A dias B dias b) Duplicata Valor $ Prazo até o vencimento A dias B dias C dias

29 29 c) Duplicata Valor $ Prazo até o vencimento A dias B dias C dias Dl dias 32) Com relação aos dados do exercício anterior, calcule o prazo médio de cada borderô e mostre que, descontando-se o valor total de cada um, no seu prazo médio e à taxa dada, chega-se aos mesmos valores líquidos do exercício anterior. 33)Mostre que, se um borderô tem todas as duplicatas no mesmo valor, o prazo médio é igual á média aritmética dos prazos das duplicatas deste borderô. 34)No seguinte borderô, suponha que cada duplicata seja descontada à taxa de desconto indicada. Qual seu valor líquido? Duplicata Valor $ Prazo até o vencimento Taxa de desconto A dias 1,5% a.m. B dias 2% a.m. C dias 2,5% a.m. 35) Com relação ao exercício anterior, com qual taxa (constante) de desconto deveríamos descontar o total do borderô, no seu prazo médio, para obtermos o mesmo valor líquido do exercício anterior? 36)Duas duplicatas, uma de $25.000,00 e 18 dias até o vencimento, outra de $ ,00 e 38 dias até o vencimento, foram descontadas em um banco: a primeira a uma taxa de desconto de 3% a.m. e a segunda a uma taxa de 4% a.m. a) Qual o valor líquido? b) Qual o prazo médio do borderô. (c) Com qual taxa (constante) deveríamos descontar o total do borderô, no seu prazo médio, para obtermos o valor líquido do item a?