Física Geral - Laboratório. Estimativas e erros em medidas indiretas: Ajuste de funções

Transcrição

1 Física Geral - Laboratório Estimativas e erros em medidas indiretas: Ajuste de funções 1

2 Medidas indiretas: Ajuste de funções Ajuste de funções y = f (x; a 1,a 2,...,a p ) Medidas de duas grandezas x e y: {(x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),...,(x N,y N )} Estimativa dos parâmetros (a partir de uma relação funcional postulada) Queremos obter: a 1 ± a1,...,a p ± ap 2

3 Exemplo: dinamômetro de mola F (gf) l (mm) l F 3 9,2 4 12,2 5 15, , , , ,1 3

4 Exemplo: dinamômetro de mola F (gf) l (mm) 3 9,2 4 12,2 5 15, , , , ,1 l (mm) F(gf) 4

5 Exemplo: dinamômetro de mola O comportamento ideal de uma mola nos diz que a sua elongação é relacionada com a magnitude da força aplicada na mesma: l = a F + b Equação de uma reta y = f (x; a, b) =a x + b Queremos obter estimativas para os parâmetros da reta (a,b). Para isso utilizamos um método chamado de Método dos Mínimos Quadrados 5

6 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear Queremos minimizar a soma dos quadrados das distâncias entre a medidas observadas e os valores previstos pela relação funcional entre y e x: S (a, b) = NX (y i y (x i )) 2 = NX [y i (ax i + b)] 2 i=1 i=1 Medida observada y = f (x i ; a, b) =ax i + b Obs.: Quando a relação funcional postulada entre as medidas é linear (ou seja elas são relacionadas pela eq. de uma reta), chamamos o método de Ajuste linear 6

7 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear y y(x) = ax + b ε i y i y(x ) i y i y(x ) i x x 2 i x 7

8 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear No caso anterior assumimos que as incertezas nas medidas de y e x são constantes. Em geral devemos considerar o erro em cada medida (σi): NX yi y (x i ) 2 = NX apple yi (ax i + b) 2 S (a, b) = i=1 i i=1 i Erro efetivo em cada medida 8

9 Método dos Mínimos Quadrados: Ajuste linear Podemos mostrar (Exercício - Ver Apêndice F do livro texto) que as estimativas dos parâmetros e suas incertezas são dadas por: a = r y x b =ȳ = xy 2 x a x a = 1 x b = y p N a p x 2 y = v ux t N i=1 [y i (ax i + b)] 2 N 2 = y r N N 2 (1 r2 ) 9

10 Exemplo: dinamômetro de mola F (gf) l (mm) l F 3 9,2 4 12,2 5 15, , , , ,1 10

11 Exemplo: dinamômetro de mola F (gf) l (mm) 3 9,2 4 12,2 5 15, , , , ,1 l (mm) F(gf) 11

12 Exemplo: dinamômetro de mola O comportamento ideal de uma mola nos diz que a sua elongação é relacionada com a magnitude da força aplicada na mesma: l = a F + b Equação de uma reta y = f (x; a, b) =a x + b 12

13 Exemplo: organizando os dados x i y i x i Σx i Σy i 2 Σx i Σx i.y i Σ[y i (ax i + b)] 2 82 (gf) (mm) 1400 (gf 2 ) (mm.gf) v u (Σx i )/N (Σy i )/N (Σx i 2 )/N (Σx i.y i )/N (gf) (mm) (gf 2 ) (mm.gf) σ xy σ x 2 x i.y i [y i (ax i + b)] [y i (ax i + b)] a b (mm/gf) (gf) (mm) (mm) ux y = t N [y i (ax i + b)] 2 N 2 i=1 ε y σ a (mm/gf) (mm 2 ) = y r N N 2 (1 r2 ) (mm) σ b (mm) 13

14 Exemplo: resultados F (gf) l (mm) a =(2.983 ± 0.013) mm/gf 3 9,2 4 12,2 5 15, , , , ,1 b =(0.14 ± 0.18) mm y = l =0.27 mm Equação da reta: l (mm) = F (gf)

15 Reta de calibração e interpolação y reta de ajuste y obs x obs! y ± y Interpolação direta y obs! x ± x Interpolação indireta x = y a 8 >< > x obs (y obs b) a x 15

16 Faixa de confiança y y = ax + b ε y y obs 40 ε x y obs! x ± x (y obs b) a x = y a x 16

17 Exemplo: pêndulo (atividade de aula) T =2 s L g ) L = g T l L L = l + d l = g T d d 17

18 Exemplo: pêndulo (atividade de aula) l = g T d l L! y = ax + b y = l x = T a = g d b = d 18

19 Exemplo: pêndulo (atividade de aula) y x Medida 1 Medida 2 Medida 3 Medida 4 Medida 5 l (cm) t (s) T = (t/20) (s) T 2 /4π 2 (s 2 ) i) Estimar o valor da aceleração da gravidade: ii) Analisar a compatibilidade com o valor de referência: g ± g g ref = (14) m/s 2 19