Geometria Analítica. Estudo do Plano. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Transcrição

1 Geometria Analítica Estudo do Plano Prof Marcelo Maraschin de Souza

2 Plano Equação Geral do Plano Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = a, b, c, n 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano.

3 Plano Como n π, n é ortogonal a todo vetor em π. Então um ponto P(x,y,z) pertence a π se, e somente se, o vetor AP é ortogonal ao vetor n, isto é, ou Ou, ainda n P A = 0 (a, b, c) x x 1, y y 1, z z 1 = 0 ax + by + cz ax 1 by 1 cz 1 = 0 Segue a equação geral do plano ax + by + cz + d = 0

4 Plano

5 Equação Segmentária do Plano Se um plano π intercepta os eixos coordenados nos pontos (p,0,0), (0,q,0) e(0,0,r) com p,q,r 0, então π admite a equação x p + y q + z r = 1 Denominada a equação segmentária do plano. Para o exercício anterior a equação segmentária da reta é x 2 + y 3 + z 6 = 1

6 Exercícios Obs: o plano mediador de AB é o plano perpendicular a AB e que contém o seu ponto médio.

7 Plano Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele. Existem outras formas de determinação de um plano nas quais estes dois elementos ficam evidentes, mas não explícitos. Vamos aos exemplos.

8 Exercícios

9 Exercícios

10 Planos Paralelos aos Planos Coordenados Se duas das componentes do vetor normal n = (a, b, c) são nulas, n é colinear a um dos vetores i = (1,0,0) ou j = (0,1,0) ou k = (0,0,1), e, portanto, o plano π é paralelo ao plano dos outros dois vetores. Caso 1: se a=b=0, n = 0,0, c = c(0,0,1)=ck, ou seja, o vetor normal n é paralelo a k, assim o plano π é paralelo ao plano xoy. Ainda, a equação geral do plano π é dada por: cz + d = 0

11 Planos Paralelos aos Planos Coordenados Neste caso, n = 0,0,1 e um ponto pertencente ao plano A(x,y,4), assim 0. x + 0. y d = 0 d = 4 Portanto, z 4 = 0 ou z = 4 é a eq. do plano π

12 Planos Paralelos aos Planos Coordenados Caso 2: se a=c=0, n = 0, b, 0 = b(0,1,0)=b j, ou seja, o vetor normal n é paralelo a j, assim o plano π é paralelo ao plano xoz. Ainda, a equação geral do plano π é dada por: by + d = 0 Caso 3: se b=c=0, n = a, 0,0 = a(1,0,0)=a i, ou seja, o vetor normal n é paralelo a i, assim o plano π é paralelo ao plano yoz. Ainda, a equação geral do plano π é dada por: ax + d = 0

13 Planos Paralelos aos Planos Coordenados Considere o ponto A(2,3,4) e as seguintes equações dos planos: π 1 : x = 2 π 2 : y = 3 π 3 : z = 4

14 Planos Paralelos aos Planos Coordenados Observe que, os planos cartesianos são casos particulares, onde π 1 : x = 0 (plano yoz) π 2 : y = 0 (plano xoz) π 3 : z = 0 (plano xoy)

15 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Tome como exemplo o plano 3x+4y+2z-12=0 Caso 1: se a=0, a equação seria 4y+2z-12=0 e representa um plano paralelo ao eixo x. Observe que nenhum ponto do tipo (x,0,0) satisfaz a equação.

16 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Caso 1: se ainda tivéssemos d=0, a equação resultante 4y+2z=0 representa um plano que passa pela origem e portanto contém o eixo x, neste caso qualquer ponto do tipo (x,0,0) satisfaz a equação.

17 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Caso 2: se b=0, a equação seria 3x+2z-12=0 e representa um plano paralelo ao eixo y.

18 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Caso 3: se c=0, a equação seria 3x+4y-12=0 e representa um plano paralelo ao eixo z.

19 Planos Se d=0, então o plano sempre irá passar pela origem. Por exemplo, 3x+4y+2z=0

20 Exercício

21 Exercício

22 Exercício

23 Equação Vetorial do Plano Seja A(x 0, y 0, z 0 ) um ponto pertencente a um plano π e u = (a 1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ) dois vetores paralelos a π, porém u e v não paralelos.

24 Equação Vetorial do Plano Para todo ponto P do plano, os vetores AP, u e v são coplanares. Um ponto P(x,y,z) pertence a π se, e somente se, existem números reais h e t tais que ou P A = hu + t v x, y, z = x 0, y 0, z 0 + h a 1, b 1, c 1 + t(a 2, b 2, c 2 ) Esta equação é denominada equação vetorial do plano.

25 Equações Paramétricas do Plano Da equação vetorial do plano, obtemos as equações paramétricas do plano, x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

26 Exercícios

27 Exercícios

28 Equação Vetorial de um Paralelogramo Dados os pontos A,B e C não em linha reta, os vetores AB e AC determinam um paralelogramo cuja equação vetorial é dada por P = A + h AB + t(ac) com h, t [0,1], Onde P representa um ponto qualquer deste paralelogramo.

29 Equação Vetorial de um Paralelogramo

30 Ângulos de Dois Planos Sejam os planos π 1 e π 2 com vetores normais n 1 e n 2, respectivamente.

31 Ângulos de Dois Planos Chama-se ângulo de dois planos o menor ângulo que um vetor normal a π 1 forma com um vetor normal π 2. Sendo θ este ângulo, temos com 0 θ π/2 cos θ = n 1 n 2 n 1 n 2,

32 Exemplo: Ângulos de Dois Planos

33 Paralelismo de dois Planos Sejam os planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 Então, n 1 π 1 e n 2 π 2. Logo, para dois planos serem paralelos, basta que seus vetores normais sejam paralelos, π 1 π 2 n 1 n 2 a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2

34 Paralelismo de dois Planos

35 Paralelismo de dois Planos Se além das igualdades anteriores tivermos os planos serão coincidentes. a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 = d 1 d 2

36 Perpendicularidade de dois Planos Sejam os planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 Então, n 1 π 1 e n 2 π 2. Logo, para dois planos serem perpendiculares, basta que seus vetores normais sejam ortogonais, π 1 π 2 n 1 n 2 n 1 n 2 = 0

37 Perpendicularidade de dois Planos

38 Exercícios

39 Exercícios

40 Ângulo entre reta e plano Seja uma reta r com direção do vetor v e um plano π, sendo n o vetor normal a π. O ângulo φ da reta r com o plano π é o complemento do ângulo θ que a reta r forma com uma reta normal ao plano.

41 Ângulo entre reta e plano Tendo em vista que φ + θ = π, e portanto, cos(θ)=sen(φ), 2 temos v n sen φ = v n, com 0 φ π/2

42 Paralelismo entre reta e plano Seja a reta r e o plano π, temos r π v n v n = 0

43 Perpendicularidade entre reta e plano Seja a reta r e o plano π, temos r π v n a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2

44 Exemplo

45 Exercícios

46 Reta contida no Plano Uma reta r está contida em um plano π se: Dois pontos A e B de r forem também de π ou v n = 0, onde v é um vetor diretor de r e n um vetor normal a π. E um ponto A π, sendo A r.

47 Exemplo

48 Interseção de dois Plano Sejam os planos não-paralelos π 1 : 5x y + z 5 = 0 e π 2 : x + y + 2z 7 = 0 A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar. Vamos apresentar duas formas de resolver:

49 Interseção de dois Plano Caso 1) Como r está contida nos dois planos, as coordenadas de qualquer ponto (x,y,z) de r devem satisfazer simultaneamente as equações dos dois planos. Logo, os pontos de r constituem a solução do sistema. 5x y + z 5 = 0 x + y + 2z 7 = 0 Que tem infinitas soluções e (em termos de x) é dado por y = 3x 1 r: z = 2x + 4

50 Interseção de dois Plano Caso 2) Outra maneira é determinar um de seus pontos e um vetor diretor. Seja o ponto A r que tem abcissa zero, então as equações ficam y + z 5 = 0 y + 2z 7 = 0 Logo, temos um ponto de r, A(0,-1,4).

51 Interseção de dois Plano Caso 2) Como o vetor diretor de r é simultaneamente ortogonal a n 1 = 5, 1,1 e n 2 = (1,1,2), normais aos planos, o vetor diretor pode ser dado por v = n 1 n 2

52 Interseção de dois Plano Caso 2) Escrevendo as equações paramétricas de r, temos r: x = t y = 1 + 3t z = 4 2t

53 Interseção de reta com plano Exemplos: Se I(x,y,z) é um ponto de interseção de r e π, suas coordenadas devem verificar as equações do sistema.

54 Exemplos: Interseção de reta com plano

55 Distância de Ponto e Plano Dado um ponto P e um plano π, queremos calcular a distância d(p, π). Seja A um ponto qualquer de π e n um vetor normal a π. A distância d(p, π) é o módulo da projeção de AP na direção de n.

56 Distância de Ponto e Plano d P, π = proj n AP = AP n n n n d P, π = AP n n Considerando P(x 0, y 0, z 0 ), π: ax + by + cz + d e A(x 1, y 1 z 1 ) π, temos d P, π = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c²

57 Distância de Ponto e Plano

58 Distância entre dois Planos A distância entre dois planos é definida somente quando os planos forem paralelos. Dados dois planos paralelos, a distância entre eles é a distância de um ponto qualquer de um dos planos ao outro. Com P 1 π 1 e P 2 π 2. d π 1, π 2 = d P 1, π 2 = d π 1, P 2

59 Exemplo: Distância entre dois Planos

60 Distância entre reta e plano A distância entre reta e plano é definida somente quando forem paralelos. Dada uma reta r e um plano π, a distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano, isto é d r, π = d P 0, π Com P 0 r.

61 Distância entre reta e plano