APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

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1 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS INTRODUÇÃO Frequentemente é possível estabelecer uma relação linear entre duas grandezas medidas experimentalmente. O método dos mínimos quadrados é uma maneira de se obter a melhor recta que pode ser ajustada aos dados experimentais. Basicamente, é um procedimento que busca o mínimo de uma função de duas variáveis (os coeficientes linear e angular da recta) construída a partir da distância entre os pontos experimentais e os pontos de uma recta. 81

2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Por exemplo, se tivermos apenas os valores da função em certos pontos, não vamos exigir que a função aproximadora interpole a função dada nos pontos. Exigimos apenas que essa função aproximadora tome valores (nesses pontos) de forma a minimizar a distância aos valores dados... falamos em minimizar, no sentido dos mínimos quadrado! 82

3 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Isto é importante em termos de aplicações, já que podemos ter valores obtidos, experimentalmente, com uma certa incerteza. Ao tentar modelizar essa experiência, com uma certa classe de funções, seria inadequado exigir que a função aproximadora interpolasse esses pontos. Um caso simples, em que se aplica esta teoria é o caso da regressão linear, em que tentamos adaptar a um conjunto de pontos e valores dados, a "melhor recta", que (neste caso) será a recta que minimiza a soma quadrática das diferenças entre os valores dados ao valores da recta, nesses pontos. 83

4 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto O método dos mínimos quadrados assume que a linha (recta ou curva) que melhor aproxima um conjunto de pares ordenados conhecidos, é aquela que possuir a soma mínima dos desvios ao quadrado. Suponha que os pontos são:,,..., onde X é a variável independente e Y é a variável dependente. A linha que melhor aproxima os dados possui o desvio d (erro) de cada ponto à função f(x).,,..., De acordo com este método, a melhor linha de aproximação deverá conter a seguinte propriedade: 84

5 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto Interpretação Geométrica 85

6 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto Ordem Função Nome 1 y = a o + a 1 x Recta 2 y = a o + a 1 x + a 2 x 2 Parábola 3 y = a o + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 Cúbica 4 y = a o + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 Quártica A ideia básica para qualquer uma das funções acima citadas é tentar descobrir quais são os valores dos coeficientes a o, a 1, a 2 e a 3, de tal modo que a soma dos quadrados das distâncias (tomadas na vertical) da referida curva y=f(x) a cada um dos pontos dados (y i ) seja a menor possível. 86

7 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto Para tal, e aproveitando o ensino nesta disciplina da resolução de sistemas de equações lineares, vamos resolver o problema de determinar os coeficiente ak resolvendo um sistema de equações lineares, sendo que terá um número de equações ajustado ao tipo de função aproximadora desejada: 2 equações=recta, 3 equações=parábola, etc. 87

8 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto EXEMPLO 1 Conhecendo os seguintes pontos (x,y) : (2,3), (3,5), (4,4), (5,4) e (6,7). Determinar a recta que melhor aproximação revelar. y = a o + a 1 x Calcular os somatórios necessários para compor o sistema de 2 equações: ; ; ; 88

9 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto EXEMPLO 1 (Cont.) y = a o + a 1 x Para determinar os valores de a o e a 1 vamos calcular a solução do seguinte sistema de equações lineares. 89

10 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto EXEMPLO 1 (Cont.) Resolvendo o sistema: resulta : a o =1.8 e a 1 =0.7 y = a o + a 1 x y = 1,8 + 0,7x 90

11 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto EXEMPLO 2 Ajustar os seguintes pontos a uma parábola Calcular os somatórios necessários para compôr o sistema de 3 equações: 91

12 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto EXEMPLO 2 (Cont.) Resolvendo o sistema de 3 equações e e incógnitas: a0 a1 a2 Vem: a0= ; a1= ; a2= F(x) = a o + a 1 x + a 2 x 2 F (x) = x x