ANÁLISE DE REGRESSÃO É O ESTUDO E OBTENÇÃO DE RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS. PRETENDE-SE SABER QUAL A MELHOR ESTIMATIVA DOS PARÂMETROS DA REGRESSÃO

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1 ANÁLISE DE REGRESSÃO É O ESTUDO E OBTENÇÃO DE RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS. PRETENDE-SE SABER QUAL A MELHOR ESTIMATIVA DOS PARÂMETROS DA REGRESSÃO SIMPLES - QUANDO UMA VARIÁVEL Y (DEPENDENTE), É FUNÇÃO APENAS DE UMA VARIÁVEL X (INDEPENDENTE): Y f (X) MÚLTIPLA - QUANDO UMA VARIÁVEL Y (DEPENDENTE), PODE SER RELACIONADA COM k VARIÁVEIS INDEPENDENTES: Y f (X, X,..., X k ) REGRESSÃO LINEAR SIMPLES: Y 0 X REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA: Y 0 X X... k X k k 0 X REGRESSÃO POLINOMIAL DE ORDEM k: Y 0 X X... k X k k 0 X M. G. Berardo Gl 40

2 CÁLCULO DE PARÂMETROS CONSISTE EM DETERMINAR OS PARÂMETROS DE UMA FUNÇÃO QUE SE AJUSTE A UM CONJUNTO DE PONTOS, UTILIZANDO UM MÉTODO DE OPTIMIZAÇÃO: - MÉTODO DA MÁXIMA VEROSIMILHANÇA - MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS MINIMIZA-SE A FUNÇÃO CONSTITUÍDA PELO SOMATÓRIO DOS QUADRADOS DOS DESVIOS HIPÓTESES DE APLICAÇÃO: - O VALOR MÉDIO DOS ERROS É ZERO. - OS ERROS TÊM VARIÂNCIA COMUM. - OS ERROS SÃO INDEPENDENTES. - OS VALORES Y PARA CADA VALOR DE X TÊM UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL. - OS VALORES DE X SÃO MEDIDOS SEM ERRO OU COM ERRO DESPREZÁVEL. M. G. Berardo Gl 4

3 O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS (MMQ) BASEIA-SE NA MINIMIZAÇÃO DA FUNÇÃO: S y Y y - VALOR DE Y ENCONTRADO NA REALIZAÇÃO EXPERIMENTAL PARA O VALOR X. Y - VALOR OBTIDO POR SUBSTITUIÇÃO DE CADA X NA EQUAÇÃO DA FUNÇÃO. É UMA ESTIMATIVA DO VALOR. RECTA Y 0 X E - SÃO ESTIMATIVAS DOS VERDADEIROS VALORES DA ORDENADA NA ORIGEM E DO COEFICIENTE ANGULAR. 0 S y 0 X S 0 S 0 0 E 0 M. G. Berardo Gl 4

4 COEFICIENTE ANGULAR ( - ) (y - y) y y ( ) - ORDENADA NA ORIGEM y 0 y y y VARIÂNCIA DA CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES - REPRESENTA-SE POR s y. s E É UMA ESTIMATIVA DA DISPERSÃO DOS VALORES EM TORNO DA RECTA σ y. s. s y. s y Y y 0 y y - É O NÚMERO DE GRAUS DE LIBERDADE. È MENOS PORQUE IMPOMOS AO SISTEMA DUAS RESTRIÇÕES: CÁLCULO DE E 0 M. G. Berardo Gl 43

5 ERRO INERENTE AO COEFICIENTE ANGULAR ± t s y. ( ) ERRO INERENTE À ORDENADA NA ORIGEM ± t sy. 0 0 ( ) OU ± 0 0 t s y. ( ) t - FACTOR DE STUDENT PARA UMA DADA PROBABILIDADE (95 %) E - GRAUS DE LIBERDADE. ( ) M. G. Berardo Gl 44

6 INTERVALOS DE INDETERMINAÇÃO DE Y QUANDO REDUZIMOS UM CONJUNTO DE PONTOS EXPERIMENTAIS (CONSTITUÍDOS POR PARES DE VALORES (, y) A UMA RECTA, NORMALMENTE SERÁ PARA OBTERMOS MAIS TARDE QUER VALORES DE Y PARA DADOS VALORES DE X, QUER DE X PARA UM DADO VALOR DE Y. EM SUMA, PARA EFECTUARMOS PREVISÃO DE DADOS. - PROVA-SE QUE, PARA UM DADO VALOR DE o SE PODEM ENCONTRAR p VALORES DE Y COM UM ERRO: Yo Yo ± t sy. p ( o ) ( ) - NÚMERO DE VALORES DE, A PARTIR DOS QUAIS SE DEFINE A RECTA. SE p Yo Yo ± t sy. ( o ) ( ) M. G. Berardo Gl 45

7 SE p Yo Yo ± t sy. ( o ) ( ) INTERPOLAÇÃO QUANDO SE DETERMINAM VALORES DE Y, DENTRO DA GAMA DOS VALORES DE X, DETERMINADOS EXPERIMENTALMENTE. EXTRAPOLAÇÃO QUANDO PRETENDEMOS DETERMINAR VALORES DE X OU Y, FORA DA GAMA EXPERIMENTAL. É PRECISO TER CUIDADO!! M. G. Berardo Gl 46

8 PREVISÃO DE X PARA UM DADO VALOR DE Y SERÁ X o y o 0 X X ± X o o o X o DEVERÁ SER OBTIDO GRAFICAMENTE, OU RESOLVENDO A EQUAÇÃO QUE NOS DÁ O INTERVALO DE INDETERMINAÇÃO DA RECTA. NOTAR QUE, MESMO QUE SE ADMITA QUE X NÃO TEM ERRO PARA SE PODER OBTER A EQUAÇÃO DA RECTA, A PREVISÃO DE UM DADO VALOR DE X o, PARA UM VALOR CONHECIDO DE Y o, JÁ TEM ERRO. M. G. Berardo Gl 47

9 RECTA QUE PASSA PELA ORIGEM NESTE CASO 0 É NULA E APENAS É NECESSÁRIO DETERMINAR Y ' A FUNÇÃO A MINIMIZAR SERÁ: S ( Y ' S ) 0 ' ' y ' ' ± t s y. s y. ( y ) y - - ' ' y RECTA QUE PASSA POR UM PONTO FIXO NESTE CASO: Y C '' EM QUE C É UMA CONSTANTE. A FUNÇAO A MINIMIZAR É: S ' ' S ( Y C ) 0 '' M. G. Berardo Gl 48

10 Eemplo: Na calbração de um espectrofotómetro obtveram-se os segutes valores: C (g/l) 0, ,50 0,6 0,74 0,86 0,98,00 A (λ 490 mµ) 0,04 0,06 0,08 0, 0,3 0,5 0,8 0,0 0,3 Sabedo que o espectrofotómetro fo aferdo, ates de cada letura, para o seu valor zero, determe a recta que mas provavelmete represeta estes potos. (Não esquecer de determar os erros da ordeada a orgem e do coefcete agular e a regão de determação da recta. Neste caso deve obrgar-se a recta a passar pela orgem? Iterprete estatstcamete.) M. G. Berardo Gl 49

11 PROGRAMAÇÃO DE ENSAIOS NA CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES O INTERVALO DE CONFIANÇA DA RESPOSTA PREVISTA Y o É: Yo Yo ± t sy. ( o ) ( ) o ASSIM, O ERRO ASSOCIADO AO VALOR DA PREVISÃO DEPENDE DO VALOR o ESCOLHIDO. EM PROGRAMAÇÃO CONSIDERA-SE QUE o.: Y Y ± t s o o y. OU SEJA: Y t s y. M. G. Berardo Gl 50

12 I - SEM ENSAIOS PRÉVIOS SUPÕE-SE QUE OS DESVIOS y Y SÃO TODOS IGUAIS (SE-LO- ÃO EM MÉDIA PARA PARA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS). ENTÃO: s y. s y Y CONSTRUINDO UMA TABELA IDÊNTICA À QUE FOI CONSTRUÍDA PARA MEDIÇÕES INDEPENDENTES, PODEMOS DETERMINAR O NÚMERO DE PONTOS PARA DEFINIR UMA RECTA COM UM DETERMINADO RIGOR. II - COM APOIO EM ENSAIOS PRÉVIOS NESTE CASO JÁ TEMOS CONHECIMENTO DOS VALORES DE s y. s PARA m EXPERIÊNCIAS: m y Y sy. s m m DE IGUAL MODO, PARA EXPERIÊNCIAS POSTERIORES, TEREMOS: m sy s m s. y. s m M. G. Berardo Gl 5

13 EM CORRELAÇÕES NÃO LINEARES COMO MÉTODO APROXIMADO, DIVIDE-SE A CURVA EM VÁRIOS TROÇOS DE TAL MODO QUE O ERRO INTRODUZIDO PELA SUBSTITUIÇÃO DE UM TROÇO CURVO POR UMA RECTA NÃO SEJA MUITO GRANDE. É DE SEGUIDA POSSÍVEL APLICAR O PROCEDIMENTO ANTERIOR. Eemplo: Realzaram-se 5 esaos de uma gradeza Y que depede de X, segudo um le lear, tedo obtdo os segutes resultados: Y,0,08 3,07 3,98 5,0 X 6,04 8,0 0,8,94 4,09 Calcular o úmero de esaos ecessáros para obter um erro de: a),5 % b), % M. G. Berardo Gl 5

14 REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA A REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA PODE SER EXPRESSA PELA RELAÇÃO: Y Y β β β L β 0 k k k β 0 OS DADOS CONSISTEMEM DUAS MATRIZES: - UMA () QUE CONTEM OS VALORES DE Y; - OUTRA ((k)) QUE CONTEM OS VALORES DAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES Y y y L L L y X L L L L L L 0 k 0 k 0 k EM QUE: A VARIÁVEL 0 TOMA O VALOR. É O ENSAIO DA VARIÁVEL. M. G. Berardo Gl 53

15 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRÁTICOS MINIMIZA-SE A FUNÇÃO DO SOMATÓRIO DOS QUADRADOS DOS DESVIOS: [ y ( β0 β β L β k k )] SRM - A IGUALIZAÇÃO A ZERO DAS DERIVADAS EM ORDEM AOS PARÂMETROS: SRM 0 β0 SRM 0 β L L L SRM 0 β k CONDUZ AO SISTEMA DE (k) EQUAÇÕES LINEARES, A PARTIR DO QUAL É POSSÍVEL DETERMINAR OS PARÂMETROS: EM QUE: β0 0 0 β 0 L βk 0 k 0 y β0 0 β L βk k y L L L β β L β y 0 k 0 k k k k y y k k k M. G. Berardo Gl 54

16 EM NOTAÇÃO MATRICIAL SERÁ: X T X B T X Y EM QUE [ β β L β ] B 0 k SE X X T T X A Y G O SISTEMA SERÁ: A B G RESOLVENDO VEM: - B A G EM QUE A - É A MATRIZ INVERSA DA MATRIZ T A X X DESVIO PADRÃO s ( y. ) m SRM - (k ) INTERVALOS DE CONFIANÇA DOS PARÂMETROS β β ± t s ( y. ) m ( - ) EM QUE t É O FACTOR DE STUDENT PARA UMA DADA PROBABILIDADE (95 %) E (-(k)) GRAUS DE LIBERDADE. M. G. Berardo Gl 55

17 INTERVALO DE INDETERMINAÇÃO DA CURVA Yo Yo ± t s( y. ) m p h ( oh h ) ( o ) ( h h ) ( ) EM QUE: p - É O NÚMERO DE DETERMINAÇÕES DE y PARA CADA CONJUNTO DE VARIÁVEIS (,..., k ). - É O NÚMERO DEPONTOS USADOS PARA DEFINIR A CURVA. k - É O NÚMERO DE VARIÁVEIS INDEPENDENTES. VARIÁVEIS SE p Yo Yo ± t s( y. ) m ( o ) ( o ) ( ) ( ) M. G. Berardo Gl 56

18 3 VARIÁVEIS SE p Y Y ± t s o o ( y. ) m ( o ) ( o ) ( ) ( ) ( o ) ( o3 3) ( ) ( ) 3 3 ( o ) ( o3 3) ( ) ( ) 3 3 REGRESSÃO POLINOMIAL A REGRESSÃO POLINOMIAL REPRESENTA-SE: Y Y X X L X k X 0 0 k k E PODE TRANSFORMAR-SE EM: Y k X EM QUE X X 0 ASSIM O TRATAMENTO FICA EM TUDO IDÊNTICO AO DA REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA. M. G. Berardo Gl 57

19 Eemplo: Uma varável Y depede de duas varáves (X e X ), segudo a equação: Y β 0 β X β X com β 0 0. Determar o valor dos parâmetros, a partr dos segutes dados: X X Y 5,6 5, 4,8 3,9 4,6 4,9 5, ,9 6,3 5,5 7,3 8, 8,5 9,5 M. G. Berardo Gl 58