CORRELAÇÃO E REGRESSÃO. Modelos Probabilísticos para a Computação Professora: Andréa Rocha. UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Dezembro, 2011

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1 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Modelos Probabilísticos para a Computação Professora: Andréa Rocha UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Dezembro, 2011

2 CORRELAÇÃO Introdução Quando consideramos duas ou mais variáveis surge um novo problema: as relações que podem existir entre as variáveis estudadas. Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, a correlação é o instrumento adequado para descobrir e medir tal relação.

3 CORRELAÇÃO Relação Funcional e Relação Estatística Situação 01 => O perímetro e o lado de um quadrado estão relacionados (2p = 4l). Atribuindo um valor qualquer a l, é possível determinar exatamente o valor do perímetro (2p). RELAÇÃO FUNCIONAL Situação 02 => Consideremos a relação que existe entre o peso e a estatura de um grupo de pessoas. Neste caso, pode acontecer que estruturas diferentes tenha peso iguais ou estruturas iguais correspondam pesos diferentes. RELAÇÃO ESTATISTICA

4 CORRELAÇÃO Diagrama de dispersão É uma nuvem de pontos formado pelos pares ordenados(xi,yi) em um plano cartesiano. Esse diagrama nos fornece uma idéia grosseira, porém útil, da correlação existente.

5 CORRELAÇÃO Correlação Linear Quando a correlação tem como imagem uma reta, a denominamos de correlação linear: Se os pontos do diagrama apresentam uma tendência linear ascendente, temos correlação linear positiva; Se os pontos apresentam uma tendência linear descendente, temos correlação linear negativa;

6 CORRELAÇÃO Correlação Linear Se os pontos do diagrama apresentam uma tendência curvilínea, temos correlação não-linear; Se os pontos apresentam-se dispersos, não oferecendo uma tendência definida, conclui-se que não há correlação entre as variáveis estudadas;

7 CORRELAÇÃO Coeficiente de correlação de Pearson(r) Esse coeficiente indica o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis, e ainda, o sentido dessa correlação(positivo ou negativo).

8 CORRELAÇÃO Coeficiente de correlação de Pearson(r) Para que uma relação possa ser descrita por meio do r é imprescindível que ela se aproxime de uma fração linear e os valores de r devem pertencer ao intervalo [-1, +1]; Se 0,6 r 1, temos uma correlação forte entre as variáveis; Se 0,3 r < 6, há uma correlação relativamente fraca entre as variáveis; Se 0 < r < 3, temos uma correlação muito fraca e, praticamente, nada podemos concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo;

9 Objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação existente entre duas variáveis, a partir de n observações dessas variáveis. Supondo X a variável explicativa e y a variável resposta, temos que y i = f(x i ), i=1,..., n

10 Regressão Linear Simples Considere que a relação entre x e y seja dada através de uma relação estatística. Sendo assim a relação entre x e y deverá ser escrita por y i = f(x i ) + e i, i=1,..., n Onde a v.a.erepresenta um erro aleatório que possui média zero.

11 Regressão Linear Simples Dado um conjunto de valores observados de x e y, construir um modelo de regressão linear simples consiste em obter, a partir desses valores uma relação que melhor represente a relação verdadeira entre essas variáveis. y i = α + βx i + e i, i=1,..., n onde α e β são parâmetros do modelo de regressão. A determinação dos valores dos parâmetros dessa reta é denominada de ajustamento.

12 Regressão Linear Simples Uma idéia razoável para realizar o ajustamento do modelo de regressão parece ser a de escolher valores para α e β de tal forma a minimizar a soma dos quadrados dos erros, ou seja Este método é chamado de método de mínimos quadrados. Assim,

13 Regressão Linear Simples Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, o resultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equação de regressão. Sendo assim, onde é o valor de estimado.

14 Exemplo Sejam 10 observações de duas variáveis x e y, entre as quais existe uma correlação acentuada. Determine a reta ajustada

15 O Poder Explicativo do Modelo Frequentemente denominado coeficiente de determinação, o poder explicativo da regressão tem por objetivo avaliar a qualidade do ajuste. Seu valor fornece a proporção da variação total da variável y explicada pela variável x através da função ajustada. O coeficiente de determinação é denotado por R² e pode ser expresso por ou

16 O Poder Explicativo do Modelo onde e O coeficiente de determinação pode assumir valores no intervalo [0, 1], isto é 0 R² 1.

17 O Poder Explicativo do Modelo 1. Quando R² = 0, a variação explicativa de y é zero, ou seja, a reta ajustada é paralela ao eixo da variável x. 2. Se R² = 1, a reta ajustada explicará toda a variação de y. Assim sendo, quanto mais próxima de 1 estiver o valor de R², melhor a qualidade do ajuste. Ex.: Se o poder explicativo for, por exemplo, 98%, isto significa que 98% das variações de y são explicadas por x através da função escolhida para relacionar as duas variáveis e 2% são atribuídas a causas aleatórias.

18 O Poder Explicativo do Modelo Exemplo: Vamos calcular o poder explicativo da regressão, para os dados do exemplo anterior. Resposta: Logo, 83% da variação total está sendo explicada Resposta: Logo, 83% da variação total está sendo explicada pela regressão.

19 FIM