Lucas Santana da Cunha de julho de 2018 Londrina

Transcrição

1 Análise de Correlação e Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br 26 de julho de 2018 Londrina 1 / 17

2 Há casos em que pode existir um relacionamento entre duas variáveis: Peso vivo e circunferência do peito de ovinos; Peso e altura de um homem adulto; Nível de colesterol e de triglicerídeos; Períodos etários e frequência do pulso; Muitas vezes há a necessidade de avaliar o grau de relacionamento entre duas ou mais variáveis; A Análise de Correlação é o ramo da estatística que estabelece o grau de relacionamento entre duas variáveis; 2 / 17

3 Uma forma visual de observarmos a correlação entre duas variáveis é através do gráfico de dispersão. Nesse gráfico, os valores das duas variáveis são plotadas usandose as coordenadas x e y. Os pontos nos darão uma ideia se existe ou não correlação entre as duas variáveis; 3 / 17

4 Correlação Positiva Figura 1: Correlação positiva 4 / 17

5 Correlação Negativa Figura 2: Correlação negativa 5 / 17

6 Correlação Nula Figura 3: Não há correlação 6 / 17

7 O coeficiente de correlação linear de Pearson tem por objetivo medir o grau de relação entre duas variáveis. Definição em que r = Cov(X, Y ) S x S y, 1 r 1 Cov(X, Y ) = n i=1 x ni=1 x ni=1 iy i i y i n n 1 S x = n i=1 x i 2 ( ni=1 x i ) 2 n n 1 S y = n i=1 y i 2 ( ni=1 y i ) 2 n n 1 7 / 17

8 Iterpretação Se r < 0, a correlação linear é inversa (negativa) e quanto mais próximo de 1 maior essa correlação. Se r > 0, a correlação linear é direta (positiva) e quanto mais próximo de 1 maior essa correlação. Se r = 0, existe correlação linear nula entre as variáveis, ou seja, as variáveis não são correlacionadas linearmente. 8 / 17

9 Exemplo 1 A tabela abaixo mostra a frequência do pulso médio em diferentes períodos etários: Idade (X) Pulso (Y) Verifique se há uma correlação linear entre o pulso médio e a idade. 9 / 17

10 Regressão linear simples A análise de regressão consiste na obtenção de uma equação que tenta explicar a variação da variável dependente pela variação do(s) nível(is) da(s) variável(is) indepentedente(s). O comportamento de Y em relação a X pode se apresentar de diversas maneiras: linear, quadrático, cúbico, exponencial, logarítmico, etc. O modelo que explica o fenômeno, deve ser uma curva (função) que mais se aproxime dos pontos representados no gráfico de dispersão, levando em conta a interpretação. 10 / 17

11 Regressão linear simples Regressão linear simples Qual será a equação da reta que melhor explica a variação de Y em função de X? Y i = β 0 + β 1 X i + e i 11 / 17

12 Mínimos quadrados Regressão linear simples Para se obter a equação estimada, vamos utilizar o método dos mínimos quadrados (MMQ), visando a minimização dos erros. Assim, tem-se que: n ei 2 = i=1 n [Y i β 0 β 1 X i ] 2 i=1 Logo, os estimadores de β 0 e β 1 que minimizam os erros são: ˆβ 1 = n i=1 X n i=1 iy i X n i i=1 Y i n n i=1 X 2 i ( n i=1 X i ) 2 n ˆβ 0 = Ȳ ˆβ 1 X = S xy S xx 12 / 17

13 Regressão linear simples Equação estimada Assim, temos a regressão linear simples ajustada: ŷ = ˆβ 0 + ˆβ 1 x ˆβ 0 é o parâmetro intercepto, pois representa o ponto onde a reta corta o eixo Y (x = 0); ˆβ 1 é o parâmetro chamado coeficiente angular da reta. Tem-se que que para o aumento de 1 unidade de X, Y aumenta em ˆβ 1 unidades. 13 / 17

14 Coeficiente de Determinação Regressão linear simples O quadrado do coeficente de correlação de Pearson, r 2, é chamada de coeficiente de determinação e seu campo de variação é 0 r 2 1. Indica a proporção da variação total que é explicada pela regressão. Se r 2 = 1, todos os pontos observados se situam sobre a reta de regressão, logo, as variações de Y são 100% explicadas pelas variações de X através da função especificada. 14 / 17

15 Regressão linear simples Exemplo 1 A tabela abaixo mostra a frequência do pulso médio em diferentes períodos etários: Idade (X) Pulso (Y) a) Determine a equação da reta de regressão linear de Y em X e a interprete. b) Encontre o valor estimado do pulso médio para a idade média. c) Determine o coeficiente de determinação, r 2, e o interprete. d) Plote o gráfico de dispersão com a curva estimada. 15 / 17

16 Regressão linear simples 16 / 17

17 Exercício 1 Considere as medidas de colesterol e de triglicerídeos de cada indivíduo abaixo. Nível de Colesterol (X) Nível de Triglicerídeos (Y) Paciente (mmol/l) (mmol/l) 1 5,12 2,30 2 6,18 2,54 3 6,77 2,95 4 6,65 3,77 5 6,36 4,18 6 5,90 5,31 7 5,48 5,53 8 6,02 8, ,34 9, ,51 14,20 a) Calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson e interpretar o resultado. b) Determine a equação da reta de regressão linear de Y em X e a interprete. c) Estime o valor do Nível de Triglicerídeos, mmol/l, para um Nível de Colesterol igual a 6,0 mmol/l. d) Determine o coeficiente de determinação, r 2, e o interprete. 17 / 17