REGRESSÃO E CORRELAÇÃO

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1 Vendas (em R$) Disciplina de Estatística 01/ Professora Ms. Valéria Espíndola Lessa REGRESSÃO E CORRELAÇÃO 1. INTRODUÇÃO A regressão e a correlação são duas técnicas estreitamente relacionadas que envolvem uma forma de estimação. Mais especificamente, a análise de correlação e regressão compreende a análise de dados amostrais para saber se e como duas ou mais variáveis estão relacionadas uma com a outra. A correlação mede o grau, ou força, de relacionamento de duas variáveis. A regressão dá uma equação que descreve o relacionamento em termos matemáticos.. DIAGRAMA DE DISPERSÃO Primeiramente precisamos visualizar através de um gráfico se as variáveis em questão demonstram algum tipo de relacionamento. Construímos então o Diagrama de dispersão. Diagrama de dispersão é simplesmente uma representação de pontos de dados em um gráfico xy. O eixo y é utilizado para representar a variável dependente que interessa a quem toma as decisões, enquanto o eixo x é para representar uma variável que pode ser controlada ou medida por quem toma a decisão. Exemplo 1: A tabela abaixo nos fornece o valor investido em propaganda (em R$) e valores de venda (em R$) numa semana, que imagino estarem relacionadas de alguma forma. Neste caso a variável independente é valor em propaganda, pois, as vendas dependem das propagandas realizadas. Propaganda (em R$) Vendas (em R$) Diagrama de Dispersão Propaganda (em R$) O diagrama nos sugere que pode existir uma relação entre as vendas e os custos de propaganda. Em particular ele sugere que, quanto mais dinheiro for gasto em propaganda, maior será o valor das vendas (propaganda é a variável independente e a venda é a variável dependente). O padrão dos pontos forma aproximadamente uma linha reta, sugerindo que é possível que exista uma associação linear entre as duas variáveis. 1

2 3. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSEN Nosso próximo passo será medir a força desse relacionamento entre as variáveis através do coeficiente de correlação de Pearsen. Esse coeficiente resulta sempre em um valor entre 1 e 1 e sua interpretação depende do seu valor numérico e do seu sinal. Quanto mais próximo de 1 e 1, mais forte é o grau de relação linear existente entre X e Y e, quanto mais próximo de 0, mais fraco é o grau desta relação. Uma correlação linear negativa indica que quando o valor de uma variável aumenta, o valor da outra diminui (decrescente) e, uma correlação linear positiva, indica que quando o valor de uma variável aumenta, o valor da outra também aumenta (crescente). Para uma amostra de tamanho n, o coeficiente é calculado por: r n x. y x y n x x. n y y No Excel: 1º) Digitar a tabela º) Digitar numa célula qualquer =CORREL(coluna x; coluna y) enter. Assim: Valores próximos de +1 sugerem forte associação positiva entre as variáveis. (se aproxima de uma reta crescente) Valores próximos de -1 sugerem forte associação negativa entre as variáveis. (se aproxima de uma reta decrescente) Valores próximos a 0 sugerem possivelmente nenhuma correlação entre as variáveis uma não depende da outra. (não se aproxima de uma reta).

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4 Lucro (R$) Calculando o coeficiente de correlação do Exemplo 1: 1º) organizar a tabela com colulas x, y, xy, x e y º) Aplicar a fórmula. Propaganda Vendas x y xy x y r r r n x.y x y n x x.n y y ,56 Portanto, há uma forte associação positiva entre as variáveis 0,98 Exemplo : Verifique se existe correlação e encontre o valor de r dos dados da tabela: Solução: 1º) Construir o diagrama, X investimento Y - Lucro Investimento x Lucro Investimento (R$) Lucro (R$) 1,00 5,00 1,50 6,10,30 6,30 3,50 7,00 4,00 8,10 5,00 8,50 º) Organizar a tabela com os valores da fórmula: Investi- Lucro mento X Y XY X Y ,5 6,1 9,15,5 37,1,3 6,3 14,49 5,9 39,69 3,5 7 4,5 1, ,1 3, ,61 5 8,5 4,5 5 7,5 17, ,04 61,79 88, Investimento (R$) 3º) Aplicar a fórmula Somente visualizando o gráfico concluímos que existe correlação, verifiquemos agora a intensidade, encontrando o r. r 6 18,04 17, ,79 17, , ,97 4

5 Concluímos que existe forte relação entre as variáveis. Do que foi apresentado, podemos observar que o coeficiente de correlação de Pearson é uma ferramenta útil para a investigação de relação linear entre duas variáveis quantitativas. A ausência de relação linear, quando indicada por este coeficiente, não implica na ausência de relação entre elas. Outro tipo de relação pode estar presente, como, por exemplo, a não-linear (curvas, parábolas...). 4. REGRESSÃO Depois de concluído que existe uma correlação entre os dados, podemos encontrar uma fórmula que os descreve para prever valores futuros, a regressão. No caso dos dados estarem distribuídos linearmente (reta), cuja fórmula geral é y = a.x + b precisamos encontrar os valores de a e b, sendo: a = inclinação da reta (função INCLINAÇÂO) b = o valor que intercepta o eixo y (função INTERCEPTAÇÃO) Para calcular os valores dos parâmetros a e b utilizamos as fórmulas: A tabela já fornece os dados n x.y x. y a n x x b y ax onde: x média dos valores de x y média dos valores de y É preciso calcular a média da coluna x e y. Reta de Regressão Linear do Exemplo 1: n x.y x. y ,496 n x x 7584 a b 145,5 8,49615,4 15,684 y a x b y 8,496x 15,684 Reta de Regressão Linear do Exemplo : n x.y x. y 58,94 0,849 n x x 71,45 a b 6,83 0,849,88 4,4543 y a x b y 0,83x 4,454 5

6 Se quisemos descobrir o valor do lucro se o investimento for x = 10,50, substitui o valor de x na função e encontro y que representa o lucro, ou seja, Y = 0,85. 10,50 + 4,46 Y = 13,1 5. EXERCÍCIOS Importante: Nos exercícios você pode utilizar os recursos do Excel para facilitar e verificar os cálculos, porém é importante que você aprenda a fazer os cálculos com as fórmulas. 1) Nas tabelas abaixo verifique a correlação entre as variáveis x e y construindo o diagrama de dispersão. a) c) X Y 5 6,5 7 7,9 8,9 X Y b) d) X Y X Y ) Um grupo de pessoas fez uma avaliação de peso aparente de alguns objetos. Com o peso real e a média dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela: Calcule o índice (coeficiente)de correlação. Peso Real Peso Aparente ) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma barra de aço varia conforme a temperatura, encontre o coeficiente de correlação: Temperatura C Comprimento (mm) Resp. 0,98 4) Considere os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo de alunos da escola A: X Y a) Verifique, pelo diagrama, se existe correlação retilínea. b) Em caso afirmativo, calcule o coeficiente de correlação. Resp: 0,89 5) Encontre a reta de regressão linear dos três exercícios anteriores, usando as fórmulas. Depois faça o gráfico da dispersão com a reta de regressão no Excel. 6

7 6) Para o exercício (3) calcule: a) o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18 C. Resp. 1007,5 mm b) o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35 C. Resp mm 7) Verifique se é possível encontrar uma equação que descreva aproximadamente bem os dados da tabela abaixo. Se sim, encontre essa equação. X Y ) O lucro mensal de certa empresa varia com o investimento em propaganda. A função que representa essa relação é Lucro = 6,. Investimento + 170, ou seja, y = 6,.x+170. Calcule: a) o lucro obtido para um investimento de R$ 100,00. Resp: R$ 790,00 b) se a meta da empresa é lucrar R$.000,00 no mês, quanto deverá investir? Resp: R$ 95,16 9) A tabela abaixo apresenta os custos (Reais por hora) de manutenção de máquinas conforme sua idade (meses). Determinar a reta dos custos sobre a idade e fazer uma previsão de custo para uma máquina de 45 meses. Resp. y = 0,4x + 8,4, R$ 6,40 por hora Idade (meses) Custos 9,7 16,5 19,3 19, 6,9 10) A partir da tabela: X Y a) calcule o coeficiente de correlação, Resp: -0,99 b) determine a reta ajustada. Resp: Y = -11,4.X+76,6 c) estime o valor de Y para X = 0. Resp: 76,6 11) Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto em relação à variação de preço de venda, obteve a tabela: Preço (X) Demanda (Y) a) Determine o coeficiente da correlação. Resp. - 0,90 b) Estabeleça a equação da reta ajustada. Resp. y = -1,87x + 386,8 c) Estime Y para X = 60 e X = 10. Resp. 74,6 e 16,4 7