OBJETIVOS DOS CAPÍTULOS

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1 OBJETIVOS DOS CAPÍTULOS Capítulo 1 Nesse capítulo, você notará como muitas situações práticas nas áreas de administração, economia e ciências contábeis podem ser representadas por funções matemáticas. Nas análises iniciais dessas funções, serão ressaltados conceitos como crescimento e decrescimento, função limitada e função composta, sempre associados a aplicações nas áreas administrativa, econômica e contábil. No Tópico Especial, por meio de diagramas de dispersão e do coeficiente de correlação linear, você analisará mais aspectos da associação entre variáveis matemáticas. Capítulo 2 Nesse capítulo, você analisará as funções do primeiro grau e suas aplicações estudando conceitos como taxa de variação; funções receita, custo e lucro; break-even point; juros simples; restrição orçamentária, entre outros. Você estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar graficamente a função do primeiro grau. No Tópico Especial, com base no método dos mínimos quadrados, serão apresentados os passos para obter o modelo de regressão linear simples. Capítulo 3 Nesse capítulo, você estudará situações práticas envolvendo as funções do segundo grau a partir da construção e análise de seu gráfico. No esboço gráfico da função do segundo grau, será dada atenção especial ao vértice da parábola. Você notará que as coordenadas do vértice são úteis para a determinação de valores máximos, valores mínimos e intervalos de crescimento (ou decrescimento) das funções associadas. No Tópico Especial, de modo 1

2 Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade similar àquilo que foi realizado no Tópico Especial do capítulo anterior, serão apresentados os passos para obter o modelo de regressão quadrática. Capítulo 4 Nesse capítulo, você analisará as funções exponenciais obtendo-as a partir do fator multiplicativo. Você estudará aplicações da função exponencial como o montante de uma dívida ou aplicação, juros compostos, o crescimento populacional, entre outros. Você estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar a função exponencial. No final do capítulo, visando à resolução de equações exponenciais, serão desenvolvidos os conceitos elementares a respeito dos logaritmos. De modo similar ao que foi feito nos Capítulos 2 e 3, o Tópico Especial trará os passos para obter o modelo de regressão exponencial. Capítulo 5 Nesse capítulo, você estudará as funções potências, polinomiais, racionais e inversas analisando seus comportamentos e estudando seus principais aspectos gráficos. Você notará que as funções potências são largamente aplicadas ao estudar os processos de produção em uma empresa. Será apresentada a função polinomial em sua forma geral, que pode ser explorada em diversos fenômenos na área financeira. Você estudará as funções racionais explorando algumas idéias relacionadas à teoria dos limites. Ao final do estudo de tais funções, você trabalhará o processo de inversão de funções e perceberá a utilidade da função inversa. O Tópico Especial fornecerá os passos para obter dois importantes modelos de regressão: a regressão potência e a regressão hipérbole. Capítulo 6 Nesse capítulo, trabalhando os conceitos de taxa de variação média e taxa de variação instantânea, você chegará ao conceito de derivada de uma função em um ponto e seu significado numérico e gráfico. Fique atento à derivada de uma função, pois trata-se de um dois conceitos mais importantes do cálculo diferencial e integral. Nesse capítulo, você terá contato com as primeiras aplicações da derivada na análise do comportamento local de uma função e, nos Capítulos 8 e 9, você estudará inúmeras aplicações da derivada na análise geral de uma função e de modelos da economia, administração e ciências contábeis. O Tópico Especial trará o estudo da lineari- 2

3 Objetivos dos Capítulos dade local de uma função a partir da equação da reta tangente à curva em um ponto. Nesse tópico, você perceberá como a equação da reta tangente pode substituir a expressão de uma função em uma localidade determinada e como tal equação é útil para obter estimativas locais em fenômenos aplicados. Capítulo 7 Nesse capítulo, você estudará os procedimentos que permitem encontrar de maneira prática as função derivadas, ou seja, dada uma função, você aplicará as técnicas de derivação para obter sua derivada. Trata-se de um capítulo em que o objetivo principal é obter de modo rápido a derivada de uma função dada, portanto é importante que você treine cada técnica apresentada. No Tópico Especial você complementará o estudo das técnicas de derivação trabalhando a técnica da derivação implícita. Capítulo 8 Nesse capítulo, você utilizará a derivada para estudar detalhadamente o comportamento das funções, determinando seus principais valores e pontos para a análise numérica e gráfica. Você perceberá como as derivadas primeira e segunda são úteis para determinar intervalos de crescimento/decrescimento; pontos de máximo/mínimo; diferentes taxas de crescimento/decrescimento e pontos de inflexão de uma função. No Tópico Especial você explorará em detalhes o significado dos pontos de inflexão de uma função, ressaltando suas aplicações práticas. Capítulo 9 Nesse capítulo, você analisará alguns dos usos mais importantes das derivadas em economia e administração. Você estudará o significado econômico da marginalidade avaliando o custo marginal, custo médio marginal, receita marginal e lucro marginal. Outra aplicação das derivadas envolve o conceito de elasticidade associada ao preço e a demanda de um produto e sua relação com a receita, bem como a elasticidade associada à renda e à demanda. Será também discutida a propensão marginal a consumir e a poupar a partir das derivadas. No Tópico Especial será discutido o modelo de lote econômico, enfatizando a importância da determinação do lote econômico de compra de um produto. 3

4 Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Capítulo 10 Nesse capítulo, será estudado, com abordagens práticas, o conceito de integral. Com tal conceito, você verá, por exemplo, que é possível obter a variação total da produção em um intervalo a partir da taxa de variação da produção. Você obterá estimativas numéricas para a integral definida e analisará a interpretação gráfica definida a partir do conceito de área. Você verá como a integral definida pode ser útil na determinação do valor médio de uma função. Você aprenderá como calcular a área entre duas curvas e um dos significados do Teorema Fundamental do Cálculo, assuntos necessários em aplicações práticas expostas mais adiante, no Capítulo 12. No Tópico Especial, será apresentada a Regra de Simpson, como uma técnica útil nas estimativas numéricas das integrais definidas. Capítulo 11 Nesse capítulo, você estudará os procedimentos que permitem encontrar a integral indefinida de uma função, ou seja, dada uma função, você aplicará as técnicas de integração para obter sua integral indefinida. Trata-se de um capítulo em que o objetivo principal é obter de modo rápido a primitiva, ou integral indefinida de uma função dada, portanto é importante que você treine cada técnica apresentada. Você treinará também uma maneira de obter a integral definida de uma função a partir de sua integral indefinida e do Teorema Fundamental do Cálculo. No Tópico Especial, você complementará o estudo das técnicas de integração trabalhando a técnica que permite obter algumas integrais impróprias. Capítulo 12 Nesse capítulo, serão analisados alguns dos usos mais importantes das integrais em economia e administração. Você estudará como é possível utilizar a integral definida da taxa de variação para obter variação total da função em situações práticas. Você analisará o significado econômico do excedente do consumidor, do excedente do produtor e dos valores futuro presente de um fluxo de renda em uma capitalização contínua. No Tópico Especial, serão discutidos o índice de Gini e a curva de Lorenz, enfatizando a importância e o significado desses conceitos em análises econômicas. 4

5 SUMÁRIO CAPÍTULO 1 CONCEITO DE FUNÇÃO Conceito de Função Tipos de Função Função Crescente ou Decrescente Função Limitada Função Composta TÓPICO ESPECIAL Dispersão e Correlação Linear Diagrama de Dispersão Correlação Linear CAPÍTULO 2 FUNÇÃO DO 1 o GRAU Modelos lineares Funções do 1 o Grau Juros Simples Restrição Orçamentária Caracterização Geral Obtenção da Função de 1 o Grau Exemplos de como Obter Funções do 1 o Grau Sistemas Lineares e as Funções do 1 o Grau TÓPICO ESPECIAL Regressão Linear Simples Modelo de Regressão Linear Simples Passos para Ajuste da Reta de Regressão 5

6 Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade CAPÍTULO 3 FUNÇÃO DO 2 o GRAU Modelos de Funções do 2 o Grau Um Modelo de Função do 2 o Grau Caracterização Geral Exemplos de Funções do 2 o Grau TÓPICO ESPECIAL REGRESSÃO QUADRÁTICA A Regressão Quadrática CAPÍTULO 4 FUNÇÃO EXPONENCIAL Modelos de Funções Exponenciais Utilizando um Fator Multiplicativo Montante e Função Exponencial Função Exponencial e Depreciação de uma Máquina Função Exponencial e Juros Compostos Caracterização Geral Obtenção da Função Exponencial 1 o Caso: Identificando Evolução Exponencial 2 o Caso: Função Exponencial a partir de Dois Pontos 3 o Caso: Função Exponencial a partir do Fator Multiplicativo Logaritmos e o logaritmo natural Logaritmos Propriedades dos Logaritmos Tópico Especial Regressão Exponencial A Regressão Exponencial CAPÍTULO 5 FUNÇÕES POTÊNCIA, POLINOMIAL, RACIONAL E INVERSA Modelos de Função Potência Produção, Insumo e Proporcionalidade Produção e Taxas Crescentes Produção e Taxas Decrescentes A Lei de Pareto, Assíntotas e Limites Caracterização Geral 1 o Caso: Potências Inteiras e Positivas 2 o Caso: Potências Fracionárias e Positivas 3 o Caso: Potências Inteiras e Negativas 6

7 Sumário Modelos de Função Polinomial Função Polinomial e o Preço de um Produto Caracterização Geral Modelos de Função Racional Função Racional e a Receita Caracterização Geral Função Inversa Obtendo a Inversa de uma Função Exponencial Existência da Função Inversa TÓPICO ESPECIAL Regressão Potência e Hipérbole Modelo de Regressão Potência Modelo de Regressão Hipérbole CAPÍTULO 6 O CONCEITO DE DERIVADA Taxa de Variação Taxa de Variação Média Taxa de Variação Média em um Intervalo Taxa de Variação Instantânea Derivada de uma Função em um Ponto Derivada de uma Função como Taxa de Variação Instantânea Interpretação Gráfica da Derivada Taxa de Variação Média como Inclinação da Reta Secante Taxa de Variação Instantânea como Inclinação da Reta Tangente Derivada como Inclinação da Reta Tangente Reta Tangente à Curva em um Ponto Diferentes Derivadas para Diferentes Pontos e a Função Derivada Função Derivada TÓPICO ESPECIAL Linearidade Local Linearidade Local CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO Regras de Derivação Função Constante Função do 1 o Grau 7

8 Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Constante Multiplicando Função Soma ou Diferença de Funções Potência de x Função Exponencial Função Exponencial na Base e Logaritmo Natural Produto de Funções Quociente de Funções Função Composta Regra da Cadeia A Notação de Leibniz Regra da Cadeia com a Notação de Leibniz Derivada Segunda e Derivadas de Ordem Superior Diferencial TÓPICO ESPECIAL Derivação Implícita CAPÍTULO 8 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NO ESTUDO DAS FUNÇÕES Máximos e Mínimos Máximo e Mínimo Locais Máximo e Mínimo Globais Pontos Onde a Derivada Não Existe Analisados Graficamente Derivada e o Crescimento/Decrescimento de uma Função Pontos Críticos Teste da Derivada Primeira Derivada Segunda e a Concavidade de um Gráfico Derivada Segunda e o Comportamento da Derivada Primeira Derivada Segunda e as Taxas de Crescimento/Decrescimento Teste da Derivada Segunda Ponto de Inflexão Como Encontrar um Ponto de Inflexão Observações gerais TÓPICO ESPECIAL Ponto de Inflexão e seu Significado Prático CAPÍTULO 9 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NAS ÁREAS ECONÔMICA E ADMINISTRATIVA Funções Marginais O Custo Marginal na Produção de Eletroeletrônicos Função Custo Marginal e Outras Funções Marginais 8

9 Sumário Custo Marginal Receita Marginal Lucro Marginal Custo Médio Marginal Elasticidade Elasticidade-Preço da Demanda Classificação da Elasticidade-Preço da Demanda Elasticidade-Renda da Demanda Relação entre Receita e Elasticidade-Preço da Demanda Propensão Marginal a Consumir e a Poupar TÓPICO ESPECIAL Modelo de Lote Econômico Lote Econômico de Compra CAPÍTULO 10 O CONCEITO DE INTEGRAL Integral Definida a partir de Somas Variação da Produção a partir da Taxa de Variação Estimativa para a Variação da Produção a partir da Taxa de Variação Variação da Produção e a Integral Definida Integral Definida como Área Integral Definida para f(x) positiva Integral Definida para f(x) negativa Cálculo da Área entre Curvas Valor Médio e a Integral Definida Primitivas e o Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas Teorema Fundamental do Cálculo TÓPICO ESPECIAL Regra de Simpson (Integração Numérica) CAPÍTULO 11 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Integral Indefinida Primitivas e a Integral Indefinida Regras Básicas de Integração Função Constante Potência de x Constante Multiplicando Função 9

10 Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Soma ou Diferença de Funções Função f (x) = 1 x Função Exponencial Função Exponencial na Base e Integração por Substituição Um Exemplo do Método da Integração por Substituição Passos para Aplicar o Método da Substituição Integração por Partes Fórmula para Integração por Partes Integral do Logaritmo Natural Integrais Definidas TÓPICO ESPECIAL integrais impróprias CAPÍTULO 12 APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS Integrando Funções Marginais Integral Definida da Taxa de Variação como a Variação Total da Função Excedente do Consumidor Excedente do Produtor Valor Futuro e Valor Presente de um Fluxo de Renda Capitalização Contínua Valor Futuro de um Fluxo de Renda Valor Presente de um Fluxo de Renda TÓPICO ESPECIAL O Índice de Gini e a Curva de Lorenz APÊNDICE Exercícios de Revisão para o Ensino Fundamental e Médio 10

11 capítulo 2 FUNÇÃO DO 1 O GRAU Modelos lineares Analisaremos agora as funções do primeiro grau; estas representam um dos tipos de funções mais simples e de grande utilização. Funções do 1 o grau No exemplo a seguir, a Tabela 2.1 traz o custo para a produção de camisetas. Tabela 2.1 Custo para a produção de camisetas Quantidade (q) Custo (C) (R$) Notamos que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o custo aumenta em R$ 10,00; se há um aumento de 10 unidades, o custo aumenta em R$ 20,00, ou ainda, para um aumento de 30 unidades, o custo aumenta em R$ 60,00. Concluímos que uma variação na variável independente gera uma variação proporcional na variável dependente. É isso o que caracteriza uma função do 1 o grau. Para um maior entendimento da função do 1 o grau desse exemplo, podemos calcular a taxa de variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, C, em relação à variável independente, q, pela razão 11

12 Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade m = variação em C = 10 = 20 = 60 = = 2 variação em q Nesse exemplo, a razão m = 2 dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de 1 unidade na quantidade. Notamos ainda que, mesmo se não forem produzidas camisetas (q = 0), haverá um custo fixo de R$ 100,00. Tal custo pode ser atribuído à manutenção das instalações, impostos, despesas com pessoal etc. De um modo geral, podemos dizer que a função custo é obtida pela soma de uma parte variável, o custo variável, com uma parte fixa, o custo fixo: C = Cv + Cf Para o nosso exemplo, podemos obter a função do custo pela relação C = 2q onde Cv = 2q e Cf = 100. O gráfico da função de 1 o grau é uma reta, onde m = 2 dá a inclinação da reta e o termo independente 100 representa o ponto em que a reta corta o eixo vertical. Figura 2.1 Custo para a produção de camisetas. C C = 2q variação em C = variação em q = q 12

13 Capítulo 2 Função do 1 o Grau Dada a função custo para a produção das camisetas, vamos analisar agora a função receita obtida com a comercialização das unidades. Para um produto, a receita R é dada pela multiplicação do preço unitário, p, pela quantidade, q, comercializada, ou seja, R = p.q Supondo em nosso exemplo que o preço para a comercialização de cada camiseta seja R$ 7,00, obtemos a função receita R = 7q notando que a taxa de variação para essa função de 1 o grau é m = 7 (inclinação da reta) e o termo independente é 0 (onde corta o eixo vertical). O gráfico para essa função é uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados. Figura 2.2 Receita para a comercialização de camisetas. R 280 R =7q variação em R = variação em q = q Dadas as funções custo e receita é natural questionarmos sobre a função lucro. De um modo geral, a função lucro é obtida fazendo receita menos custo : Lucro = Receita Custo Para o nosso exemplo, chamando L o lucro e supondo que as quantidades produzidas de camisetas são as mesmas comercializadas, temos 13

14 Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade L = R C L = 7q (2q + 100) L = 5q 100 Nesse caso, notamos que a função lucro também é uma função de 1 o grau, cujo gráfico é uma reta de inclinação m = 5 e que corta o eixo vertical em 100. Figura 2.3 Lucro para a comercialização de camisetas. L 100 L = 5q q -100 Podemos observar pelo gráfico que a reta corta o eixo horizontal em q = 20. Na verdade, podemos obter facilmente esse valor fazendo L = 0 L = 0 5q 100 = 0 q = 20 Tal valor indica que, se q < 20, temos lucro negativo (L < 0, o que indica prejuízo) e, se q > 20, temos lucro positivo (L > 0). Na verdade, podemos obter a quantidade que dá lucro zero fazendo receita = custo L = 0 R C = 0 R = C Graficamente, o ponto em que a receita é igual ao custo é chamado de break-even point e é dado pelo encontro das curvas que representam a receita e o custo. No nosso exemplo, é dado pelo encontro das retas R = 7q e C = 2q