MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I"

Transcrição

1 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas de pontos no plano cartesiano Distâncias entre pontos Sejam e dois pontos no plano cartesiano A distância entre e é dada pela expressão Equação da circunferência Por definição, um ponto está na circunferência de centro e raio se, e somente se,, ou seja, Desenvolvendo essa equação, percebe-se que uma circunferência sempre tem uma equação do tipo Isso sugere o seguinte exemplo: determine o centro e o raio da circunferência de equação Exemplos: determine a expressão de uma função que representa a parte superior da circunferência E para a parte inferior? Retas no plano cartesiano: retas horizontais (paralelas ao eixo ) possuem equação do tipo Retas verticais (paralelas do eixo ) possuem equação do tipo De modo geral, uma reta não vertical possui equação do tipo O número é o coeficiente angular e o número é o coeficiente linear Dados os pontos e, com, a reta que passa por e tem equação Dessa equação observa-se que o coeficiente angular é igual a tangente do ângulo que a reta faz com o semi-eixo positivo Retas paralelas: duas retas de equações e são paralelas se elas possuem o mesmo coeficiente angular, ou seja, se Retas perpendiculares: demonstrar que duas retas de equações e são perpendiculares se

2 2 Exemplo: determine a equação da reta que passa pelos pontos e Agora determine a reta que passa pelo ponto e que é perpendicular a essa que você acabou de encontrar Exemplo: determine de modo que a distância entre os pontos e seja igual a 5 Interprete geometricamente esse problema TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Num triângulo retângulo como o da figura abaixo, define-se o seno, o cosseno e a tangente do ângulo do seguinte modo: Comentar que essa definição depende apenas do ângulo triângulo e listar as identidades: e não do Exemplos: 30 o 45 o 60 o seno cosseno tangente 1

3 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS O círculo trigonométrico e arcos orientados Num plano cartesiano, considere a circunferência de centro na origem e raio igual a uma unidade de medida Essa circunferência é chamada de círculo trigonométrico O ponto serão construídos sobre essa circunferência será a origem dos arcos orientados que Seja um número real entre 0 e Imagine um ponto móvel deslocando-se no sentido anti-horário sobre o círculo trigonométrico, iniciando seu percurso no ponto, e percorrendo uma distância igual a unidades de comprimento Ao final desse percurso ele pára num ponto do círculo trigonométrico A trajetória descrita por é o arco orientado de medida Nesse caso, dizemos o ângulo central, que subtende o arco, tem medida radianos Relembrar a relação entre graus e radianos: O seno, o cosseno e a tangente de : Continuando com entre 0 e, sejam e as extremidades do arco orientado de medida radianos Definimos e representamos o seno, o cosseno e a tangente de da seguinte maneira:, e, se e

4 2 Desse modo, pontos sobre o círculo trigonométrico podem ser escritos na forma Exemplos: 0 seno cosseno tangente As funções trigonométricas reais: Seja um número real qualquer Existem únicos e tais que Definimos o, e como sendo, respectivamente, o seno, o cosseno e a tangente de radianos No caso da tangente, devemos ter, Os gráficos das funções:, e estão representados a seguir

5 3

6 4 Observação: cada uma dessas funções é periódica, de período significa que para todo real: Isso IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Para todo número real valem as igualdades: Cosseno da soma: vamos mostrar que para quaisquer números reais é válida a identidade e Para isso, considere os pontos e sobre o círculo trigonométrico Observe que o raio faz ângulo com o eixo positivo Agora, faça uma rotação no triângulo de modo que ele fique na posição do triângulo (observe as figuras a seguir)

7 5 Pela definição das funções seno e cosseno, vemos que as coordenadas dos pontos e são: e Uma vez que os segmentos e possuem o mesmo comprimento, pela fórmula da distância entre dois pontos, vemos que implica: Desenvolvendo essa igualdade e simplificando obtemos a identidade desejada Outras identidades trigonométricas semelhantes: Arco duplo e arco metade: para todo número real Lei dos cossenos: em qualquer triângulo figura, temos: como o da

8 6

9 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I FUNÇÃO EXPONENCIAL: DEFINIÇÃO No que segue, apresentamos uma definição formal para a exponenciação quaisquer real e, para Se, por definição coloca-se, e assim por diante Ou seja, para todo define-se como o produto de fatores iguais ao número Nesta definição não podemos incorporar o caso, pois para calcularmos utilizamos um produto, e para isto é necessário a existência de dois ou mais fatores Entretanto, por analogia aos casos e, parece ser natural definirmos Entretanto existe uma outra explicação para essa definição A potenciação que acabamos de definir possui a seguinte propriedade: (*) para quaisquer Assim, para definirmos coerentemente, devemos escolher o valor de de modo que a igualdade (*) também seja verdadeira para o caso em que ou sejam iguais a 1 Se este é o nosso desejo, em particular, devemos ter: Logo Desta igualdade, também surge a definição natural de O caso é análogo (ainda estamos supondo ) Para definir esse número é interessante que ele também obedeça a propriedade (*) Desta propriedade, em particular devemos ter: Esta última igualdade implica que Portanto as igualdade e são definidas de maneira a garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para todos os valores de A respeito da potenciação, pode-se também perguntar sobre a definição do número para e Esse número também é definido de modo a garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para quaisquer inteiros e positivos ou negativos Para isto ser verdade, em particular devemos ter Daqui segue que para todo inteiro positivo n Antes de continuar, devemos responder o que acontece nestas definições se tentamos colocar Ora, para inteiro positivo, não existe problema algum Por outro lado, se então não está definido pois deveríamos ter

10 2 que não existe Mas ainda, também não está definido pois, por exemplo, neste caso existe o seguinte problema:, e a divisão por zero não existe Até o momento temos uma definição para para todo expoente inteiro Agora queremos definir para expoentes racionais Esta definição também será dada de modo a garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para todos os expoentes e racionais Vejamos: se então: Portanto é um número positivo que elevado a potência resulta o número Daqui segue que Neste caso, o número, para racional diferente de zero e não-inteiro, está definido apenas para Caso contrário teremos, no conjunto dos números reais, impossibilidades como por exemplo: Por esse motivo, a função exponencial está definida apenas para bases Observação: a definição de para irracional é dada por limites: se é uma seqüência de números racionais convergindo para, definimos como o limite da seqüência Propriedades: para quaisquer números reais e, e todo, temos: (1) (2), (3) (4) FUNÇÃO EXPONENCIAL: GRÁFICOS Se o gráfico da função tem o aspecto da figura abaixo Nesse caso, essa função possui as seguintes propriedades: a função é crescente

11 3 Se o gráfico da função tem o aspecto da figura abaixo Nesse caso, essa função possui as seguintes propriedades: a função é decrescente O NÚMERO DE NAPIER: e Dentre as várias bases para a função exponencial, existe uma que é mais adequada para o cálculo diferencial e integral Essa base é o número neperiano, que pode ser interpretado da seguinte maneira Vamos analisar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função exponencial ( ) no ponto As figuras a seguir sugerem que essa inclinação varia continuamente com o número e que ela aumenta conforme aumentamos o valor de Nessas figuras estão representados os gráficos das funções exponenciais de bases,, e além das retas tangentes a esses gráficos no ponto e o coeficiente angular de cada uma dessas retas

12 4 Esse raciocínio sugere que deve existir um valor de tal que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função exponencial no ponto seja exatamente igual a 1 Esse número realmente existe: ele é o número de Napier, representado pela letra Pode-se mostrar que esse número é irracional e vale aproximadamente Na figura abaixo temos o gráfico da função exponencial de base tangente no ponto além de sua reta

13 5 FUNÇÃO LOGARÍTIMICA Seja e Uma vez que a função exponencial é crescente ou decrescente vemos que para qualquer número existe um, e somente um, número real tal que Tal número é o logaritmo de na base Ele é representado por Isso define a função logarítmica de base : Como vimos, tal função é caracterizada pela equivalência: Propriedades operacionais do logaritmo: (1) (2) (3) (4) (5)

14 6 O LOGARITMO NATURAL OU NEPERIANO Dentre todas as funções logarítmicas, a de base (o número de Napier) é a mais importante para o cálculo diferencial e integral Nesse caso, essa função logarítmica é chamada de o logaritmo natural e é denotada por Uma vez que a função é a inversa da função, vemos que os gráficos dessas duas funções são simétricos em relação a reta No plano cartesiano da figura a seguir, estão representados os gráficos dessas duas funções, além da reta Exemplo: Um objeto à 80 o C foi colocado em um ambiente cuja temperatura é mantida constante em 24 o C Sabe-se que, ao passar do tempo, a temperatura do objeto decresce e tende a temperatura do meio ambiente Além disso, sabe-se que a temperatura do objeto no instante de tempo é dada pela expressão, sendo e constantes que dependem do meio e do objeto Entretanto, passados 30 minutos, verificou-se que a temperatura do objeto é de 50 o C Determine em que instante a temperatura do objeto será igual a 30 o C Observação: chamar a atenção dos alunos para o fato da primeira lista de exercícios conter algumas aplicações importantes de exponencial e logaritmo, tais como: desintegração radioativa e lei de resfriamento de Newton

15 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITES Para motivar a idéia de limites de funções, vamos definir o conceito de reta tangente ao gráfico de uma função no ponto Então seja um ponto sobre o gráfico da função Agora considere um outro ponto sobre o gráfico dessa função A reta que passa pelos pontos e é chamada de reta secante ao gráfico de (veja ilustração na figura abaixo) Observe que, intuitivamente, quando mantemos o ponto fixo e aproximamos de, parece que a reta secante tende a uma certa posição, que é a da reta tangente ao gráfico de no ponto Desse modo, ao fazermos tender ao número vemos que o coeficiente angular da reta secante tende ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de no ponto Assim, se existir o limite da expressão quando tende ao número, representamos esse limite por e dizemos que a reta tangente ao gráfico de no ponto é aquela que passa por e tem coeficiente angular Portanto essa reta tem equação Dessa motivação vem a necessidade de entender o significado da expressão: o limite de uma função quando tende a um número previamente fixado

16 2 LIMITES DE FUNÇÕES: DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Definição de limite: dizemos que uma função tem limite quando tende a um número se, dado existir tal que para todo tal que Se esse é o caso escrevemos Definir limites laterais: a direita e a esquerda Exploração do conceito de limite através de gráficos Exemplo: em cada um dos gráficos abaixo identificar, caso estejam definidos,,, e Aproveitar os exemplos acima para interpretar geometricamente o conceito de função contínua A definição formal desse conceito será apresentada na próxima aula

17 3 PROPRIEDADES DOS LIMITES (1)Se existe o estão o valor desse limite é único (2)Para quaisquer números e, (3)Para qualquer número, (4)Para as propriedades de (a) a (h) abaixo, suponhamos que existam e a) b) c) d) e) f), f > 0 e p real g) h) Conseqüência da propriedade (h): se é uma função limitada, isto é, para alguma constante e todo de seu domínio e se, então Exemplos Caso exista, calcule cada um dos seguintes limites: a) b) c) d) e) e)

18 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I LIMITES NO INFINITO: assíntotas horizontais Dizemos que uma função tem limite quando tende a mais infinito se dado existir tal que para todo Se esse é o caso escrevemos Analogamente dizemos que uma função tem limite quando tende a menos infinito se dado existir tal que para todo Se esse é o caso escrevemos Obs: em qualquer um dos casos acima, diz-se que a reta é uma assíntota horizontal ao gráfico de Exemplos: (a) (b) (c) (d)

19 2 LIMITES INFINITOS: assíntotas verticais Dizemos que uma função tem limite infinito quando tende a um número se para qualquer existir tal que para todo com Se esse é o caso escrevemos Analogamente dizemos que uma função tem limite menos infinito quando tende a um número se para qualquer existir tal que para todo com Se esse é o caso escrevemos Obs: em qualquer um dos dois casos acima, diz-se que a reta vertical ao gráfico de é uma assíntota Observar que podemos definir limites laterais infinitos Exemplos: e

20 3 CONTINUIDADE Dizemos que uma função é contínua no ponto se: (1) estiver definida em, ou seja, existe ; (2) existir ; (3) Também dizemos que uma função é contínua em um intervalo aberto se ela for contínua em todos os pontos desse intervalo Comentar como isso deve ser interpretado no caso de intervalos fechados Apresentar gráficos de funções contínuas e descontínuas para enriquecer o entendimento desse conceito Exemplo 1: verifique se a função definida a seguir é contínua em Exemplo 2: determine constantes e para que a função definida a seguir seja contínua em Propriedades das funções contínuas (1) Suponhamos que as funções e são contínuas em um intervalo Então cada uma das funções listadas no quadro a seguir também é contínua em a) isto é, b), isto é,

21 4 c), isto é, d), isto é, e), isto é, f), isto é,, e real (2) Cada uma das funções listadas a seguir é contínua em todos os pontos do seu domínio: as funções polinomiais, as funções racionais, o seno, o cosseno, a exponencial e o logaritmo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO Teorema: Seja uma função contínua no intervalo fechado Se é um número entre e então existe entre e tal que Observação: esse teorema implica o seguinte fato: se é uma função contínua em um intervalo, e se e possuem sinais diferentes, então existe entre e tal que Exemplo: aplicar o resultado da observação anterior para obter uma aproximação, com três casas decimais, para uma raiz da equação Observação: o próximo tópico poderá ser tratado nas aulas sobre máximos e mínimos e problemas de otimização (aulas teóricas 12 e 13)

22 5 MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS O máximo absoluto de uma função em um intervalo é o maior valor possível de quando variamos em Analogamente, o mínimo absoluto de uma função em um intervalo é o menor valor de quando variamos em Teorema: Toda função contínua em um intervalo fechado possui máximo e mínimo absolutos

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I RESUMO DA AULA TEÓRICA 4 Livro do Stewart: Apêndice D e Seção 16 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS O círculo trigonométrico e arcos orientados Num plano cartesiano, considere

Leia mais

12 Qua 16 mar Coordenadas retangulares, representação Funções vetoriais paramétrica

12 Qua 16 mar Coordenadas retangulares, representação Funções vetoriais paramétrica Aula Data Aula Detalhes 1 Qua 3 fev Introdução Apresentação e avisos 2 Sex 5 fev Revisão Resumo dos pré-requisitos Qua 10 fev Feriado Carnaval 3 Sex 12 fev Soma de Riemann Área, soma superior e inferior

Leia mais

Planificar o estudo para o exame de 2019

Planificar o estudo para o exame de 2019 explicamat Planificar o estudo para o exame de 2019 Este documento apresenta o índice do resumo explicamat para o Exame Nacional de Matemática A de 2019 Em primeiro lugar deves ter conhecimento dos temas

Leia mais

MATEMÁTICA I FUNÇÕES. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

MATEMÁTICA I FUNÇÕES. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari MATEMÁTICA I FUNÇÕES Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br Conteúdo Função Variáveis Traçando Gráficos Domínio e Imagem Família de Funções Funções Polinomiais Funções Exponenciais

Leia mais

Ana Carolina Boero. Página: Sala Bloco A - Campus Santo André

Ana Carolina Boero.   Página:  Sala Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores reais E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Funções de uma variável real a valores

Leia mais

DISTRIBUIÇÃO DOS DOMÍNIOS POR PERÍODO

DISTRIBUIÇÃO DOS DOMÍNIOS POR PERÍODO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS Planificação Anual da Disciplina de Matemática 11.º ano Ano Letivo de 2016/2017 Manual adotado: Máximo 11 Matemática A 11.º ano Maria Augusta Ferreira

Leia mais

Como a PA é decrescente, a razão é negativa. Então a PA é dada por

Como a PA é decrescente, a razão é negativa. Então a PA é dada por Detalhamento das Soluções dos Exercícios de Revisão do mestre 1) A PA será dada por Temos Então a PA será dada por:, e como o produto é 440: Como a PA é decrescente, a razão é negativa. Então a PA é dada

Leia mais

AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES

AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES MATEMÁTICA I AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Conjuntos numéricos A reta real Intervalos Numéricos Valor absoluto de um número

Leia mais

CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1. CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9. CAPÍTULO 3 Retas 18

CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1. CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9. CAPÍTULO 3 Retas 18 Sumário CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1 Sistema de Coordenadas Lineares 1 Intervalos Finitos 3 Intervalos Infinitos 3 Desigualdades 3 CAPÍTULO 2 Sistemas de

Leia mais

Programação de Conteúdos de Matemática SPE Ensino Médio REGULAR 2013

Programação de Conteúdos de Matemática SPE Ensino Médio REGULAR 2013 Programação de Conteúdos de Matemática SPE Ensino Médio REGULAR 2013 1ª série - volume 1 1. Conjuntos - Conceito de conjunto - Pertinência - Representação de um conjunto - Subconjuntos - União de conjuntos

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS - Grupo 500. Planificação Anual /Critérios de avaliação

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS - Grupo 500. Planificação Anual /Critérios de avaliação AGRUPAMENTO DE ESCOLAS ANSELMO DE ANDRADE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS - Grupo 500 Planificação Anual /Critérios de avaliação Disciplina: Matemática A _ 11º ano _ CCH 2016/2017 Início

Leia mais

MATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática

MATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática MATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática Conteúdos I - Conjuntos:. Representação e relação de pertinência;. Tipos de conjuntos;. Subconjuntos;. Inclusão;. Operações com conjuntos;.

Leia mais

TEMA TÓPICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS AVALIAÇÃO* Lei dos senos e lei dos cossenos. Extensão da definição das razões trigonométricas aos

TEMA TÓPICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS AVALIAÇÃO* Lei dos senos e lei dos cossenos. Extensão da definição das razões trigonométricas aos AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho Departamento de Matemática e Ciências Experimentais Planificação Anual de Matemática A 11º ano Ano Letivo

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA QUINTA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Iniciamos a aula definindo as funções trigonométricas e estabelecendo algumas de suas propriedades básicas. A seguir, calcularemos

Leia mais

PLANIFICAÇÃO A MÉDIO/LONGO PRAZO

PLANIFICAÇÃO A MÉDIO/LONGO PRAZO 018/019 DISCIPLINA: Matemática A ANO: 11º CURSO GERAL DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS Total de aulas previstas: 15 Mês Unidades Temáticas Conteúdos Conteúdos programáticos Descritores N.º Aulas Avaliação Primeiro

Leia mais

TEMA TÓPICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS AVALIAÇÃO* Lei dos senos e lei dos cossenos. casos de ângulos retos e obtusos. Resolução de triângulos

TEMA TÓPICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS AVALIAÇÃO* Lei dos senos e lei dos cossenos. casos de ângulos retos e obtusos. Resolução de triângulos AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho Departamento de Matemática e Ciências Experimentais Planificação Anual de Matemática A 11º ano Ano Letivo

Leia mais

Planificação Anual Matemática 11º Ano

Planificação Anual Matemática 11º Ano ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL 402643 ESTREMOZ Planificação Anual Matemática 11º Ano Ano letivo 2018 / 2019 PERÍODO Nº de AULAS PREVISTAS (45 min) 1º 72 2º 72 3º 36 Total: 180 1º Período Total

Leia mais

Avaliação Diagnóstica Matriz de Referência

Avaliação Diagnóstica Matriz de Referência SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DE MINAS GERAIS SUBSECRETARIA DE INFORMAÇÕES E TECNOLOGIAS EDUCACIONAIS SUPERINTENDÊNCIA DE AVALIAÇÃO EDUCACIONAL DIRETORIA DE AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM Avaliação Diagnóstica

Leia mais

3. Limites e Continuidade

3. Limites e Continuidade 3. Limites e Continuidade 1 Conceitos No cálculo de limites, estamos interessados em saber como uma função se comporta quando a variável independente se aproxima de um determinado valor. Em outras palavras,

Leia mais

Capítulo 4 - Derivadas

Capítulo 4 - Derivadas Capítulo 4 - Derivadas 1. Problemas Relacionados com Derivadas Problema I: Coeficiente Angular de Reta tangente. Problema II: Taxas de variação. Problema I) Coeficiente Angular de Reta tangente I.1) Inclinação

Leia mais

Planificação Anual Matemática A 11º Ano

Planificação Anual Matemática A 11º Ano ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL 402643 ESTREMOZ Planificação Anual Matemática A 11º Ano Ano letivo 2017 / 2018 PERÍODO Nº de AULAS PREVISTAS (45 min) 1º 78 2º 60 3º 48 Total: 186 1º Período Total

Leia mais

9º Ano do Ensino Fundamental II:

9º Ano do Ensino Fundamental II: Conteúdos para III Simulado SDP/Outubro/2010 MATEMÁTICA 9º Ano do Ensino Fundamental II: CAPÍTULO I - NOÇÕES ELEMENTARES DE ESTATÍSTICA 1. Organizando os dados 2. Estudando gráficos 3. Estudando médias

Leia mais

Planificação Anual Matemática 11º Ano

Planificação Anual Matemática 11º Ano ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL 402643 ESTREMOZ Planificação Anual Matemática 11º Ano Ano letivo 2016/2017 PERÍODO Nº de AULAS PREVISTAS (45 min) 1º 78 2º 72 3º 36 Total: 186 1º Período Total de

Leia mais

SUMÁRIO. Unidade 1 Matemática Básica

SUMÁRIO. Unidade 1 Matemática Básica SUMÁRIO Unidade 1 Matemática Básica Capítulo 1 Aritmética Introdução... 12 Expressões numéricas... 12 Frações... 15 Múltiplos e divisores... 18 Potências... 21 Raízes... 22 Capítulo 2 Álgebra Introdução...

Leia mais

Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas

Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (11º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (13 de setembro a 15 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas

Leia mais

Ordenar ou identificar a localização de números racionais na reta numérica.

Ordenar ou identificar a localização de números racionais na reta numérica. Ordenar ou identificar a localização de números racionais na reta numérica. Estabelecer relações entre representações fracionárias e decimais dos números racionais. Resolver situação-problema utilizando

Leia mais

Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas

Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (11º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (15 de setembro a 16 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas

Leia mais

PLANIFICAÇÃO A MÉDIO/LONGO PRAZO

PLANIFICAÇÃO A MÉDIO/LONGO PRAZO 07/08 PLANIFICAÇÃO A MÉDIO/LONGO PRAZO DISCIPLINA: Matemática A ANO: º CURSO GERAL DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS Total de aulas previstas: 53 Mês Unidades Temáticas Conteúdos Conteúdos programáticos Descritores

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula 0 208/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Ideia Intuitiva

Leia mais

PLANO DE ENSINO Disciplina: Matemática 8 a série Professor: Fábio Girão. Competências Habilidades Conteúdos. I Etapa

PLANO DE ENSINO Disciplina: Matemática 8 a série Professor: Fábio Girão. Competências Habilidades Conteúdos. I Etapa PLANO DE ENSINO 2015 Disciplina: Matemática 8 a série Professor: Fábio Girão I Etapa Competências Habilidades Conteúdos Construir significados e ampliar os já existentes para os números naturais, inteiros,

Leia mais

Matemática e suas tecnologias

Matemática e suas tecnologias Matemática e suas tecnologias Fascículo 1 Módulo 1 Teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos Noção de conjuntos Conjuntos numéricos Módulo 2 Funções Definindo função Lei e domínio Gráficos de funções

Leia mais

Metas/Objetivos/Domínios Conteúdos/Conceitos Número de Aulas

Metas/Objetivos/Domínios Conteúdos/Conceitos Número de Aulas DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: MATEMÁTICA A ANO:11.º Planificação (Conteúdos)... Período Letivo: 1.º Metas/Objetivos/Domínios Conteúdos/Conceitos Número de Aulas Trigonometria e Funções

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 05

MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 05 UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 05 Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org

Leia mais

Planificação Anual. 0,5 Geometria no plano e no espaço II. 32 Avaliações escritas e respetivas correcções. 5 Auto-avaliação

Planificação Anual. 0,5 Geometria no plano e no espaço II. 32 Avaliações escritas e respetivas correcções. 5 Auto-avaliação 3º Período 2º Período 1º Período AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE CASTRO DAIRE Escola Secundária de Castro Daire Grupo de Recrutamento 500 MATEMÁTICA Ano lectivo 2012/2013 Planificação Anual Disciplina: Matemática

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO Realização: Fortaleza, Fevereiro/2010 1. LIMITES 1.1. Definição Geral Se os valores de f(x) puderem

Leia mais

PLANO DE ENSINO Disciplina: Matemática 8 a série Professor: Fábio Girão. Competências e Habilidades Gerais da Disciplina

PLANO DE ENSINO Disciplina: Matemática 8 a série Professor: Fábio Girão. Competências e Habilidades Gerais da Disciplina PLANO DE ENSINO 2016 Disciplina: Matemática 8 a série Professor: Fábio Girão Competências e Habilidades Gerais da Disciplina Desenvolver a responsabilidade e o gosto pelo trabalho em equipe; Relacionar

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS Escolas João de Araújo Correia ORGANIZAÇÃO DO ANO LETIVO 16 17 GESTÃO CURRICULAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA A 11º ANO 1º PERÍODO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Leia mais

P L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o

P L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o P L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o 206-207 DISCIPLINA / ANO: Matemática A - ºano MANUAL ADOTADO: NOVO ESPAÇO - Matemática A º ano GESTÃO DO TEMPO Nº de Nº de Nº de tempos tempos tempos

Leia mais

3ª Igor/ Eduardo. Competência Objeto de aprendizagem Habilidade

3ª Igor/ Eduardo. Competência Objeto de aprendizagem Habilidade Matemática 3ª Igor/ Eduardo 9º Ano E.F. Competência Objeto de aprendizagem Habilidade C3 - Espaço e forma Números racionais. Números irracionais. Números reais. Relações métricas nos triângulos retângulos.

Leia mais

Prof André Costa de Oliveira. 1 Ano do Ensino médio; Trigonometria: Introdução: ângulos e arcos na circunferência;

Prof André Costa de Oliveira. 1 Ano do Ensino médio; Trigonometria: Introdução: ângulos e arcos na circunferência; Prof André Costa de Oliveira. 1 Ano do Ensino médio; Trigonometria: Introdução: ângulos e arcos na circunferência; Ângulo central: É todo ângulo que possui o seu vértice no centro da circunferência, o

Leia mais

Derivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite.

Derivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite. Derivadas 1 DEFINIÇÃO A partir das noções de limite, é possível chegarmos a uma definição importantíssima para o Cálculo, esta é a derivada. Por definição: A derivada é a inclinação da reta tangente a

Leia mais

Matriz de referência de MATEMÁTICA - SAERJINHO 5 ANO ENSINO FUNDAMENTAL

Matriz de referência de MATEMÁTICA - SAERJINHO 5 ANO ENSINO FUNDAMENTAL 17 5 ANO ENSINO FUNDAMENTAL Tópico Habilidade B1 B2 B3 ESPAÇO E FORMA GRANDEZAS E MEDIDAS TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO H01 H03 H04 H06 Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras

Leia mais

CONTEÚDOS PARA BANCA MATEMÁTICA II. EDITAL Mestres e Doutores

CONTEÚDOS PARA BANCA MATEMÁTICA II. EDITAL Mestres e Doutores CONTEÚDOS PARA BANCA MATEMÁTICA II EDITAL 07-2010 Mestres e Doutores 1- Trigonometria: identidades trigonométricas e funções circulares; a) Defina função periódica e encontre o período das funções circulares,

Leia mais

P L A N I F I C A Ç Ã O A N U A L

P L A N I F I C A Ç Ã O A N U A L P L A N I F I C A Ç Ã O A N U A L DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS ÁREA DISCIPLINAR: Matemática DISCIPLINA: Matemática A NÍVEL DE ENSINO: Secundário CURSO: Ciências e Tecnologias ANO:11º

Leia mais

P L A N I F I C A Ç Ã O A N U A L

P L A N I F I C A Ç Ã O A N U A L P L A N I F I C A Ç Ã O A N U A L DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS ÁREA DISCIPLINAR: 500 - MATEMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A NÍVEL DE ENSINO: Secundário CURSO: Ciências e Tecnologias

Leia mais

MAT111 - Cálculo I - IF TRIGONOMETRIA. As Funçoes trigonométricas no triângulo retângulo

MAT111 - Cálculo I - IF TRIGONOMETRIA. As Funçoes trigonométricas no triângulo retângulo MAT111 - Cálculo I - IF - 010 TRIGONOMETRIA As Funçoes trigonométricas no triângulo retângulo Analisando a figura a seguir, temos que os triângulos retângulos OA 1 B 1 e OA B, são semelhantes, pois possuem

Leia mais

DISCIPLINA DE MATEMÁTICA OBJETIVOS: 1ª Série

DISCIPLINA DE MATEMÁTICA OBJETIVOS: 1ª Série DISCIPLINA DE MATEMÁTICA OBJETIVOS: 1ª Série Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral.

Leia mais

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias 4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no

Leia mais

Quadro de conteúdos MATEMÁTICA

Quadro de conteúdos MATEMÁTICA Quadro de conteúdos MATEMÁTICA 1 Apresentamos a seguir um resumo dos conteúdos trabalhados ao longo dos quatro volumes do Ensino Fundamental II, ou seja, um panorama dos temas abordados na disciplina de

Leia mais

Cronograma - 2º Bimestre / 2016

Cronograma - 2º Bimestre / 2016 Prof.: TIAGO LIMA Disciplina: MATEMÁTICA Série: 1º ano EM 25/04 e 28/04 02/05 e 04/05 09/05 e 12/05 23/05 e 26/05 30/05 e 02/06 06/06 e 09/06 13/06 e 16/06 20/06 e 23/06 27/06 e 30/06 04/07 e 07/07 Função

Leia mais

COLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33)

COLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33) EU CONFIO COLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33) 3341-1244 www.colegiosantateresinha.com.br PLANEJAMENTO DE AÇÕES DA 1ª ETAPA 2016 (01/02 a 29/04) PROFESSOR (A): LUCIANO CARLOS DE

Leia mais

MATEMÁTICA 1ºANO Ementa Objetivos Geral Específicos

MATEMÁTICA 1ºANO Ementa Objetivos Geral Específicos DADOS DA COMPONENTE CURRICULAR Nome da Disciplina: MATEMÁTICA Curso: Ensino Técnico Integrado Controle Ambiental Série: 1ºANO Carga Horária: 100h Docente Responsável: GILBERTO BESERRA Ementa Conjuntos

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Fundamentos e tópicos de revisão Professora Renata Alcarde Sermarini Notas de aula do professor

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA DA AMADORA. Conteúdos programáticos/unidades

ESCOLA SECUNDÁRIA DA AMADORA. Conteúdos programáticos/unidades ESCOLA SECUNDÁRIA DA AMADORA Curso Científico-Humanístico de Ciências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas 018/019 Disciplina de Matemática A - 11ºAno Planificação Anual e Critérios de Avaliação

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA FERREIRA DIAS, AGUALVA SINTRA ENSINO RECORRENTE DE NÍVEL SECUNDÁRIO POR MÓDULOS CAPITALIZÁVEIS CURSO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS

ESCOLA SECUNDÁRIA FERREIRA DIAS, AGUALVA SINTRA ENSINO RECORRENTE DE NÍVEL SECUNDÁRIO POR MÓDULOS CAPITALIZÁVEIS CURSO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS ESCOLA SECUNDÁRIA FERREIRA DIAS, AGUALVA SINTRA ENSINO RECORRENTE DE NÍVEL SECUNDÁRIO POR MÓDULOS CAPITALIZÁVEIS CURSO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS DISCIPLINA

Leia mais

Capítulo 5 Derivadas Parciais e Direcionais

Capítulo 5 Derivadas Parciais e Direcionais Capítulo 5 Derivadas Parciais e Direcionais 1. Conceitos Sabe-se que dois problemas estão relacionados com derivadas: Problema I: Taxas de variação da função. Problema II: Coeficiente angular de reta tangente.

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de. Aula 01. Projeto GAMA

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de. Aula 01. Projeto GAMA Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Funções trigonométricas, eponenciais e logarítmicas Aula 0 Projeto GAMA

Leia mais

Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas

Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em

Leia mais

Curvas Planas em Coordenadas Polares

Curvas Planas em Coordenadas Polares Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares.................... Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas...................... 6. Exercícios........................

Leia mais

Av. João Pessoa, 100 Magalhães Laguna / Santa Catarina CEP

Av. João Pessoa, 100 Magalhães Laguna / Santa Catarina CEP Disciplina: Matemática Curso: Ensino Médio Professor(a): Flávio Calônico Júnior Turma: 3ª Série E M E N T A II Trimestre 2013 Conteúdos Programáticos Data 21/maio 28/maio Conteúdo FUNÇÃO MODULAR Interpretação

Leia mais

Matemática e suas Tecnologias: Matemática

Matemática e suas Tecnologias: Matemática Matemática e suas Tecnologias: Matemática Centro Educacional Sesc Cidadania Planejamento Anual 2018 Professor (a): Heloísa Andréia de Macedo Bezerra Série: 1ª Série Disciplina: Matemática I 1.1 - Observar

Leia mais

Prova: Usando as definições e propriedades de números reais, temos λz = λx + iλy e

Prova: Usando as definições e propriedades de números reais, temos λz = λx + iλy e Lista Especial de Exercícios de Física Matemática I Soluções (Número complexo, sequência de Cauchy, função exponencial e movimento hamônico simples) IFUSP - 8 de Agosto de 08 Exercício Se z x + iy, x,

Leia mais

Preliminares de Cálculo

Preliminares de Cálculo Preliminares de Cálculo Profs. Ulysses Sodré e Olivio Augusto Weber Londrina, 21 de Fevereiro de 2008, arquivo: precalc.tex... Conteúdo 1 Números reais 2 1.1 Algumas propriedades do corpo R dos números

Leia mais

Programa Anual MATEMÁTICA EXTENSIVO

Programa Anual MATEMÁTICA EXTENSIVO Programa Anual MATEMÁTICA EXTENSIVO Os conteúdos conceituais de Matemática estão distribuídos em 5 frentes. A) Equações do 1º e 2º graus; Estudo das funções; Polinômios; Números complexos; Equações algébricas.

Leia mais

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO MATEMÁTICA 1) Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos: Representação de conjuntos, subconjuntos, operações: união, interseção, diferença e complementar. Conjunto universo e conjunto vazio; - Conjunto

Leia mais

Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12

Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12 Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 27 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 -

Leia mais

Datas de Avaliações 2016

Datas de Avaliações 2016 ROTEIRO DE ESTUDOS MATEMÁTICA (6ºB, 7ºA, 8ºA e 9ºA) SÉRIE 6º ANO B Conteúdo - Sucessor e Antecessor; - Representação de Conjuntos e as relações entre eles: pertinência e inclusão ( ). - Estudo da Geometria:

Leia mais

COLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33)

COLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33) EU CONFIO COLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33) 3341-1244 www.colegiosantateresinha.com.br PLANEJAMENTO DE AÇÕES DA 1ª ETAPA 2017 (06/02 a 28/04) PROFESSOR (A): Luciano Carlos De

Leia mais

Capítulo 1 Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em http://www.dimensions-math.org/ Slides de apoio

Leia mais

Material Teórico - Módulo Cônicas. Hipérboles. Terceiro Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Cônicas. Hipérboles. Terceiro Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Cônicas Hipérboles Terceiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Introdução Já vimos que as hipérboles são as

Leia mais

TEMA I: Interagindo com os números e funções

TEMA I: Interagindo com os números e funções 31 TEMA I: Interagindo com os números e funções D1 Reconhecer e utilizar característictas do sistema de numeração decimal. D2 Utilizar procedimentos de cálculo para obtenção de resultados na resolução

Leia mais

PLANO CURRICULAR DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA/ 5º ANO. Ano Letivo

PLANO CURRICULAR DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA/ 5º ANO. Ano Letivo DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS PLANO CURRICULAR DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA/ 5º ANO Ano Letivo 207-208 TEMAS/ CONTEÚDOS Aulas Previstas (* ) º PERÍODO APRESENTAÇÃO/TESTE DIAGNÓSTICO/REVISÕES

Leia mais

MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)

MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP) MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP) 2016 1 Informações gerais Prof.: Sylvain Bonnot Email: sylvain@ime.usp.br Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A) Site: ver

Leia mais

Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas. Cálculo Combinatório: Introdução ao cálculo combinatório

Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas. Cálculo Combinatório: Introdução ao cálculo combinatório DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (12º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (13 de setembro a 15 de dezembro) Cálculo Combinatório: Introdução ao cálculo combinatório

Leia mais

Obter as equações paramétricas das cônicas.

Obter as equações paramétricas das cônicas. MÓDULO 1 - AULA 1 Aula 1 Equações paramétricas das cônicas Objetivo Obter as equações paramétricas das cônicas. Estudando as retas no plano, você viu que a reta s, determinada pelos pontos P = (x 1, y

Leia mais

1º ano. Capítulo 2 - Itens: todos (2º ano) Modelos matemáticos relacionados com a função logarítmica

1º ano. Capítulo 2 - Itens: todos (2º ano) Modelos matemáticos relacionados com a função logarítmica 1º ano Conjuntos Símbolos lógicos Operações com conjuntos Conjuntos numéricos Os Números Naturais Propriedades dos racionais Operações com naturais Os números Inteiros Propriedades dos inteiros Operações

Leia mais

Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas

Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas Trigonometria no Círculo - Funções Trigonométricas Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em

Leia mais

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Leia mais

COLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33)

COLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33) EU CONFIO COLÉGIO SANTA TERESINHA R. Madre Beatriz 135 centro Tel. (33) 3341-1244 www.colegiosantateresinha.com.br PLANEJAMENTO DE AÇÕES DA 1ª ETAPA 2018 (05/02 a 18/05) PROFESSOR (A): LUCIANO CARLOS DE

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Terceira Etapa do Processo Seletivo Estendido 2010 Plano de Ensino

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Terceira Etapa do Processo Seletivo Estendido 2010 Plano de Ensino UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Terceira Etapa do Processo Seletivo Estendido 2010 Plano de Ensino Disciplina: Introdução ao Cálculo Ementa Conjuntos numéricos: números

Leia mais

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado

Leia mais

Coordenadas e distância na reta e no plano

Coordenadas e distância na reta e no plano Capítulo 1 Coordenadas e distância na reta e no plano 1. Introdução A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais

Leia mais

MÓDULO 1 - AULA 21. Objetivos

MÓDULO 1 - AULA 21. Objetivos Aula 1 Hipérbole - continuação Objetivos Aprender a desenhar a hipérbole com compasso e régua com escala. Determinar a equação reduzida da hipérbole no sistema de coordenadas com origem no ponto médio

Leia mais

4 Trigonometria no círculo trigonométrico

4 Trigonometria no círculo trigonométrico 37 4 Trigonometria no círculo trigonométrico Com o surgimento do cálculo infinitesimal e posteriormente da análise matemática as noções básicas da trigonometria ganharam uma nova dimensão. Passaremos a

Leia mais

Durante. Utilize os conteúdos multimídia para ilustrar a matéria de outras formas.

Durante. Utilize os conteúdos multimídia para ilustrar a matéria de outras formas. Olá, Professor! Assim como você, a Geekie também tem a missão de ajudar os alunos a atingir todo seu potencial e a realizar seus sonhos. Para isso, oferecemos recomendações personalizadas de estudo, para

Leia mais

Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequações

Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequações Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequações 1 Sistema Unidimensional de Coordenadas Cartesianas Conceito: Neste sistema, também chamado de Sistema Linear, um ponto pode se mover livremente

Leia mais

PLANIFICAÇÃO ANUAL DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA A

PLANIFICAÇÃO ANUAL DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA A ESCOLA BÁSICA E SECUNDÁRIA DE BARROSELAS Ano Letivo 2017/2018 PLANIFICAÇÃO ANUAL DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA A 11.º ANO OBJETIVOS GERAIS DA DISCIPLINA: Adquirir conhecimentos, factos, conceitos e procedimentos;

Leia mais

Ciclo Trigonomé trico

Ciclo Trigonomé trico Ciclo Trigonomé trico Aluno: Professores: Camila Machado, Joelson Rolino, Josiane Paccini, Rafaela Fidelis, Rafaela Nascimento. Aula 1 As origens da trigonometria Não se sabe ao certo da origem da trigonometria,

Leia mais

Capítulo 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 é assim definido:

Capítulo 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 é assim definido: Capítulo 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r é assim definido: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, se as retas são concorrentes, isto é, r1

Leia mais

O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra.

O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra. Universidade Federal Fluminense Departamento de Análise GAN0045 Matemática para Economia Professora Ana Maria Luz 00. Unidade Revisão de função de uma variável real O objeto fundamental deste curso são

Leia mais

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS 1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS Aula 8 Funções Trigonométricas Professor Luciano Nóbrega 2º Bimestre GABARITO: 1) 20 m TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a

Leia mais

Programa Anual MATEMÁTICA

Programa Anual MATEMÁTICA Programa Anual MATEMÁTICA A proposta A compreensão de ensino, presente no Material Didático Positivo, empenha-se com o valor formativo e instrumental desta área de conhecimento. Assim, concentra seus esforços

Leia mais

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 1 Funções Definição: Sejam A e B, dois conjuntos, A /0, B /0. Uma função definida em A com valores em B é uma lei que associa

Leia mais

Vestibular UnB: O que esperar da prova? PROFESSOR: Henrique de Faria

Vestibular UnB: O que esperar da prova? PROFESSOR: Henrique de Faria MATEMÁTICA Vestibular UnB: O que esperar da prova? PROFESSOR: Henrique de Faria Quais são os tipos de itens? Tipo A certo ou errado (+1 ou -1 ponto) Tipo B número de 000 a 999 (+2 pontos ou 0 pontos) Tipo

Leia mais

Título do Livro. Capítulo 5

Título do Livro. Capítulo 5 Capítulo 5 5. Geometria Analítica A Geometria Analítica tornou possível o estudo da Geometria através da Álgebra. Além de proporcionar a interpretação geométrica de diversas equações algébricas. 5.1. Sistema

Leia mais

Aula 22 O teste da derivada segunda para extremos relativos.

Aula 22 O teste da derivada segunda para extremos relativos. O teste da derivada segunda para extremos relativos. MÓDULO 2 - AULA 22 Aula 22 O teste da derivada segunda para extremos relativos. Objetivo: Utilizar a derivada segunda para determinar pontos de máximo

Leia mais

SEDUCE-GO. Professor Nível III - Matemática. Secretaria de Estado de Gestão e Planejamento do Estado do Goiás

SEDUCE-GO. Professor Nível III - Matemática. Secretaria de Estado de Gestão e Planejamento do Estado do Goiás Secretaria de Estado de Gestão e Planejamento do Estado do Goiás SEDUCE-GO Edital Nº 00 SEGPLAN/SEDUCE, de 5 de Abril de 08 AB035-08 DADOS DA OBRA Título da obra: Secretaria de Estado de Gestão e Planejamento

Leia mais

Equações paramétricas das cônicas

Equações paramétricas das cônicas Aula 1 Equações paramétricas das cônicas Ao estudarmos as retas no plano, vimos que a reta r que passa por dois pontos distintos P 1 = x 1, y 1 ) e P = x, y ) é dada pelas seguintes equações paramétricas:

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Terceira Etapa do Processo Seletivo Estendido 2011 PLANO DE ENSINO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Terceira Etapa do Processo Seletivo Estendido 2011 PLANO DE ENSINO UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Terceira Etapa do Processo Seletivo Estendido 2011 PLANO DE ENSINO Disciplina: Introdução ao Cálculo Ementa Conjuntos numéricos: números

Leia mais