Apostila 2: Matemática - Funções

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1 de 9 UNERJ - Centro Universitário de Jaraguá do Sul Curso: Administração / Ciências Contábeis Disciplina: Matemática Prof.: JOABLE Apostila : Matemática - Funções Conjuntos Numéricos Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Eemplo: conjunto dos números pares positivos: P {,,,8,,,... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P { é par e positivo } {,,,... }. Relação de pertinência: Sendo um elemento do conjunto A, escrevemos A, onde o símbolo significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A, indicamos esse fato com a notação y A. O conjunto que não possui elementos, é denominado conjunto vazio e representado por φ. Subconjunto: Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A B. Conjuntos numéricos fundamentais: Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Eistem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: Conjunto dos números naturais N {,,,,,,,... } Conjunto dos números inteiros Z {..., -,-,-,-,,,,,... } Obs: é evidente que N Z. Conjunto dos números racionais Q {; p/q com p Z, q Z e q }. Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não eiste divisão por zero!. São eemplos de números racionais: /, -/,,/,,/,,... /, /, etc. Notas: a) é evidente que N Z Q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Eemplo:,... /9

2 de 9 Conjunto dos números irracionais I {; é uma dízima não periódica}. Eemplos de números irracionais: π,9... (número pi razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro),... (dízima não periódica),8... (raiz não eata). número e.8888 Conjunto dos números reais R { ; é racional ou é irracional}. Representação Gráfica dos Números Reais: Os números reais podem ser representados graficamente ½ e Sistema Cartesiano Ortogonal (S.C.O.): São duas retas chamadas de eios. O ponto de intersecção destas retas é chamado de origem. O eio horizontal é o eio das abscissas (valores de ). O eio vertical é o eio das ordenadas (eio dos y ). Para se localizar um ponto no S.C.O., dá-se as suas coordenadas, ou seja, o valor da sua abscissa e o valor da sua ordenada. Eercício: Marcar os seguintes pontos no S.C.O.: Resposta: (, y) (-,) (,) (,-) (-,) (-,-) (, ) (,) (, -) (,) (-, ) (.,.)

3 de 9 Funções: Sejam conjuntos A { } e B { }, diz-se que F é uma função de A em B se para todo elemento pertencente a A, associa-se um único elemento y pertencente a B, tal que o par (, y) pertence a função F Eemplo: A B Eercícios Verificar se as relações entre os conjuntos A e B são funções A 9 8 B A - - B A - B Resp.: Resp.: Resp.: A 9 B A 9 - B Resp.: Resp.:

4 de 9 Função Constante A B No eemplo acima, para cada valor de o valor de y é sempre o mesmo (). A função está representada por um diagrama. Poderia ser representada por uma regra: F ( ) ou y Uma função constante pode sempre ser epressa por: F ( ) k ou y k onde k é qualquer número real Os pares ordenados (,y) formados pelo eemplo acima seriam: (,) (,) (,) (,) (,) (,) Se os pontos forem colocados no S.C.O. seria observado o gráfico : Se todos os valores de fossem utilizados (-, -.9, ,.8,.9, ), o valor de y seria constante e igual a. Os pontos seriam: (-, ), (-.9, ), (-.8, )... (, )...(., ), (.8, ), (.9, ), (, ) e se todos os infinitos pontos fossem colocados no S.C.O., obteria-se uma reta, paralela ao eio e que passa por (conforme mostrado no gráfico ) gráfico gráfico

5 de 9 Eercícios sobre Função Constante: Traçar o gráfico para as funções constantes abaio: a) F ( ) b) F ( ) c) F ( ) d) F () π e) F ( ) f) F ( )

6 de 9 Função do Grau É toda função que pode ser escrita como: Gráfico: F ( ) a + b, onde a coeficiente angular b coeficiente linear a > - crescente a < - decrescente Zero ou Raiz da função: é o valor de para o qual F() é igual a zero Obs.: F() é o mesmo que y. - - F ( ) a + b a z + b z b a Eemplo: Fazer o gráfico de y + Montar uma tabela com valores atribuídos para e calcular os respectivos valores para y z b a Marcar os pontos no S.C.O., ligar os pontos para obter a reta desejada

7 de 9 Eercícios sobre Função do Grau: Traçar o gráfico para as funções abaio: a) y + b z a b) y b z a c) y b z a d) y b z a

8 8 de 9 e) y b z a f) y + b z a g) y + b z a h) y + b z a

9 9 de 9 i) O Sr. João gasta R$, por dia. Represente a função de gastos acumulados e faça o Gráfico para dias. j) O Sr. João tem R$, no banco. Sendo que gasta R$, por dia represente a função Saldo Bancário. Faça o gráfico para dias. A partir de qual dia a conta ficará negativa? Aplicações da Função do Grau Funções de Custo, Receita e Lucro Seja a quantidade produzida de um produto, o custo total de produção depende de. Então pode-se dizer que o custo de produção é uma função da quantidade produzida de um produto. Custos que não dependem da quantidade produzida (aluguel, seguros, salários e outros) são somados e definem o que se chama de custo fio (CF). A parcela do custo que depende de é chamada de custo variável (CV). Então o custo total (CT) será: CT ( ) CF + CV ( ) A receita é o produto de pelo preço de venda e será indicada pela letra R. A função lucro é definida como a diferença entre a receita e o custo: L( ) R( ) CT ( ) Eemplo: Uma firma de serviços de fotocópias tem um custo fio mensal de R$, e custos variáveis mensais de R$, por folha que reproduz. Epresse a função custo total em função do número de páginas copiadas por mês. Epresse, também, a função lucro. Se os consumidores pagam R$, por folha, qual o número mínimo de folhas que a firma tem que reproduzir para não ter prejuízo? Função Custo Total: Função Lucro: Nº mínimo de Folhas:

10 Função do Grau (Quadrática) É toda função que pode ser escrita como: F ( ) a + b + c, onde a de 9 O gráfico de uma função do º Grau é uma figura chamada: Parábola. Esta figura apresenta-se de maneiras distintas dependendo dos valores de a, b e c > < a > ' " vértice vértice ' " vértice vértice ' " vértice vértice a < ' " Para obter o gráfico de uma função do º Grau e visualizar a parábola é necessário atribuir valores para de tal forma que, com os valores de y calculados e marcando-se os pontos definidos pelos pares ordenados (,y), seja possível observar o ponto do vértice e as raízes ( e ) quando estas eistirem. Nem sempre é fácil escolher os valores de adequados. A seguir, apresenta-se um procedimento para a obtenção do esboço do gráfico. Passos ) Observar o sinal de a e para verificar qual das opções será o gráfico; ) Calcular as raízes (também chamadas de zeros) da função ( e ) usando Baskara: I II b ±, e b a c a ) Calcular as coordenadas do ponto do vértice usando as seguintes fórmulas: b v e y v a a ) Marcar o ponto onde a parábola corta o eio y. Este ponto é sempre o (, c).

11 Eemplo: Seja a função y, traçar o esboço da parábola. de 9 Solução: Uma alternativa é escolher uma faia de valores para, calcular os valores de y e marcar os pontos no S.C.O. (tente!) A outra maneira de se obter um esboço razoável do gráfico é seguindo os passos descritos anteriormente:. Observar o sinal de a e para verificar qual das opções será o gráfico: a, b, c e b a c ( ) ( ) como a > e >, a parábola terá a concavidade voltada para cima e a mesma cortará o eio em pontos distintos. Calcular as raízes (também chamadas de zeros) da função ( e ) usando Baskara: - e. Calcular as coordenadas do ponto do vértice usando as seguintes fórmulas: ( ) b v e y v a a. Marcar o ponto onde a parábola corta o eio y. Este ponto é sempre o (, c). (, -). Com as informações obtidas, esboçar o gráfico:

12 de 9 Eercícios sobre Função do Grau: Traçar o gráfico para as funções abaio: a) y a b c I II v y v (, c) (, _ ) b) y a b c I II v y v (, c) (, _ ) c) y + a b c I II v y v (, c) (, _ ) d) y + a b c I II v y v (, c) (, _ )

13 e) y + a b c I II v y v (, c) (, _ ) de 9 f) y + a b c I II v y v (, c) (, _ ) g) y + a b c I II v y v (, c) (, _ ) h) y + a b c I II v y v (, c) (, _ )

14 de 9 Função Eponencial É toda função que pode ser escrita como: Gráfico: k F ( ) a, onde a > e a a > - crescente < a < - decrescente Eemplo : Fazer o gráfico de y Eemplo : Fazer o gráfico de y Montar uma tabela com valores atribuídos para e calcular os respectivos valores para y

15 de 9 Eercícios sobre Função Eponencial: Traçar o gráfico para as funções abaio: a) y b) y c) y d) y

16 de 9 Função Logarítmica É toda função que pode ser escrita como: Gráfico: ( ) F( ) loga, onde a >, a e > a > - crescente Eemplo : Fazer o gráfico de y log ( ) - < a < - decrescente Eemplo : Fazer o gráfico de y log ( ) Montar uma tabela com valores atribuídos para e calcular os respectivos valores para y ,, - -, -,,,,, - -, - -, -,,, - -, -,,,,, - -, -,, - -, -,,,,, - -, - -, -,,, - -, -,,,,, - -, -

17 de 9 Eercícios sobre Função Logarítmica: Traçar o gráfico para as funções abaio: a) y log ( ) +.,,,,,,,,, -,,,,,,, -, b) y ln( ) + e,,,,,,,,,,,,,,,,, c) y log ( ) / / d) y log ( ) / / / 8 -,,,,,,,,, - - -

18 8 de 9 Aplicação de Função Eponencial e Função Logarítmica Considere um empréstimo de R$, em duas propostas distintas. A primeira a juros simples com uma taa de % ao mês e a segunda a juros compostos a uma taa de 9 % ao mês. Este empréstimo deve ser pago em uma parcela única que pode ser efetuada a até o º mês após o recebimento do dinheiro. Vamos ver qual seria a evolução do montante a ser pago (capital inicial + juros) mês a mês nas duas situações. Juros Simples % Juros Compostos 9 % º ) Mês R$, R$ 9, º ) Mês R$, R$ 8,8 º ) Mês R$, R$ 9, º ) Mês R$, R$, º ) Mês R$, R$,8 º ) Mês R$, R$, º ) Mês R$, R$ 8,8 8º ) Mês R$ 8, R$ 99, 9º ) Mês R$ 9, R$,9 º ) Mês R$, R$, R$, R$, Compostos R$, R$ 8, R$, R$, Simples R$, R$, 8 9 O gráfico acima mostra que o montante comporta-se como uma função do º Grau no sistema de juros simples e como uma função eponencial no sistema de juros compostos. Notação financeira: P.V. Valor presente (capital inicial) i Taa de juros (%) n Prazo da operação Int Valor do Juros F.V. Valor futuro (montante)

19 9 de 9 Fórmulas: Juros Simples Juros Compostos P.V. Int i n F. V ( + i) n i Int PV.. n.. F V n PV.. n Int Int PV.. i PV. i n F. V. ln PV.. ln ( + i) n [ ]. P V. ( + i). F.V. P. V. ( + i n) ( ) n P. V. + i Nas questões seguintes considerar o sistema de juros compostos ) O Capital de R$., produziu o montante de R$., em um ano. Considerando a capitalização mensal, qual é a taa mensal de juros? R.:,9 % ao mês ) O Capital de R$., aplicado à taa de % ao ano, produziu o montante de R$ 9.,. Quanto tempo ficou aplicado? R.: ano e meio (, anos) ) Um capital de R$,, aplicado à taa de % ao mês, rendeu de juros R$,9. Quanto tempo este capital ficou aplicado? R.: meses ) Um capital de R$., foi aplicado à taa de % ao mês, sendo o prazo desta aplicação de anos, seis meses e quinze dias, qual o valor do montante resgatado? R.: R$ 8.98, ) Um capital de R$., foi aplicado à taa de 8. % ao ano, sendo o prazo desta aplicação de meses, qual o valor do montante resgatado? R.: R$., ) Uma aplicação produziu o montante de R$.8,. Sabendo que à taa foi de % ao ano, sendo o prazo desta aplicação de anos, qual o valor do capital inicial? R.: R$.,

20 UNERJ - Centro Universitário de Jaraguá do Sul Curso: Administração / Ciências Contábeis Disciplina: Matemática Prof.: JOABLE Introdução Apostila : Matemática - Derivadas Observe o gráfico abaio, ele representa uma função: F () Agora, imagine uma reta que desliza sobre esta curva, encostando em apenas um ponto da mesma. Observe as figuras seguintes para entender melhor: F() F() F() F() Definição: A inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente à curva em um determinado ponto (,) desta curva é o valor da derivada da função representada pela curva, para este ponto (,). Observa-se, nas figuras anteriores, que a inclinação da curva varia. Eaminemos: Figura Inclinação Positiva e de máimo valor Positiva, porém de valor menor Zero Negativa de 8

21 Pode-se tirar algumas conclusões da análise anterior:. Quando uma função cresce (quando se aumenta, y aumenta também) a sua derivada é positiva;. Quando uma função decresce (quando se aumenta, y diminui) a sua derivada é negativa;. Quando uma função está crescendo ou decrescendo e atinge o seu máimo (positivo ou negativo) o valor da derivada neste ponto é igual a zero. Definição da derivada em um ponto (, ): Regras de Derivação F ' ( ) lim F ( + ) F( ) Como observou-se na seção anterior, a derivada de uma função varia, ou pode variar, dependendo do ponto onde deseja-se conhecer a derivada. Ou seja, a derivada de uma função é, também, uma função, uma vez que o seu valor depende de. Na figura abaio, podemos comprovar a afirmação anterior, nela estão representadas a função já vista na seção anterior e, também, o valor da sua derivada para todos os pontos da função. F( ) F ( ) Obs.: A derivada de uma função qualquer f() é comumente representada por f (). Observe o uso do apóstrofo. Eistem algumas regras que permitem determinar as derivadas das funções de maneira bem simples. A. Derivada de uma função constante: Se c é uma constante e f() c para todo, então: f (). E.: Seja f(), então : f () B. Derivada de um monômio qualquer (Regra da Potência): Se n é um número real e f() n f () n., n- então. E.: Seja f(), então: f (). E.: Seja f(), então: f (). -. E.: Seja f(), então: f (). 9 de 8

22 C. Derivada do Produto de uma Constante por uma Função: Sejam f() uma função, c uma constante e g() tal que g() c.f(). Se f () eiste, então: E.: Seja f() 8., então : f () 8.() -. g () c.f () D. Derivada de uma Soma: Sejam f() e g() duas funções e h() a função definida por h () f () +g () h() f() + g(). Se f () e g () eistem, então: E.: Seja f() , então: f (). (. ) E.: Seja g() , então: g () 9. (. ) -. (.) +. (. - ) E. Derivada de um Produto: Sejam f() e g() duas funções e h() a função definida por h() f(). g(). Se f () e g () eistem, então: E.: Seja f() (. - ).( + ), então: h () f(). g () + f ().g() f () (. - ).(. +.) +(. ). ( + ) F. Derivada de um Quociente: Sejam f() e g() duas funções e h() a função definida por f ( ) h ( ), onde g(). Se f () e g () eistem, então: g( ) E.: Seja f ( )., então:. + (. + f () g( ). f ( ) f ( ). g ( ) h ( ) ).(.. ( [ g( ) ] ) (. ).(. ). + ) Eercícios. Encontrar a derivada das seguintes funções, aplicando as regras de derivação ) f ( ) + + ) f ( ) ) ( ) t f 8) f ( t) t + ) ( ) ( f ( ) + + ) 9) f ( ) + ) f ( ) ( ) ( + ) ) f ( ) + ) f ( ) ( ) ( ) ) t + t f ( t) t ) f ( ) ( + ) ( ) ) f ( ) de 8

23 Derivadas das Funções Eponenciais e Logarítmicas. Derivada de uma função Eponencial: Se f() a k., (a > e, k R) então f () a (k.).k.ln(a) E.: Seja f()., então : f ()..(). ln(). Derivada de uma função Logarítmica: Se f() log a k., (a > e, k R) então E.: Seja f() log., então : f () (a > e ).ln(a) f ().ln() Eercícios - Calcular as derivadas das seguintes funções: a) y. ln () b) y c) y.ln () + + d) y.ln () Derivadas de Funções Compostas Seja a função composta h, tal que h v (u()) então a sua derivada h será: h v (u()). u () Eemplo: Seja h() (. + ) Pode-se chamar u(). + e reescrever a função h() (u()) então h ().(. + ). h () 8.(. + ) Eercícios - Calcular as derivadas das seguintes funções compostas: a) y ( - ) b) y.( -. ) c) y d) y de 8

24 8 Derivadas Sucessivas Seja uma função f(), a sua derivada f () também é uma função, pode-se então pensar na derivada da função f (). Definição: Seja f() uma função derivável. Se f () também for derivável, então a sua derivada é chamada de derivada segunda de f() e é representada por f (). E.: Seja f() , então: f (). + 8 e f () Se f () é uma função derivável, sua derivada, representada por f () é chamada derivada terceira de f() e assim por diante. E.: Seja f(). + 8., 9 Máimos e Mínimos então: f (). +., f (). +, f () 8., f iv ()., f v (), f vi () A figura seguinte mostra o gráfico de uma função f(), onde mostra-se os pontos onde,, e são as abscissas. Esses pontos são chamados de pontos etremos da função. Os valores f() e f() são chamados máimos relativos e f() e f() são chamados mínimos relativos. y de 8

25 Observe os gráficos abaio: f (C) f (C) C C Nota-se que nos pontos de coordenadas (C, f (C)) o valor da derivada é indefinido (a reta tangente à curva, nestes pontos, poderia ter qualquer inclinação, por isso, diz-se que a derivada não eiste nestes pontos). Uma condição necessária para a eistência de um máimo ou mínimo de uma função é que este ponto tenha derivada igual a zero ou que e derivada não eista. Atenção: Esta é uma condição necessária, mas não suficiente. É interessante observar que uma função definida em um dado intervalo pode admitir diversos pontos etremos (máimos ou mínimos) relativos. O maior dos máimos relativos é chamado de máimo absoluto. Da mesma maneira, o menor dos mínimos relativos é chamado de mínimo absoluto. Observe as funções abaio: ) f () + - Ponto de mínimo absoluto em - [f (-) -] - - ) f () - + Ponto de máimo absoluto em [f () ] de 8

26 Critério da Derivada ª para determinação de máimos e mínimos de uma função Seja f () uma função derivável e um valor de abscissa c tal que f (c), então, com certeza, este é um ponto etremo. Para saber se este é um ponto de máimo ou mínimo, pode-se utilizar o Critério da Derivada ª: i) Se f (c) <, f () tem um valor de máimo relativo em c. ii) Se f (c) >, f () tem um valor de mínimo relativo em c. Eemplo: Seja a função f () + - Sabe-se que esta função tem um valor de máimo ou de mínimo quando a sua derivada for igual a zero, então o primeiro passo para se achar este ponto é derivar a função dada: f (). +, esta função é a derivada de f () Agora, deve-se descobrir qual o valor da abscissa para a qual esta derivada torna-se igual a zero,. + -½ Substituindo o valor encontrado ( -½) em f (), acha-se f (-½ ) -9 /. Então o ponto (-/, -9/) da função, pode ser um ponto de máimo ou mínimo, pode-se usar então, o Critério da Derivada ª para descobrir: f () e f (-/) >, então este é um ponto de mínimo da função. Eercícios - Quais os possíveis pontos de máimos e mínimos para as funções dadas abaio nos respectivos intervalos dados: a) y. +, R b) y -. +, c) y -, R d) y. -. +, R e) y ( - ).( + ), R f) y [( )] - [(. ) ] +. +, R g) y +, R - O lucro de um fabricante com a venda de certos objetos pode ser representado pela seguinte função: L(). (-). (-), onde é o preço unitário de venda. Calcule o preço ótimo de venda. de 8

27 Eercícios de Reforço Nas questões a, calcule o valor das derivadas, para os respectivos valores de indicados. As questões e têm enunciado próprio. ) f ()... + f '() R.: ) f (). f '( ) R.: ) f () f '() R.: ). f () +. f '( ) R.:. ) f () ( ) (..) f ' R.:.9 ) ( ) f ().log. +. f '() R.: 9.9. ) f () ( ) + f ' R.: 9. f ().ln ) ( ) f '() R.:. 9) f (). (.. ) f '() R.:.9 ) f () + log(.) f '( ) R.:.89 ) f ().ln( ) f ' R.:.9 ). f () +. f '() R.:. ) Um fabricante produz toneladas de uma liga metálica. O lucro P, em reais, obtido pela produção é epresso pela função: P(). -. Quantas toneladas devem ser produzidas para maimizar o lucro? Resp.: toneladas ) Uma montadora adquire motores elétricos para instalar em seus produtos. A gerência dessa montadora estima que o custo C em unidades monetárias por motor, nos próimos anos será C(t)9.(.t + ) /, onde t é o tempo em anos. Qual será a taa de variação instantânea do custo em relação ao tempo após anos? Resp.: 8 unidades monetárias / ano Dica: A derivada em um ponto de máimo ou mínimo para a função acima é igual a zero. Para saber se o ponto é de máimo ou mínimo, usar o critério da segunda derivada. Dica: A taa de variação instantânea é obtida derivando a função. A função acima é uma função composta. 8 de 8

28 UNERJ - Centro Universitário de Jaraguá do Sul Curso: Administração / Ciências Contábeis Disciplina: Matemática Prof.: JOABLE Introdução Apostila : Matemática - Integrais Seja F() uma função conhecida. Propõe-se o seguinte desafio: Descobrir uma função G() tal que a derivada de G(), ou seja, G (), será igual a F(). Eemplos: F() G()? a) b). c). d) Achar esta função G() pode ser entendido com fazer a operação inversa da derivada. Na verdade não eiste uma única solução G(), eistem várias soluções pois uma constante arbitrária C somada a cada função G() formaria uma função diferente mas que também seria resposta para o problema (uma vez que quando calcula-se a derivada da função, esta constante se anularia) Estas possíveis soluções G() são chamadas de primitivas de F(). As primitivas de uma função diferem apenas da constante arbitrária C. Integral Indefinida Chama-se de integral indefinida de F() a qualquer primitiva da mesma somada a uma constante arbitrária C qualquer. Indica-se, matematicamente, esta operação da seguinte maneira: F ( ) d G( ) + C O símbolo da operação (um esse estilizado) vem da interpretação geométrica da integral que pode ser entendida como a somatória das inúmeras áreas abaio da curva da função, com bases muito pequenas (d). Esta interpretação geométrica não será considerada pois não tem aplicações relevantes nas áreas econômicas. Assume-se que o símbolo " seguido da função e do d é apenas um indicativo de que se deseja realizar a operação de integração de uma função. Aplicações nas áreas econômicas : Cálculos estatísticos (valores médios, probabilidades, etc); Quando são conhecidas as taas de variação instantâneas e deseja-se descobrir a função primitiva. de

29 Regras de Integração Assim como na derivação, na integração eiste uma regra específica para cada tipo de função. As regras para as funções mais comumente encontradas nas áreas econômicas são dadas a seguir: A. Integral de uma função constante: Se k é uma constante e f() k para todo, então: E.: Seja f(), então : d + C k d k + C B. Integral de um monômio qualquer (Regra da Potência): Se n é um número real (diferente de ) Dada a função f() n, então: ( n + ) n d + C ( n + ) E.: Seja f(), então: d ( + ) ( + ) + C + C E.: Seja f() -, então: d ( + ) + C ( + ) ( ) + C E.: Seja f(), então: d, d (, + ) (, + ) + C,, + C C. Integral da função monômio para n igual a. Dada a função f() -, a sua integral será: d ln() + C E.: Seja f() -, então: d ln() + C E.: Seja f(), então: d d ln() + C de

30 D. Integral de uma função eponencial: Seja f() uma função eponencial dada por: ( k F() a ) (com a > e a ), então a sua integral será: ( k ) ( k ) a a d + C k ln(a) E.: Seja f() (.), então: ( ) ( ) d + C ln() E.: Seja f() (-.), então: ( ) d ( ) + C ln() ( ) E. Integral de uma função logarítmica natural: Seja f() uma função logarítmica natural dada por: F() ( k ) ln, então a sua integral será: ( k ) d {[ ln( k ) ] } ln + C E.: Seja f() ln(), então: ln ( ) d {[ ln( ) ] } + C E.: Seja f() ln(.), então: ln ( ) d {[ ln( ) ] } + C Propriedades da Integral ) [ f ( ) g( ) ] d f ( ) d ± g( ) ± d onde f() e g() são duas funções quaisquer. ) k f ( ) d k f ( ) onde k é um número real. d de

31 de Integral Definida A operação descrita a seguir: + C G d F ) ( ) ( é a Integral Indefinida da função F(), cujo resultado será G() + C, tal como foi visto. Chama-se de Integral Definida de F() entre os limites de integração a e b ao seguinte cálculo: ( ) ) G(a G(b) d F b a E.: Seja f(), então: ( ) ( ) 8,... C 8 C C C C d E.: Seja f() (.), então: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),89... C,8... C, C ln C ln C ln d

32 Eercícios - Calcule as integrais definidas ). d R.:, ) (. ) ln. ( ) d R.: 9,8 ).. d R.:,9 ) d R.:, ) d. R.:, ) 8 ln( ) d R.: 8,9 ) d R.: 8) 9 d R.:, 9) d R.: ) (. ). ln( ) d R.: -9, ).. d R.:,88 ) (. ) d R.: 8, ) d R.:, ) ln. ( ) d R.: 9,89 ) ln( e) d R.: )... d R.: 8, ).. d R.:,8 8) (. )d R.: de