Processo Seletivo Estendido 2016 FUNÇÕES LISTA FUNÇÕES - 1

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1 Processo Seletivo Estendido 06 FUNÇÕES LISTA FUNÇÕES - Professor: Fernando de Ávila Silva Departamento de Matemática - UFPR Esta lista foi inicialmente elaborada pelo prefessor Aleandre Trovon UFPR). A presente versão possui também algumas alterações feitas pelo professor Lucas Pedroso UFPR) Nesta lista de eercícios há problemas algéebricos e também de modelagem matemática. Em ambas situações o objetivo é recordar e aprofundar o que foi visto no ensino médio a respeito de funções. Alguns tópicos mais diretamnte relacionados ao assunto serão também traqbalhados Quando julgar necessário, utilize uma calculadora, um computador, ou mesmo uma planilha, para fazer estimativas que dêem a você uma ideia numérica. Matamática é algo que também se aprende junto com outras pessoas. Por isso, discuta em grupo, pesquise e debata suas ideias com os colegas. Mais importante que conseguir resolver uma questão é pensar e reetir sobre ela. Números Reais. Epresse cada número como decimal: a) 7 0 b) 5 c) 9 5 d) 7 8 e) 7 0 f) 4 g) 8 7 h) Epresse cada número decimal como uma fração na forma mais reduzida possível: a), 4 b), 6 c) 0, d) 0, 8 e) 0, f), 7 g), h) 4, 7 i), j), 64 k) 0, 8574 l), Cortou-se, primeiramente, de um o. Depois cortou-se 0, 6 do restante. A parte que restou foi 7 dividida em 50 partes iguais, cada uma medindo 6 metros. Calcule o comprimento do o. 4. Será que é possível escrever um decimal com um número innito de algarismos e que não seja uma dízima periódica, seguindo alguma regra para a colocação dos algarismos?

2 5. Transforme os decimais em frações irredutíveis. Em seguida, reponda a pergunta. a),5 e, b),0 e, 09 c),74 e, d) 5, 9 e 6 e) O que você observou nas frações dos itens anteriores? 6. Classique cada armação como verdadeira ou falsa. Caso não seja verdadeira, apresentar um contra-eemplo, ou seja, um eemplo para o qual a armação feita é falsa. a) A soma de dois números racionais é sempre racional. b) A soma de dois números irracionais é sempre irracional. c) A soma de um número irracional com um racional é sempre irracional. d) O produto de dois números racionais é sempre racional. e) O produto de dois números irracionais é sempre irracional. f) Um número irracional elevado ao quadrado é sempre irracional. g) A raiz quadrada de um número irracional positivo é sempre irracional. h) Quaisquer que sejam a, b, c IR, se a + b a + c então b c. i) Quaisquer que sejam a, b, c IR, se ab = ac então b = c. j) Quaisquer que sejam a, b, c IR {0}, se ab < ac então b < c. k) Quaisquer que sejam a, b IR, se a < b então a < b. l) Quaisquer que sejam a, b IR, se a = b então a = b. m) Quaisquer que sejam a, b IR {0}, se a < b então a > b. n) Qualquer que seja a IR positivo, temos que a > a. o) Quaisquer que sejam a, b IR, temos que ab = a b. p) Quaisquer que sejam a, b IR, temos que a b a + b. q) Quaisquer que sejam a, b IR, se a b então a b. r) Quaisquer que sejam a, b IR, se a b então a b. 7. Quais das sentenças abaio são verdadeiras? Eplique sua resposta. a) IR b) IN IR c) Z IR d) IR Q e) 4 IR Q f) 4 IR Q g) ) IR Q h) 5 IR Q i) 5 Q 8. Efetue as operações indicadas e escreva, em cada caso, se o resultado é um número racional ou irracional. a) 7 b) ) c) d) 5 + ) e) 5 ) f) + ) ) g) 5 + ) 5 ) 9. Mostre que 4 + = Mostre que eistem a e b racionais, tais que 8 8 = a + b.. As fórmulas a seguir serão muito úteis. Verique-as: a) + y) y) = y.

3 b) y) + y + y ) = y. c) + y) y + y ) = + y.. Dados dois números a e b reais e positivos, chama-se média aritmética de a e b ao número a + b chama-se média geométrica ao número ab. Se 0 < a < b, mostre que a) a < a + b < b. b) a < ab < b. c) ab < a + b. e. Verique que para todo número > 0 temos que +. Dica: tente multiplicar ambos os lados da desigualdade por e observar o que acontece.) 4. Determine o valor de, sabendo que 5. Prove que: =. a) 0 b) = 0 se, e somente se, = 0 { se 0 c) = d) y + y se < 0 e) y + y f) Se y 0, y = y g) Dado c > 0, tem-se > c se, e somente se, < c ou > c. 6. Resolva as inequações abaio. a) 7 < 9 b) + 0 c) < d) + + e) + < 4 f) 7. Represente gracamente os seguintes intervalos: + 5 a) [, + [ c) [, 8[ b) ], + [ d) ], [ [, + [ 8. Dentre os conjuntos a seguir, distingua quais são intervalos, representando-os com as notações adotadas. a) { IR 5 < 7} b) { IR + ) = + } c) { IR 4 } d) { IR < e } e) { IR =, 0} f) { IR < 4 } 9. Se a > 0 e b é um número qualquer, mostre que b < a é equivalente a b a < < b + a e também equivalente a ]b a, b + a[. 0. Nos itens a seguir, determine para quais valores de o trinômio é maior que zero, e para quais valores de é menor que zero. Para isso, fatore o trinômio ou complete os quadrados) e estude o

4 sinal. Epresse a resposta na notação de intervalo. a) b) + 4 c) d) 9 e) 6 f) + g) + + Observe como resolvemos a letra g). Faça o mesmo para os próimos itens. + + = completamos o quadrado) 4 = + ) + 4 Assim, ++ > 0 se, e somente se, + ) + 4 > 0, isto é, + ) > 4. Como + ) 0 para todo IR, a epressão + ) > 4 é válida para todo IR. Portanto, + + > 0 para ], + [. Por outro lado, + ) < 4 não tem solução, já que o membro esquerdo da desigualdade é um número positivo. Logo a solução para + + < 0 é, o conjunto vazio. h) + i) j) + k) + + l) + + m) +. Resolva as desigualdades, epressando a solução na forma de intervalo, quando possível. a) )6 ) < 0 b) + ) ) + 5 c) 5 > d) 4 e) ) > 0 f) > + g) + ) 4 + ) + ) 6 > 0 h) + 6) i) ) + 4) 6) 0 j) 5 + 4) + ) 0 + ) + ). Mostre que se 6 < então < 7.. Suponha que 8 <. Quão grande 5 pode ser? 4. Obtenha um número δ > 0, tal que se 4 < δ então < Considere f) = a 0 + a + a + a n n n natural e a n 0) um polinômio com coecientes inteiros. Seja r = p um número racional com p e q primos entre si. Se r é raiz de f), é sabido q que p é divisor de a 0 e q é divisor de a n. Usando este fato, prove que são irracionais: a). b) 4 5. c) p, com p um número primo. 4

5 Generalidades sobre Funcões 6. Sejam A = {a, e, i, o, u} e B = {,,, 4, 5}. Com a tabela y a 4 e i o u estabelecemos uma regra entre os elementos de A e B de modo que a cada A colocado na tabela, associa-se o y B colocado à sua direita. Verique se a regra assim estabelecida determina uma função f : A B. 7. Com os mesmos conjuntos A e B do eercício anterior, diga se cada tabela dá origem a uma função f : A B. Em caso armativo, diga se a função é injetora e se é sobrejetora. a) y a e i o u b) y a e i o u c) y a e i o 4 u 5 d) y a e e i 4 u 5 u e) y a 5 e 5 i 5 o 5 u 5 f) y a i u g) y a e 4 i 5 o 5 u 4 h) y a e 4 i o 5 u i) y a e i o u 8. Em cada item a seguir, considere o conjunto G dos pontos assinalados na malha 5

6 formado por pontos do produto cartesiano A B, onde A = {,,, 4} e B = {a, b, c, d}, eceto em f), onde B = {a, b, c}. Em cada caso, verique se G determina uma função. Em caso armativo, diga se é injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora. 9. Sabe-se que um triângulo inscrito na semi-circunferência de diâmetro a é retângulo. Se os catetos são e y, epresse y como função de. Epresse a área desse triângulo como função de. 0. Um retângulo inscrito na semi-circunferência de diâmetro a tem lados e y, sendo que y está sobre o diâmetro a. Epresse y em função de. Epresse a área do retângulo em função de.. Epresse o lado do quadrado inscrito em um triângulo retângulo ABC, em função da base a e da altura h.. Tico e Teco, torcedores fanáticos de certo time da capital, ganharam de seus tios uns cofrinhos na forma de porquinhos. No de Tico havia R$0,00 e no de Teco R$ 50,00. Os moleques resolveram guardar parte da mesada semanal. Tico prometeu guardar R$ 5,00 por semana e Teco, R$,00. a) Faça uma tabela representando a situação semanal das mesadas de Tico e Teco. b) Determinar as quantias nos cofrinhos em 0 semanas. c) Quando terão quantias iguais? d) Em que semana Tico terá R$,00 a mais que Teco? e) Em que semana Teco terá R$,00 a mais que Tico? f) Em que momento Tico terá o dobro da quantia de Teco? g) Epresse a quantia guardada pelo Tico em função do número n de semanas. h) Epresse a quantia guardada pelo Teco em função do número n de semanas.. Calcular fa) sabendo que: a) a = e f) = + b) a = 0 e f) = c) a = 7 e f) = d) a = e f) = Se f) = + 4, calcule f), f ), f0), f ) e f ). 5. Seja g) = + 4, calcule: 6

7 a) g ) a b) ga) c) ga ) d) [ga)] e) g a) f) f) = ga) 6. Calcular a seguir: f) fa), fazendo as simplicações possíveis, supondo que a, em cada um dos itens a a) f) = 4 b) f) = c) f) = d) f) = 4 4 ) 7. Dada a função f) = +, mostre que f = fa) a a ) + 8. Se f) = a + b mostre que vale f = f ) + f ). ) 9. Se f) = + mostre que f f ) + f ). ) Se f) = a mostre que f)+f ) = f) para todo real. Mostre também que f = f ) + f ) quaisquer que sejam os números reais e. 4. Se f) = + calcular: ) a) f ) b) f c) f 4. Determine o domínio das seguintes funções ) d) ff)) a) f) = + 5 b) f) = c) f) = d) f) = e) f) = f) f) = g) f) = + + h) + 4. Seja f : A IR +. Determine o domínio A para as seguintes funções: a) f) = + b) f) = c) f) = 5 e) f) = d) f) = 4 f) Seja f : A [0, ]. Determine o domínio A, quando f é dada por: a) f) = c) f) = + + b) f) = d) f) = 7

8 45. As funções f : IR IR denida por f) = e g : IR IR denida por g) = são iguais? Eplique. 46. As funções f e g, cujas regras são dadas respectivamente por f) = + e g) = + podem ser iguais? Eplique. 47. As funções f : IR IR + são iguais? Eplique. e f : IR {} IR 48. Uma função f com domínio A IR é par se f a) = fa) para todo a em A tal que a A, e ímpar se f a) = fa). Determine em cada alternativa abaio se f é par, ímpar, ou nem par nem ímpar. a) f) = 4 b) f) = c) f) = 9 5 d) f) = 5 4 e) f) = f) f) = + g) f) = + 4 h) f) = + i) f) = 4 j) f) = + 5 k) f) = + l) f) = Dada f : R R considere as funções p, q : R R denidas como p) = q) = f) f ), para todo R. Mostre que p é par e que q é ímpar. f) + f ) 50. Classique as funções seguintes como injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora. a) f : IR IR tal que f) = b) g : IR IR + tal que g) = c) h : IR IR + tal que h) = d) m : IN IN tal que m) = + e) p : IR IR tal que p) = onde IR = IR {0}) f) q : IR IR tal que q) = g) r : IR IR tal que r) = ) 5. Seja f : A [ 9, [ dada por f) = + 4. Pede-se: a) Determinar A. b) Mostrar que f é injetora. c) Vericar se f é sobrejetora. 5. Seja f : A ], 0] dada por f) = 4 4. Pede-se: a) Determinar A. b) Mostrar que f é injetora. c) Vericar se f é sobrejetora. e 8

9 5. Se f) = 4 mostre que f) = f) Encontre a inclinação e a intersecção vertical da reta cuja equação é y = Em cada item a seguir encontre a equação da reta que passa pelo par de pontos a),) e -,4) b),) e,-) c) -,-) e 4,9) d) -,-) e -,5) e) 0,0) e,) f) 5,0) e 0,5) g) -,-) e 5,-7) i), ) e 4, ) h) 5, ) e 5, 56. Nos itens de abaio, encontre os valores de para os quais a inclinação da reta ligando os dois pontos dados: i) é zero ii) não eiste iii) é positivo iv) é negativo a),) e, 5) b) 6,-) e, ) c) 4, ) e, ) d) 6, ) e, ) 57. Determine se a reta passando pelos dois primeiros pontos é paralela à reta passando pelos dois últimos a) 6,) e 0,); 5,) e,0) b) -,-4) e -4,); 7,4) e -,9) c) 6,-) e,); 5,-) e 0,4) d) -,4) e 7,); 4,) e 5,-) 58. Nos itens a seguir encontre a equação da reta que possui inclinação m, e que passa pelo ponto dado. a) m = ),, b) -,5), m = c) m =, 4, ) d) m =,, ) e) 0,), m = f),0), m = g) -4,), m = 0 h),-), m = Nos itens a seguir, determine a inclinação e as intersecções com os eios e y das funções denidas pelos grácos: a) {, y) + 4y 6 = 0} b) {, y) y + 4 = 0} c) {, y) 4 + 5y + = 0} d) {, y) + y = 0} 60. O gráco de uma função linear, f, tem coeciente angular m =. Se, ) e c, ) pertencem ambos ao gráco de f, encontre o número c. 6. Nos problemas a seguir, determine o ponto de intersecção das duas retas, se eistir, e desenhe os grácos em cada situação. a) + y = 0 e + y = 0 b) + y 6 = 0 e + y + = 0 c) + 5y + 0 = 0 e 5 + y = 0 d) + y = 0 e + y = 0 e) y = 0 e y + = 0 f) y + + = 0 e y + + = 0 6. a) Qual a equação da reta que passa pelos pontos 0, ) e 5, 0)? b) Mostre que a equação da reta que passa pelos pontos 0, b) e a, 0) pode ser escrita na forma chamada forma segmentária): a + y = a b 0) b 9 )

10 6. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto, ) e que é perpendicular à reta y = Encontre a equação das retas paralela e perpendicular à reta y + 4 = 7 e que passa pelo ponto, 5). 65. Seja f : IR IR denida por f) =. Para que valores do domínio a imagem é menor que 4 4? 66. Para que valores de IR a função f) = é negativa? 67. O custo de uma plantação é, normalmente, uma função do número de hectares semeado. O custo do equipamento é um custo o, pois tem que ser pago independentemente do número de hectares plantado. O custo de suprimentos e mão-de-obra varia com o número de hectares plantados e são chamados de custos variáveis. Suponha que os custos os sejam de R$ 0.000,00 e os custos variáveis de R$ 00,00 por hectare. Seja C o custo total, calculado em milhares de reais, e o número de hectares plantados. a) Encontre uma fórmula para C em função de. b) Esboce o gráco de C versus. c) Eplique como você pode visualizar os custos os e variáveis no gráco. 68. Pimentas picantes foram graduadas de acordo com as unidades de Scoville, em que o nível máimo de tolerância humana é de Scovilles por prato. O Restaurante Costa Oeste, conhecido por seus pratos picantes, promete um prato especial do dia, que irá satisfazer ao mais ávido accionado por pratos apimentados. O restaurante importa pimentas indianas, graduadas em.00 Scovilles cada, e pimentas meicanas, com uma graduação de 900 Scovilles cada. a) Determine a equação de restrição de Scoville, relacionando o número máimo de pimentas indianas e meicanas que o restaurante deve utilizar na composição do prato especial. b) Resolva a equação da parte a) obtenha, eplicitamente, o número de pimentas indianas usadas nos pratos mais picantes em função do número de pimentas meicanas. 69. Um corpo de massa m está caindo com velocidade v. A segunda Lei de Newton do Movimento F = ma, estabelece que a força resultante, F, com sentido para baio, é proporcional à sua aceleração, a. A força resultante, F, é composta pela Força de gravidade F g, que age para baio, menos a força de resistência do ar F r, que age para cima. A força devida à gravidade é mg, onde g é uma constante. Suponha que a resistência do ar seja proporcional à velocidade do corpo. a) Obtenha uma epressão para a força resultante F, em função da velocidade v. b) Obtenha uma fórmula, dando a em função de v. c) Esboce o gráco de a versus v. 70. Encontre o comprimento do segmento da reta +4y = que está entre as interseções horizontal e vertical. 7. Valores correspondentes a p e q são dados na tabela a seguir: a) Determine q como uma função linear de p. b) Determine p como função linear de q. p 4 q Uma função linear foi utilizada para gerar os valores da tabela a seguir. Encontre esta função. 0

11 5, 5, 5,4 5,5 5,6 y 7,8 9, 0,6,0,4 Respostas:. a) 0.7 c) 0.6 e) 0.85 g) b) 0.4 d) f) h) 4. a) 5 b) 8 5 c) 5 9 d) e) 9 98 f) 6 g) h) 4 99 i) j) 7 65 k) 6 7 l) L = 800m 4. Sim. Por eemplo, o número a) 5 b) 5 50 c) d) 6 6. a) Verdadeira. 7. b) Falsa. Contra-eemplo: a = e b = são irracionais, mas a + b = Q. c) Verdadeira. d) Verdadeira. e) Falsa. Contra-eemplo: a = e b = 8 são irracionais, mas ab = 6 = 4 Q. f) Falsa. Contra-eemplo: a = é irracional, mas a = Q. g) Verdadeira. h) Verdadeira. i) Falsa. Contra-eemplo: a = 0, b =, c =, pois 0 = 0 mas. j) Falsa. Contra-eemplo: a =, b =, c =, pois ) < ) mas >. k) Falsa. Contra-eemplo: a =, b = 0, pois ) < 0 mas ) > 0. l) Falsa. Contra-eemplo: a =, b =, pois ) = mas ). m) Falsa. Contra-eemplo: a =, b =, pois < mas <. n) Falsa. Contra-eemplo: a = 0.5, pois nesse caso a < a. o) Verdadeira. p) Verdadeira. q) Verdadeira. r) Falsa. Contra-eemplo: a =, b =, pois mas <.

12 a) Verdadeira b) Verdadeira c) Verdadeira d) Falsa e) Falsa f) Verdadeira g) Verdadeira h) Verdadeira i) Verdadeira 8. a) 9 b) c) d) + / Q e) 8 5 / Q f) g) 4 4. = a), 6) b) [, 7 ] 8. a), + ) b) [, + ) c) 4, ) [ ], 0 d) c) d) [, 5 ] ], e) ), + f) [, 4] {, } e) 0, + ) f), 5 ) 0. a) = + ) ). O trinômio é negativo para, ).. b) + 4 = + 7) 6). O trinômio é negativo para 7, 6). c) = + ) ). O trinômio é negativo para ),. d) 9 = + ) ). O trinômio é negativo para, ). e) 6 = 8 ). O trinômio é negativo para 0, ). 8 f) + = + ). O trinômio é negativo para, 0). g) + + = + ) +. O trinômio nunca é negativo. 4 h) +. O trinômio nunca é negativo. i). O trinômio é negativo para R j) + = ). O trinômio é negativo para R k) + + = + ) +. O trinômio nunca é negativo. 4 l) + + = + ) + 7. O trinômio nunca é negativo. 4 8 m) + = + ) 5. O trinômio é negativo para 4 + 5, ) 5.

13 a) 0, ) 6, + ) [ ) b) 5, ], + c), ) ) 5 5, + d), ), + ) e) [, ) [, + ) f), ) g) R h), 5 ] [ ) 7, + i), 4) [, ] j), ] ], [4, + ). 5 < Sim. 7. a) Não é função de A em B. b) É função nem injetora nem sobrejetora de A em B. c) É função bijetora de A em B. d) Não é função de A em B. e) É nem injetora nem sobrejetora função de A em B. f) Não é função de A em B. g) É função nem injetora nem sobrejetora de A em B. h) É função bijetora de A em B. i) É função nem injetora nem sobrejetora de A em B. 8. a) É função, não é injetora nem sobrejetora. b) Não é função. c) É função bijetora. d) É função, não é injetora nem sobrejetora. e) É função, não é injetora nem sobrejetora. f) É função sobrejetora, porém não injetora. 9. y = a, A = a. 0. y = a 4, A = a 4.. L = ah a + h.. b) T I0) = 0 e T E0) = 0 c) n = 0 d) n = 6 e) n = 4 f) Nunca ocorre. g) T In) = 0 + 5n h) T En) = 50 + n. a) fa) = 6 b) fa) = c) fa) = 4 7 d) fa) = 4. f) =, f ) = 8, f0) =, f ) = 7 8, f ) = 6. 5.

14 a) a + 4a b) a + 4 c) a d) a 4 + 8a + 6 e) a + 4 f) a a) + a b) + a + a c) a d) 4 + a) + a ) 4. a) + b) + c) d) 4. a) [ 5, + ) c), ] e) [, 5] g), 0] b) [, ] d) 5, ] f), ] [0, ] h) [, ) [, + ) 4. a) [, + ) b) 0, ] [, + ) c), 5 ] d), ), + ) e), ] [4, + ) f) [0, + ) 44. a) [/, /] b) 0, + ) c) [, 5 ] [ + ] 5, d), ] 45. Não. Elas são iguais apenas para Sim, por eemplo se restringirmos o domínio a { IR }. 47. Não, pois possuem domínios diferentes. 48. a) Ímpar. b) Par. c) Par. d) Ímpar. e) Par. f) Nem par nem ímpar. g) Nem par nem ímpar. h) Par. i) Nem par nem ímpar. j) Par. k) Par. l) Ímpar. 50. a) Bijetora. b) Nem injetora nem sobrejetora. c) Injetora. d) Bijetora. e) Bijetora. f) Bijetora. g) Nem injetora nem sobrejetora. 54. A inclinação é 5 e a intersecção com o eio y se dá em 0, 4). 55. a) 5y + 6 = 0 b) y + 4 = 0 c) 7y 5 = 0 d) y = 0 e) y = 0 f) y + 5 = 0 g) 7y = 0 h) y = 0 i) y = 0 4

15 56. a) i) nunca, ii) =, iii) >, iv) <. b) i) =, ii)nunca, iii) <, iv) >. c) i) =, ii) = 4, iii), 4), iv) R [, 4]. d) i), ii) e iii) nunca, iv) R. 57. a) Não. b) Não. c) Sim. d) Não. 58. a) 6y 7 = 0 b) y + = 0 c) y = 0 d) y = 0 e) y + = 0 f) y + 6 = 0 g) y = h) y = 59. a) 4 ; 0, ) e, 0) b) ; 0, ) e 4, 0). c) 4 5 ; 0, ) e, 0). 5 d) ; 0, 0) e 0, 0). 60. c = a) p = 0, ) b) c) p = 9 70, 46) d) p = 0, ) e) f) 6. a) 5y + = < > a) C) = L = a) qp) = p. b) pq) = 0 q y =