Matemática A Extensivo v. 5

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1 Matemática A Etensivo v. Eercícios ) D f() ( ) f(). Portanto, f() é ímpar. Demonstrar que a função f() é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora. Pode ser um tanto "difícil". Para resolução da questão, sugerimos seguir as orientações apresentadas na eplicação da função injetora (ver página ). ) E Não é função, pois eiste um elemento em A que não está associado a nenhum elemento em B. 8. Correta. Como calculado no item, temos que todo elemento do conjunto A está associado a um único elemento de B. f( ) f( ) 6. Correta. f() f( ) Im {,, } Sabemos que a imagem de f() a é dada por: Im (, ) Como Im (, ) R, temos que f() não é sobrejetora. f() é bijetora. Note ainda, Im (f) R CD (contradomínio). Portanto, f() é sobrejetora. Como f() é injetora e sobrejetora, então bijetora. ). Incorreta. f() + f( ) f() f() f() Im {,,, } B Portanto, f() + não é injetora.. Incorreta. f() + f( ) f() f() f() f() não é sobrejetora, pois Im {,,, } B.. Incorreta. A 7 B ) C ) E I. Correta. Pois Im (g R, ou seja, sobrejetora. ) II. Correta. Pois para qualquer > temos f( ) > f( ). III. Incorreta. g () não é injetora, pois eiste e tal que g ( ) g ( ). A 6) A Ana José Maria Paulo Pedro Segundo o diagrama, temos: f(paulo) f(pedro). I. Incorreta. Se f() + e g() + f() + g() + + Portanto, f + g não é injetora. II. Incorreta. Seja f() e + g() f() + g() Portanto, f + g não é sobrejetora. III. Incorreta. Sejam f e g funções definidas de R em R não injetoras. Considere f() e g(). (f + g)() + (não é injetora). B Matemática A

2 7) 9 8) D 9) C ) A IV. Incorreta. Sejam f e g funções definidas de R em R sobrejetoras. Considere f() e g(). (f + g) () (não é sobrejetora) A função representada no item a) não é sobrejetora, ou seja, não é bijetora. A função representada no item b) não é sobrejetora, ou seja, não é bijetora. A função representada no item c) não é injetora, ou seja, não é bijetora. Portanto, a função representada no gráfico do item d) é bijetora. a) Seja. Sem perda de generalidade, digamos >. Como a função é crescente temos f( ) > f( ) e portanto f( ) f( ), ou seja, injetora. b) Seja. Sem perda de generalidade, digamos <. Como a função é decrescente, temos f( ) < f( ) e portanto f( ) f( ), ou seja, injetora. c) Considere a função injetora. f() + Note que f() é injetora, mas decrescente. d) Eemplo item c). Note que em todos os eemplos as funções são sobrejetoras, basta analisar qual é a injetora. As tabelas, e têm respectivamente (eu, estava) e (ele, estava), (eu, estivesse) e (eu, estivesse), (eu, estaria) e (estaria). Portanto, a tabela é bijetora. f c + c c (c ), ou seja, sobrejetora. II. Incorreta. Pelo item I. III. Correta. Errata. Para a resolução do eercício, considere: f() + f. f() + f f() + f IV. Incorreta. f( ) +, para + Assim, f(). f( ), para e. ) B V 6 ) A I. Correta. Sejam, D com f( ) f( ). f( ) f( ) + + ( + ) ( ) ( ) ( + ) f() é injetora. Seja C D tal que. Para c + c, temos: Matemática A Como as retas paralelas interceptam o gráfico uma única vez, então f() é injetora. Temos ainda Im(f) [, ) R, isto é, sobrejetora. 6

3 ) D ) D ) E Segundo o enunciado, os gráficos das funções f e g são simétricas à reta, ou seja, g() é inversa de f(). f(g()) g(f()). Com isso ecluímos as alternativas a e b. Suponha que alternativa b esteja correta. Então: f(). Segue que, f() (absurdo, pois f() ) Portanto, concluímos que a alternativa b está incorreta. resta como alternativa correta a d. Raízes de f:, e. a função f é dada por: f() ( + ) ( ) ( ) f() Temos ainda, que a inversa de g() é: g () + Pelo teorema de resto (r), temos: r f( ) ( ) ( ) 9( ) + 9 r 9 9 r + 8 r 6 f(n) não possui inversa, pois não é sobrejetora. De fato, n N, tal que f(n). 6) Errata. Correta. f ( 8) + g ( ) h( ). Incorreta. D {,,,,,, }. Correta. w( ) ( )² ( )² 6 (ok!) w( ) ( )² ( )² 9 (ok!) w( ) ( )² ( )² (ok!) w() ( )² ( )² (ok!) w() ( )² (ok!) w() ( )² (ok!) w() ( )² ² (ok!) 8. Incorreta. g( ) g() 9 6. Incorreta. F( ) (h( ))² + f( ) 9² 8 F( ) (h( ))² + f( ) 7² 9 F( ) (h( ))² + f( ) ², não pertencem ao conjunto. 7) C Lei de formação da função f() é dada por: (i) Inversa: (ii) Substituindo (i) em (ii), obtemos: ( ) ) A Substituindo em (i), teremos:. Portanto, o ponto de intersecção é (, ). ² + ² + + ( ) + ( )² + ( )² + ou ou + Como a imagem da função inversa é ], ], temos que a função inversa é: f () + 9) A Para Para < + + se f (), +, se< Matemática A

4 ) C ( + ) ( + ) ) D + f () Para, temos que f() é uma função afim. Como f() é bijetora, então f() possui inversa. Como a imagem de f é o intervalo [, 6], temos que (i) e (ii) não têm solução. Já (iii) possui soluções:, 7, e. Por fim, temos que (iv) terá soluções. Entretanto, não sabemos eatamente quais são elas. Apenas sabemos que essas soluções estão no intervalo [, ]. 6 ) C Inversa da função g(): + + h(). 7 6 ) A h(7) 7 Portanto, f(h( )) f(h(7)) f() f() ² g(f()) g(). + f() ². + g(f()) g() ( f( ) ) g( f( ) ) f( ) g( f( ) ) ( ) ( ) + ) D Da análise do gráfico, note que: (i) f( ) (ii) f( 7) (iii) f() (iv) f() +. Desejamos resolver a equação f( f( ) ). Temos então as seguintes possibilidades: (i) f() (ii) f() 7 (iii) f() (iv) f() ) E 6) A Como f() é bijetora de R em R, então f( + a) é bijetora. Segue que, se somarmos uma constante b em f( + a), teremos: g() f( + a) + b Bijetora A função f é estritamente crescente <, se, e somente se, f() < f(), isto é: f() < f() + < + ( + ) < ( + ) + < + < Portanto, f() é crescente. 7) C f( ) ( )² h(f( )) h(+) () + (f( )) 8. 8). Incorreta. Devemos ter: D { R/ } Matemática A

5 . Correta. ) D + f(f()) (² )² Então, para a, temos: f(f(a)) (a² )² + Para a, teremos: f(f(a)) (² )² ( )² ( )² que é ímpar. Para a, teremos: f(f()) (² )² ( )² ² que é par. os valores de para que f() > são: < ou >.. +. Correta. f( ) Daí, g(f()) g().. 8. Correta. g() + + g () +. ) D ) B as alternativas b e c estão incorretas. f(f(a)) a f(f()) (par) f(f(a)) a f(f()) (par) Concluímos que a alternativa a está incorreta. Portanto, por eclusão, a alternativa correta é a d. + gf + ( ( )) g ( ) 6. Incorreta. f f() 9) C A lei de formação das funções f e g é dada por: g() + f() + 8, se, se < h() f() g() + 6, se +, se< Vamos verificar a igualdade foh() goh(): h() + Então: foh() f(h()) f(). + 8 goh() g(h()) g() + Temos que: f() f(g()) (² )² Portanto, (foh)() (goh)(). Matemática A

6 ) F F V V V Sejam A() + e B(). Assíntota horizontal é dada por: a b. Verdadeira. Segundo o gráfico, para > temos: ) Note que, para >, temos f() >.. Falsa. Pois Im(f) R/{}.. Falsa. Pois não é sobrejetora, isto é, não é bijetora. De fato: Im f (, ) (, ) R CD.. Verdadeira f + ( + )+ ( ) + + ( ) ( + )+ ( ) ( ) f. Verdadeira. Para, temos: + +. ( ) + o gráfico de f intercepta o eio das abcissas no ponto (, ). Temos: f() ² g() log h() f(g()) log log. Correta. h() log log seja log Resolvendo a equação acima, obtemos: ' ou ' Substituindo em log, teremos: log ' Substituindo em log, teremos: log '' Portanto, '. ''. Q.. Correta. h() log log h(). 8. Correta. h log log h. ( ) ( ) h + 6 Matemática A

7 8. Correta. f( ) ( ) ( ) g(8) log 8 g(8) + f( ) Correta. f() 8) E Os custos pelas agências são dados por: Primeira agência (f): 6 +,. Segunda agência (g): 8 +, Em que é o quilômetro rodado; e, o valor pago. (reais) 88 ) B 6) D 7) E,. Vamos mostrar que a alternativa b está incorreta. f() ( ) + + A equação acima não possui raízes reais, isto é, não eiste tal que f(). a alternativa b está incorreta. h() + h( ) ( ) + Como h() h( ), isto é, h() h( ). Portanto, h() é par. De g(), temos b. Temos ainda g() < f() para todo, ou seja, o gráfico está abaio do gráfico da função f(), então f e g possuem o mesmo coeficiente angular, caso contrário, eistiria tal g() > f(). g() +. g() g f 8 6 f g 6 +, 8 +,,, 8 6, 8 8 9,, (km) Segundo o gráfico, concluímos que eiste uma quilometragem inferior a na qual as duas agências cobram o mesmo valor. 9) (C Custos de cada conjunto: Conjunto A: f() + Conjunto B: f() + 6 Em que é a hora e f() e g() são custos totais do conjunto. O tempo máimo de duração da festa para que a contratação do conjunto B não fique mais caro do que a do conjunto A é dado por: f() g() Matemática A 7

8 ) B ) E Custos de cada empresa: Primeira empresa (A): + 6,7 Segunda empresa (B): + em que é o número de cafés servidos; e, o valor pago mensalmente. O menor número de cafés servidos que faz essa proposta ser desvantajosa é a partir de: A B + 6,7 + 6,7,,9, a partir de 6 cafés a proposta se torna desvantajosa. ) C Custos por tradução: Tradutor A: 6 +,78 Tradutor B: 8 +,8 em que é a quantidade de linha traduzida. Quantidade mínima de linhas de um teto a ser traduzido de modo que o custo seja menor se for realizado pelo tradutor B é dado: A > B 6 +,78 > 8 +,8,78,8 > 8 6, > >, > ) C linhas traduzidas pelo tradutor B. A função custa da empresa A é: A 9 + A, + A função custa da empresa B é: B + B, + Para, temos: A,. + B,. + ) B Note que f() para todo (, ]. em particular f() para. f() (k + ) ( + ) + f() k² + k + ² + + f() (k + )² + + (k + ) f() > para todo R quando o discriminante Δ < e a >. De Δ <, temos:. (k + ). (k + ) < 6. (k + 6k + 9) < ( ) (k + 6k + 9) < k 6k 9 < k 6k <. ( ) k + 6k + > Resolvendo a inequação, obtemos: k (, ) (, ) De a >, temos: k + > k > < a > < e a > Portanto, f() > para k > A B para km rodados. 8 Matemática A

9 ) E Vamos analisar o discriminante (Δ) Δ (λ) l. Δ λ l Δ λ(λ ) Segue que, <, o gráfico não intercepta o eio. Daí, no intervalo (, ) o gráfico não intercepta o eio, então para λ > a função só assume valores positivos, em particular, para λ (, ) temos que f() > para todo R. 6)D Do gráfico temos: a < (concavidade para baio) a < (ponto de intercecção entre o gráfico e o eio ) O coeficiente b é o coeficiente angular da curva, logo vão passar pelo eio. Como podemos notar no gráfico, ao passar pelo eio a função é crescente e, portanto, b >. 7) 7. Correta. Pela unicidade, eiste uma única lei de formação que descreve o gráfico. Então, de maneira simplificada deduzimos que a função descreve o gráfico. Para t ² Para +. + Portanto, concluímos que f(t) t² + t + descreve o gráfico.. Incorreta. Pois o valor inicial é insetos. b. Incorreta. v a ( ) a população de insetos cresce do º dia. 8. Incorreta. f() () +. + f() f() 6. Correta. Pois f() 8) C Vamos encontrar a inversa da função g() g () f(g ()) ( ) f(g ()) + 6 Temos que: f(g ()) + (g()) 9)D ( ) < ou. Facilmente encontramos a lei de formação da função que é dada por: f() + Função inversa: + + Matemática A 9

10 ( ) 6 6 f () 6 Temos que: g() + Daí, f (g()) f () ) ) B Inversa de f() f () 8. Incorreta. f() é crescente, pois a >. f () é crescente, pois a >.. Incorreta. Pois f() e f () são inversas entre si.. Incorreta. Pois f() e f () são inversas entre si (eceção dos eios). 8. Correta. Mostrado no início da resolução. 6. Correta. f() f Logo f(). f 6.. ( ) 8 ) E ) A Errata: resposta A f(),, <, se f () +, se < f() ( +,)(,), Temos que: fog(), +, gof() ( ) +,, Daí vem: h() fog(). gof() h() +,,, +, h(,), (, ) +, (, ), +, h(,),, +,,, [ ]+, h(,),,, h(,),, h(,),7., g(f()) (aplicando-se g () em ambos os lados) g [g(f())] g () f() g () + g () g () + 6 Matemática A

11 ) B ) D Segundo o gráfico, temos: g( ) f() Daí, obtemos: f(g()) f() g(f()) g() Novamente pelo gráfico temos: f(g()) f() g(f()) g() f( ) ( ) + b( ) + b + Daí, vem: f(f()) ( b + ) + b( b + ) + ( b + ) + b( b + ) + b b + b + b + b + b b b 6) A 7) C b h() f(g()) Para temos g(). Então, g() Daí, g(g(g())) g(g()) Para, temos g() +. Então, g() + 6 Daí, g(g(g())) g(g()) g() Para, temos g() g() Então, g() g() ) 9) B Portanto, g(g(g())). g() f( ) Representa o deslocamento do gráfico em duas unidades para direita.. Correta. g() + g() +. Correta. g() 6. Correta. g() Daí, f(g()) f() (na função f o intervalo a função é constante) 8. Correta. f() Daí, g(f()) g() Segundo o gráfico concluímos que as funções f e g são dadas por: f() ² (função quadrática) g() +. (função linear) h() fog() ( + ) h() 9² Matemática A

12 6)C A plicando a inversa de f em ambos os lados: f(f()) f [ f(f()) ] f () f() f () f (f()) f (f ()) f (f ()) f (). Verdadeira. f(). f (). Falsa. g. f() () + () + Gráfico da função inversa de f. f () f () 6) C f. f() (função identidade) f. f() f () 6) Portanto, o total de elementos de tais que f(f()) é.. Verdadeira. f() (função linear e portanto, injetora) g() + (função quadrática e, portanto, injetora). Falsa. f() (função linear, portanto, sobrejetora). Verdadeira. De fato, f() g() + (não serve, pois D (f) R + * Matemática A