UFJF ICE Departamento de Matemática Cálculo I Primeira Avaliação Primeiro Semestre Letivo de /04/2014 FILA A Aluno (a): Matrícula: Turma:

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1 UFJF ICE Departamento de Matemática Cálculo I Primeira Avaliação Primeiro Semestre Letivo de 014 6/04/014 FILA A Aluno (a): Matrícula: Turma: Instruções Gerais: 1- A prova pode ser feita a lápis, exceto o quadro de respostas das questões de múltipla escolha, que deve ser preenchido à caneta azul ou preta. - Não é permitido sair da sala durante a aplicação da prova. 3- Não é permitido o uso de calculadora. 4- Permanência mínima de 30 minutos na sala. 5- A prova tem duração de duas horas e meia. 1ª Parte: Questões de Múltipla Escolha Quadro de Respostas das Questões de Múltipla Escolha Valor: 60 pontos Alternativa/Questão A B C D E 1- Sejam f e g funções de R em R definidas por f ( x) 3x e g( x) x a, sendo a uma constante real. O valor de a de modo que se tenha fog gof é: a) 6 b) c) 1 d) 1 e) - Considere a função inversível : R R f definida por x f ( x) e seja f a sua inversa. x Sobre a função f podemos afirmar que: x a) D ( f ) R. x x b) D ( f ) R. x x c) Im( f ) R. x x d) Im( f ) R. x x e) D ( f ) R x 3- Considere as seguintes afirmativas: I) Toda função injetora é crescente. II) Toda função ímpar é injetora. III) A composição de duas funções, sendo uma par e a outra ímpar, é ímpar. Marque a alternativa CORRETA. a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas a afirmativa II é verdadeira. c) Apenas a afirmativa III é verdadeira. d) Exatamente duas afirmativas são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são falsas. Nota da 1ª Avaliação: Nota do Teste 1: Nota 1 SIGA: Rascunho 1

2 4- Sobre o conjunto solução da equação x 3 x 4, podemos afirmar que: a) é vazio. b) possui apenas um elemento. c) possui apenas dois elementos. d) possui apenas três elementos. e) possui apenas quatro elementos. Rascunho 5- Seja a função f : R R definida por f ( x) x 5x 9. Dizemos que a R é ponto fixo da função f quando f ( a) a. É CORRETO afirmar que: a) A função f não possui ponto fixo. b) A função f possui um ponto fixo no intervalo 0,1. c) A função f possui um ponto fixo no intervalo,. d) A função f possui um ponto fixo no intervalo, 3. e) A função f possui um ponto fixo no intervalo 3, Considere as seguintes afirmativas: I) x 9 x 3, para todo x real. x 3 II) x 3 x 3, para todo x real. III) x 1 x, para todo x real. Marque a alternativa CORRETA. a) Apenas a afirmativa II é falsa. b) Apenas a afirmativa III é verdadeira. c) Apenas a afirmativa I é falsa. d) Todas as afirmativas são falsas. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 7- Marque a alternativa INCORRETA. a) cotg 6,1 cotg 4, 9 b) cos 6,1 cos 4, 9 cos sec 6,1 cos sec 4, 9 c) e d) 3 log 6,1 4,9 e 3 log e) 6,1 4,

3 8- A figura abaixo representa parte do gráfico da função inversível f : R R. Rascunho Marque a alternativa INCORRETA. a) O gráfico da função inversa de f intercepta o eixo das abscissas no ponto, 0. b) O gráfico da função inversa de f intercepta o eixo das ordenadas no ponto 0, y, sendo y 0. c) Existe a R tal que f ( a) f ( a). d) A função inversa de f possui uma raiz negativa. e) f 1 (4). 9- Os gráficos das funções f e g estão representados na figura abaixo. Se x gx a f g( x) f h( x), então o valor de h (a) é: a) 1 a b) 1 3a c) 4 / 3 d) e) 5 / 10- O gráfico da função ( x) cos x cos x, para x 0, f, é: 3

4 ª Parte: Questão Discursiva 11- Seja f : R R a função definida por f ( x) x x x x. Valor: 40 pontos a) Determine uma expressão, sem módulo, equivalente à função f (x), para todo x real. b) Esboce o gráfico da função f, explicitando, pelo menos, 5 pontos desse gráfico. 4

5 c) A função f é par, ímpar ou não é par nem ímpar? Justifique sua resposta. d) A função f é injetora? Justifique sua resposta. e) Existe algum elemento do contradomínio da função f que não é imagem de qualquer elemento do domínio de f? Se existe, exemplifique. f) A função f é sobrejetora? Justifique sua resposta. g) Determine um domínio e contradomínio máximos para que a função f seja bijetora. h) Marque no eixo das abscissas (eixo horizontal) do plano cartesiano da letra b os valores de x para os quais f ( x) 8 e descreva, no espaço abaixo, o conjunto solução S dessa desigualdade. 5

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7 TESTE 1 (Valor: 10 pontos) Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). ( ) a) Cada ponto da reta real R pode ser representado por uma dízima periódica. ( ) b) Se z R e x y então xz yz. ( ) c) Para quaisquer x, y R temos x y x y. ( ) d) Para quaisquer x, y R temos x. y x. y. ( ) e) Para quaisquer x, y R tais que x y, então x y. ( ) f) Se a e b são irracionais, então a + b também será. x ( ) g) O domínio da função f ( x) é o intervalo 0,. x ( ) h) A imagem da função f ( x) 4 x, 4. é o intervalo ( ) i) Se as funções f e g, de R em R, são definidas, respectivamente, por f ( x) x e g( x) x, então a função composta fog ( x) 0, se x. ( ) j) A função f : 0,,1 definida por f ( x) senx admite inversa f :,1 0, f ( x) arcsenx. definida por 7