Matemática B Extensivo v. 8

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1 Etensivo v. 8 Eercícios 0) 9 6 = ; e = 3 centro Note que C = (0, 0). Também, c = e a = 3. Então, da equação c = b + a temos = b + 3 b = 4. Assim, a equação dessa hipérbole fica: = = A ecentricidade é e = c a = 3. 0) Vértices: A (0, 3) e A (0, 3); eq: 9 7 = Como o eio real mede 6, temos que a = 6 a = 3 Dos focos, temos c = 4 e também c = (0, 0). Assim, temos: c = a + b 4 = 3 + b b = 7 b = 7. Com isso, a equação da hipérbole fica: 9 7 =. Por outro lado, A = (0, 3) e A = (0, 3) 03) a = 8, b = 6 e c = = 44 = 6 9 a = 4 b = 3 e assim, c = = c = Logo, o eio real mede. a =. 4 = 8 e o eio imaginário mede. b =. 3 = 6. A distância focal mede c =. = 0 04) ( 4) ( + ) = 4 Como o eio real mede 0, temos que a = 0 a =. Como o eio imaginário mede 4, temos que b = 4 b =. Como a hipérbole é paralela ao eio e o centro é c = (4, ), temos: ( 4) ( ) + = ( 4) ( ) + = 4 0) Centro: (, ) Vértices: A (, 0) e A (, ) Focos: F (, + ). F (, ) + = 0 + ( + ) = 0 ( + ) (( + ) ) = 0 ( + ) ( + ) = a = b = c = a + b = + c = C = (, ) A = (, ) A = (, ) A = (, + ) A = (, 0) F = (, ) F = (, + ) 06) a) ( ) ( 0) = 39 b) ( 8) ( ) = 49 7 a) Note no gráfico que o eio real é paralelo ao eio e o centro é C = (, 0). a = 7 = c = 4 = 8 c = a + b 64 = + b b = 39 ( Assim a equação fica: ) ( 0) = 39 b) Note no gráfico que o eio real é paralelo ao eio e o centro é C = (, 8). a = 8 = 7 c = 8 7 = c = b + a = b + 49 b = 7 b = 7 Assim, a equação da hipérbole fica: ( 8) ( ) = 49 7

2 07) = 3 3 Como a hipérbole é equilátera, temos que a = b. Pelos focos, temos que c = 8 e, com isso, tem-se que: c = a + b a + a = a c = a 8 = a a = 3 a = 3 Portanto, b = 3. Ainda pelos focos, tiramos que o eio real é paralelo ao eio e o centro é C = (0, 0). Logo, a equação da hipérbole é: = ) = 6 6 Temos que a = b, pois a hipérbole é equilátera. Como o eio real tem medida igual a 8, temos que a = 8 a = 4. Logo, b = 4. Como os focos estão no eio das ordenadas, temos que o eio real é paralelo ao eio. Assim, a equação da hipérbole fica: = (pois C = (0, 0)) ) a) = 3 4 e = 3 4 b) = 8 7 e = 8 7 c) = e = a) = C = (0, 0) 6 9 a = 4 b = 3 c = a + b = c = r: ( 0) = 3 4 ( 0) r: = 3 4. s: ( 0) = 3 4 ( 0) s: = 3 4. b) = C = (0, 0) a = 7 b = 8 r: = 8 7 s: = ) e = Pelas equações das assíntonas temos que: a =. k, com k R, k 0 b = 3. k, com k R, k 0 Assim, temos: c = a + b c = (k) + ( 3. k) c = k + 3k = 4k c = k. Logo, e = c a = k k =. ) ( ) ( ) = 44 Como a = 0, a =. Como c = 6, a = 3. Assim, como c = a + b, 3 = + b b = Por fim, como o eio real é paralelo ao giro e seu centro é (, ), temos que a equação da hipérbole é: ( ) ( ) = 44 ) e = = = 0 9( 4) ( 8) + = 0 9[( ) 4] [( + 4) 6] + = 0 9( )² 36 ( + 4)² = 0 9( ) ( + 4) = 9 ( ) ( + 4) = 9 a = b = 3 c = a + b c = + 9 c = 0 Logo, a distância focal é. c =. 0. c) 4 8 = 8 = a = b = r: = r: =. s: = s: =.

3 3) Focos: F 8 3, e F 3, ; Vértices: 7 3, e 3, = = 0 9( + ) 6( 4) 7 = 0 9[( + ) ] 6[( ) 4] 7 = 0 9( + ) 9 6( ) = 0 9( + ) 6( ) = 6 ( + ) ( ) = 6 9 b = 4 a = 3 c = a + b c = c = 9 c = 3 Assim: F = (, 3, ) F = 8 3, F = (, + 3, ) F = 3, A = ( 4 3, ) A = 7 3, A = ( + 4 3, ) A = 3, 4) = 0 Da equação + 9 = temos: + = 9 a =, b = 3 e, com isso, da equação a = b + c, c = 4. Logo, o foco de coordenadas positivas dessa elipse é (0, 4). Da equação 9 6 = 44 temos =. 6 9 a = 4, b = 3 e, com isso, da equação c = a + b, c =. E uma equação da reta que passa pelo ponto (, 3) e é perpendicular à reta = 4 ( ) é: ( 3) = ( ) 4 = = 0 ) 6 u.c. O valor do eio real é a. Como o ponto P = (4, ) pertence à hipérbole, temos, pela definição, que d P, F d P, F = a, ou seja, ( 43) + ( ) ( 43) + ( 7) = a + + = a a = 6 = 6 6) a) + 9 = ; b) ( 4) + = = 44 = 6 9 a = 4, b = 3 e c = (por Pitágoras) a) Os focos da hipérbole são (0, ) e (0, ). Então, o eio maior da elipse é o segmento do ponto (0, ) até o ponto (9, ) e, com isso, a =. da elipse Por outro lado, temos que: e Elipse = e ou seja, H e E = ah = = = 4 e c H H ch a H Mas, e E = c = c E ae c E = 4 C = 4 E E (na elipse): b = a c = 4 = 9 b = 3 a equação da elipse fica: + 9 = b) O vértice de coordenadas positivas no eio real da hipérbole é o ponto (4, 0). O eio menor da elipse encontrada mede. b =. 3 = 6 e assim a equação da circunferência fica: ( 4) + ( 0) = 6 ( 4) + = 36 Assim, o foco de coordenadas positivas dessa hipérbole é (, 0). Com isso, a equação da reta que passa por esses focos é: ( 0) = ( ) = 4 ( ) 3

4 7) E + r = 0 e = 0 a) Falso. Não haverá ponto de intersecção. b) Falso. Terão dois pontos. c) Falso. Serão os pontos (, 0) e (, 0). d) Falso. Serão 4 pontos. e) Verdedeiro. 8) = = 0 9( 6) 6( 4) 3 = 0 9[( 8) 64] 6[( 7) 49] 3 = 0 9( 8) 76 6( 7) = 0 9( 8) 6( 7) = 44 ( 8) ( 7) = 6 9 a = 4 b = 3 0) = 3 + Da elipse + 36 = 900, temos: + = a = 6 e b = 36 Os etremos do eio maior dessa elipse são A = ( 6, 0) e A = (6, 0). Logo, a parábola de equação a + b + c = 0 tem raízes iguais a 6 e 6 e passa pelo ponto (0, ). Então, podemos afirmar que a concavidade dessa parábola é para baio (a < 0) e, como o vértice dela é (0, ), temos que c =. Então, temos que: a + b + c = ( 6)( + 6) a + b + c = ( 36) a + b + c = + 36 ( * ) Note que para que c seja igual a em ( ) temos de * dividir toda a sentença da direita por 3, ficando assim com: a + b + c = 3 +, ou seja, a = 3 b = 0 c = e a equação da parábola é: 3 + = c = a + b = = c = e assim a distância focal é. c =. = 0. 9) C C (, ) T 0) A circunferência, com centro no º quadrante e tangente ao eio, tem C(, ), com < 0 e > 0 e raio r = CT =. 0) A corda determinada por essa circunferência, com o eio, é tal que AB = 4 e AM = (pois M é o ponto médio de AB). 03) Considerando o triângulo retângulo AMC, com AM =, CM = e AC =, resulta: AC = AM + CM = + = 4. Dessa forma, o lugar geométrico dos centros das circunferências, nas condições acima, resulta pontos da hipérbole de equação = 4, com < 0 e > 0. B M A 0 4

5 ) = e =. ) D A equação da reta que passa por (0, ) e é tangente a = é da forma: + = m( 0) = m em que m é o coeficiente angular. Temos então que o sistema a seguir nos dá a intersecção da reta com a parábola: = m = m m + = 0 = Quando esse sistema tem solução única, a reta é tangente a curva: (ter solução única significa que Δ = 0). Δ = b 4ac = ( m) 4.. = 0 m 4 = 0 m = ±. Logo, as retas são: = e = + 7 9= 0 = + () ( ) Substituindo () em (), temos: = = 0 = ou = 7 Se =, então = + = ± Se = 7, então = 9 = ±3 Logo, a partir das intersecções, temos o quadrilátero de vértices (, ), (, ), (7, 3) e (7, 3). As diagonais formam duas retas: r: ( ) = ( + ) ( ) = ( + ) r: ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) E essas retas tem como intersecção o ponto: = ( + ) + = ( + ) + / = / = 0 = 0 = ou seja, o ponto (, 0). Portanto, a reta que passa por (, 0) e é paralela à reta + 3 = 0 é a reta: 0 = ( ) = 0 3)B A reta r, tangente à circunferência ² + ² = no ponto,, é também perpendicular à reta =. Assim, sua equação é: ( ) = m r ( ) = ( ) ( ) = + + = 0 A intersecções da reta r com a parábola são soluções do sistema: = + ² + = + ² + + ( ) = 0, = + em que o discriminante D é positivo. Daí que e são reais e tais que + =, pela relação de Girard + = c a. 4) (, 3) e (3, ) ) B + = 0 = + = + = + Fazendo () = () temos: + = + 3 = 0 = 3 ou = Assim: Se = 3, então = Se =, então = 3 () ( ) Logo, os pontos são (, 3) e (3, ). As equações das retas procuradas são do tipo: ( ) = m( 0) = m + Como elas são tangentes à parábola = 3 + 4, temos de ter solução única no sistema a seguir (ou seja, Δ = 0): = m + () = ( ) () = () = m + 3 m + 3 = 0 que tem solução única quando seu

6 6) A 7) A 8) B discrimitante é igual a zero, ou seja, m = 0 m = 36 m = ±6. Logo, as equações são: = 6 + e = 6 +. =.( 0) = ( 0) 4p = p = 4 V = ( 0, 0 ) = (0, 0). Foco = ( 0, 0 + p) = (0, 4 ). Reta diretriz: = 0 + ( p) = 4 Note que o vértice dessa parábola é o ponto: b b b + = n n a a a n,., n n. + = ( n, n + n + ) = ( n, n + ) = (, + ) que descreve uma parábola. Note que o ponto (, 4) pertence à parábola, logo: 4 = a. a = 4 6 = = 0,6 00 (4, ) = a. = a 9) m = 4 inclinação A reta procurada tem equação do tipo 4 = m( ), pois passa por (, 4). Temos então o seguinte sistema: = m m+ 4 = m + m 4 = 0 Para a reta ser tangente, essa equação deve ter solução única, ou seja, Δ = 0: m 4(m 4) = 0 m 8m +6 = 0 (m 4) = 0 m = 4 30) C E assim o coeficiente angular ou inclinação da reta deve ser igual a 4. m = 4 = + = () ( ) Substituindo () em () temos: + = + = 0 = + ou = Mas se =, não eiste R tal que = (por (n)). Logo, temos que = e assim = = ±. Ou seja, os pontos A e B são (, ) e (, ) e ponto médio entre A e B é o ponto (0, ). 3) a) = ; b) 6 = a) F = (3, 0) P = 3 4p = Diretriz = 3 V = (0, 0) E assim: ( 0) = ( 0) = a) Foco = (0, 4) Diretriz: = 4 P = 4 4p = 6 V = (0, 0) E assim, 3) = 7 9 6( 0) = ( 0) = 6 Como o vértice é (0, 0), a parábola é da forma: = a (pois o eio de simetria é o eio ). Como o ponto ( 3, 7) está na parábola, temos que 7 = a. ( 3) a = 7 9 e assim a equação da parábola é: = ) a) foco: (, 0); b) diretriz: = = 0 4p = 0 p = 6 a) F = ( 0 + p, 0 ) = (, 0) (Note que V = (0, 0) = ( 0, 0 )).

7 b) diretriz é = 0 p = 0 ( ) = 34) vértice: (, 4), foco: (, 3), diretriz: = = 0 ( + ) + 4 = 0 ( + ) = ( + ) = 4( 4) 3) A 4p = 4 V = (, 4) p = Logo, F = (, 3) e a diretriz é =. I. Elipse, basta se lembrar da definição: + =. a b II. Uma reta, note que é da forma a + b + c = 0. III. Parábola, note que = = IV. Hipérbole, lembre-se da definição: a =. b V. Circunferência, note que = + = 9. 36) = = = a = 4 b = 3 c = Os focos são (, 0) e (, 0), assim, a parábola procurada tem raízes ' = e " =. Como é um trinômio do º grau, podemos escrevê-la da seguinte maneira: = a( ')( "), ou seja, = a. ( )( + ). Mas (0, 0) pertence a essa parábola, então: 0 = a. (0 )(0 + ) 0 = a. ( ) a = 0 a =. Portanto, a equação da parábola é: = ( )( + ) = ( ) = + 0 7