Assunto: Estudo do ponto

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1 Assunto: Estudo do ponto 1) Sabendo que P(m+1;-3m-4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores de m. resp: -4/3<m<-1/ ) Se a < 0 e b > 0, então o ponto ( a, b) está localizado em qual quadrante? resp: 1º quadrante 3) No plano cartesiano, considere (a; b) e (b + 1; b + 3) dois pares ordenados iguais. Calcule os valores de a e b. resp: a = e b = 3 4) A figura a seguir representa uma bússola. Considere um objeto em movimento no plano. A posição do objeto pode ser informada a partir de um sistema de eixos cartesianos associado à bússola. Identifica-se o eixo Sul(S) Norte(N) com o eixo OY e o eixo Oeste(O) Leste(L) com o eixo OX, e utiliza-se km como unidade de medida. Se o objeto se desloca, a partir da origem do sistema, 100 km na direção noroeste (NO), sua posição final pode ser identificada, no plano cartesiano, por um par ordenado. Determine as coordenadas desse par. Use = 1,4. Resp: ( 70,70) 5) Calcule a distância entre os pontos: a) A(-;-5) e B(0;0) resp: 9 u b) M(0;-) e N( 5 ;-) resp: 5 u c) P(0;-) e Q(-3;3) resp: 34 u d) C(-4;0) e D(0;3) resp: 5u 6) A distância do ponto A(a;1) ao ponto B(0;) é igual a 3. Calcule o valor de a resp: ± 7) Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é eqüidistante dos pontos A(-1;) e B(1;4). Quais são as coordenadas do ponto P. resp: P( 3;0) 8) (UFU-MG) São dados os pontos A(; y), B(6;1) e C(3;-1). Qual deve ser o valor de y para que o triângulo ABC seja retângulo em B. resp: 7 9) Considerando os vértices A(-1;-3), B(6;1) e C(;-5), verifique se o triângulo ABC é retângulo. resp: sim 10) Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(-;). Sabendo que M(3;-) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B que é a outra extremidade. resp: B(8;-6) 11) Os pontos A(5;8), B(;) e C(8;) são vértices de um triângulo ABC. Calcule o comprimento da mediana relativa ao vértice A. resp: 6u blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1

2 1) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC, sabendo que as coordenadas dos pontos médios dos lados do triângulo são M(-1;-), N(-;3) e P(1;-1). resp: (0;4), (;-6) e (-4;) 13) Determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento de extremos A(-3;) e B(9;5) em 3 partes iguais. resp: (1;3) e (5;4) 14) O Triângulo ABC tem vértices A(;), B(5;) e C(;5). Determine as coordenadas do seu baricentro. Resp: G(3;3) 15) No triângulo ABC, B(;4) é um dos vértices, G(3;3) o seu baricentro e M(3;4) o ponto médio do lado BC. Calcule as coordenadas dos vértices A e C. Resp: A(3;1) e C(4;4) 16) O triângulo ABC tem vértices A(4;1), B(5;4) e C(3;4). Considerando o triângulo MNP em que M, N e P são pontos médios dos lados do triângulo ABC, determine o baricentro do triângulo MNP. Resp: G(4;3) 17) (MACK-SP) No triângulo ABC, A(1;1) é um dos vértices, N(5;4) é o ponto médio do lado BC e M(4;) é o ponto médio do lado AB.Calcule: a) as coordenadas do vértice B; Resp: B(7;3) b) as coordenadas do vértice C; Resp: C(3;5) 11 c) as coordenadas do baricentro G. Resp: G( ;3) 3 18) Verifique se estão alinhados os pontos: a) A(1;), B(3;4) e C(4;6) Resp: não b) P(;-1), Q(-1;) e R(0;1) Resp: sim 19) (PUC-SP) Os pontos A(3;5), B(1;-1) e C(x;-16) pertencem a uma mesma reta. Nestas condições determine x. Resp: -4 0) (MACK-SP) Dados os pontos A(1;4), B(5;) e C(7;4), sabemos que: - M é o ponto médio do lado AB; - O ponto N divide o lado AC na razão ; - M, N e P são pontos alinhados, sendo P um ponto do eixo Ox. Determine as coordenadas do ponto P. Resp: P(-3;0) 1) Determine as coordenadas do ponto C que pertence ao eixo Oy e é colinear com os pontos A(3;) e B(5;4). Resp: C(0;-1) ) Num sistema de coordenadas cartesianas a cidade de Taubaté tem coordenadas (-1;), a de Pariquera-Acú (; 1 ) e a de Porto Alegre (3;-3). Um avião que levanta vôo e segue uma trajetória retilínea entre as cidades de Taubaté e Pariquera-Açú e mantendo essa trajetória Alegre.Justifique a resposta Resp: Não,pois os pontos que representam as cidades não estão alinhados passará por Porto 3) Suponha que o preço p( em dólares ) de um computador diminua linearmente com o passar do tempo t ( em anos ), de a acordo com o seguinte gráfico: blog.portalpositivo.com.br/capitcar

3 Determine o tempo necessário para esse computador não ter valor nenhum. resp: 5 anos 4) Calcule a área do quadrilátero de vértices nos pontos A(;0), B(3;1), C(1;4) e D(0;). Resp: 5,5 u.a 5) Sabendo que a área do triângulo de vértices nos pontos nos pontos A(5;3), B(4;) e C(;k) é igual a 8 unidades de área, calcule o valor de k. Resp: k = -16 ou k =16 6) Calcule o volume do prisma reto de altura h = cm, cuja base é o quadrilátero de vértices A(-1; -), B(-; 3), C(0; 6) e D(5; ).: resp: 57 cm 3 7) Na figura a seguir são mostrados, no gramado do Campus da UFES, três pontos e suas respectivas coordenadas dadas em metros. A figura foi obtida com o aparelho GPS, mediante uma escolha adequada de eixos coordenados. Calcule a área da região triangular ABC da figura, em m. resp: 134,5 Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática Prof. Carlinhos blog.portalpositivo.com.br/capitcar 3

4 Assunto: Estudo da reta 1) A reta r passa pelo ponto P(4;1) e tem inclinação igual a 45º. Determine: a) A sua equação reduzida; Resp: y = x-3 b) A sua equação geral; Resp: x-y-3=0 c) Os coeficientes angular e linear da reta. Resp: m r =1 e m s = -3 ) Verifique se os pontos A(1;), B(0;4) e C(3;-1) pertencem à reta r: 3x+y-8=0. Resp: A r, C r e B r 3) Sabendo que o ponto M(a;a +3) pertence à reta r: x+y-5=0, determine a. Resp: - e 1 Os pontos A(1;1), B(5;), C(6;5) e D(;4) são vértices de um paralelogramo, determine as equações das retas suportes das diagonais. Resp: AC: 4x-5y+1=0 e BD: x+3y-16=0 4) Determine a equação geral, a equação reduzida e os coeficientes angular e linear da reta que passa pelos pontos A(-1;-) e B(5;) resp: x-3y - 4 = 0, y = /3x - 4/3, m = /3 e n = -4/3 5) Quando o preço por unidade de um produto (x) vale R$ 16,00, então 4 unidades são vendidas por mês; quando o preço por unidade vale R$ 4,00, são vendidas 38 unidades por mês. Admita que o gráfico da quantidade vendida (y) em função de x seja formado por pontos de uma reta. Determine: a) a expressão de y em função de x. resp: y = (-x/) + 50 b) quantas unidades serão vendidas, se o preço por unidade for R$ 6,00. resp: 37 6) Determine a posição relativa entre as retas abaixo: r : 4x y + 1 = 0 r : 3x y + 3 = 0 a) resp: paralelas b) resp: concorrentes s : 8x 4y + 6 = 0 s : 6x + 4y 10 = 0 6x + y 5 = 0 5x y + 1 = 0 c) resp: coincidentes d) resp: perpendiculares 1 x + 4y 10 = 0 4x + 10y 3 = 0 7) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto P(3;5) e é paralela reta s de equação 6xy+1=0. resp: 6x-y-13=0 8) Determine k de modo que as retas r e s de equações x+5y-3=0 e kx-3y+1=0, respectivamente, sejam paralelas. resp: k=-6/5 9) Determine m de modo que as retas t e v de equações (m-3)x+4y-3=0 e 6x-y+=0 sejam concorrentes. resp: m -1 10) Determine o ponto de intersecção das retas r e s de equações x+5y-3=0 e x-y+=0. resp: (-1;1) 11) Quais são os vértices do triângulo cujas as retas suportes dos lados têm equações x+y- 3=0, x-3y+7=0 e y+1=0. resp: (-5;-1), (4;-1) e (/5;13/5) 1) Determine a equação geral da reta r que passa pelo ponto P(4;) e pela intersecção das retas t e v de equações x+3y-5=0 e 3x+y-4=0, respectivamente. resp: x-3y-=0. blog.portalpositivo.com.br/capitcar 4

5 13) Numa "caça ao tesouro" promovida por uma escola, a equipe azul recebeu a seguinte instrução: "A próxima pista se encontra numa das cartas numeradas fixadas no edital da cantina. A referida carta tem o número correspondente à distância entre os pontos A e B da figura a seguir". O número contido na carta era: resp: 10 Atenção: Coordenadas do ponto B(1,5) 14) Em um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, com unidades nos eixos medidas em centímetro e com origem no ponto Q(0, 0), as retas 3x + y - 18 = 0 e x - y + 8 = 0 interceptam os eixo-x e eixo-y respectivamente nos pontos R e S. Se estas retas se interceptam no ponto P, Calcule a área do quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos P, R, Q e S. resp: 44 15) Determine a equação da reta t que passa pelo ponto P(3;4) e é perpendicular á reta s de equação 5x+4y-=0. resp: 4x-5y+8=0 16) Determine a equação da reta mediatriz do segmento de extremos nos pontos A(-:) e B(4;-4). resp: x-y+=0 17) Os pontos A(1;1), B(5;), C(6;5) e D(;4) são os vértices de um paralelogramo. Determine o ponto de intersecção das diagonais. resp: (7/;3) 18) Determine a equação da reta r que passa pela origem e pela intersecção das retas x+y-6=0 e x-3y+11=0. resp: 4x-y = 0. 19) Determine o ângulo formado pelas retas r e s de equações x + y -5 = 0 e 6x y + 1 =0, respectivamente. Resp: 45 0) Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto P(;3) e que forma um ângulo de 45º com a reta s de equação 3x - y + 1 = 0. resp: x - 5y + 13 = 0 ou 5x + y + 13 = 0 1) determine a distância entre o ponto A(;1) e a reta r, de equação x + y - 4 = 0. resp: 5 u ) Determine a distância entre as retas paralelas r e s, de equações x + 3y - 6 = 0 e x + 3y - 10 = 0. resp: 4 13 u 13 3) Determine a altura de um trapézio cujos vértices são os pontos A(1;1), B(1;3), C(7;5) e D(;4). resp: 7 6 u 13 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 5

6 4) Num terreno retangular de 80 m por 60 m, um ponto P localiza-se a 10 m de um dos lados e a 0 m do outro, conforme a figura ao lado. Determine a distância de P à diagonal (d) desse terreno. resp: 8m 5) A praça de uma cidade está representada na figura a seguir. As duas circunferências têm raios iguais e centros nos pontos M(, 0) e N(8, 8), respectivamente. Os pontos A, B, C e D são pontos de tangência e a equação da reta AB é 4x 3y + = 0. O comprimento da praça, em unidades de comprimento, é: Use π = 3,1 resp: 3,4 Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Assunto: Fundamental Circunferência - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática Prof. Carlinhos blog.portalpositivo.com.br/capitcar 6

7 Assuntos: Circunferência 1) Determine a equação geral da circunferência de raio 4 e centro no ponto C(3;5). Resp: x + y 6x 10y + 18 = 0 ) Determine a equação geral da circunferência que passa pelo ponto P(-;4) e tem centro no ponto 0(6;-). Resp: x + y 1x + 4y 60 = 0 3) Determine a equação reduzida da circunferência que tem um diâmetro com extremidades em A(-; 6) e B(8;4). Resp: ( x 3) + ( y 5) = 6 4) Determine o centro e o raio das circunferências de equações: a) ( x 9) + ( y + 3) = 7 Resp: C(9;-3) e r = 7 b) x + y x + y 1 = 0 Resp: C( ½;-1) e r = 3/ c) 4x + 4y 8x + 16y 16 = 0 Resp: C(1;-) e r = 3 5) Uma das bases de um cilindro reto é limitada por uma circunferência de equação x + y - x + 4y - 0 = 0. Determine a área lateral desse cilindro, sabendo que a distância entre as bases é 15 cm (considere para unidade de medida do gráfico o centímetro e π=3,14). resp: 1 177,5 cm 6) Um quadrado inscrito na circunferência de equação x + y - 4x + 6y - 1 = 0 tem x unidades de área. Calcule a área desse quadrado. resp: 50 u. a 7) Os laboratórios de Física Nuclear utilizam o cíclotron no qual as partículas são aceleradas em trajetórias circulares. Supondo que uma partícula descreva uma trajetória circular ao longo de uma circunferência de equação x + y 6x + 8y = 0, então essa partícula percorrendo uma volta sobre essa circunferência terá percorrido, nessa trajetória, uma distância, em unidades de comprimento (u.c.) igual a. resp: 10π u.c 8) Determine para quais valores de a a equação abaixo é uma circunferência: a) x + y 6x + 8y a = 0 Resp: a > -5 b) ax + 3y + 9x 6y + 1 = 0 Resp: não existe a 9) Dada a circunferência de equação x + y 6x 4y + 9 = 0, determine a posição relativa dos pontos: a) A(1;) resp: A pertence à circunferência b) B(3;3) resp: interior c) C(6;3) resp: exterior 10) Determina o valor de a de modo que o ponto P(a;1) pertença à circunferência de equação x + y + 3y 4 = 0. resp: a = 0 11) Dada a circunferência de equação x + y +4x 6y + 8 = 0, determine a posição relativa das retas: a) x y + 9 = 0 b) x + y 9 = 0 c) x + y 1 = 0 d) x y + 1 = 0 resp: a) secante b) tangente c) secante d) exterior 1) Determine os pontos de intersecção da circunferência de equação x + y x y 8 = 0 com as retas de equação: a) 3x y +4 = 0 resp: (0 ; 4) e (-8/5 ; -4/5) b) x 3y + = 0 resp: (4 ; ) e (- ; 0 ) blog.portalpositivo.com.br/capitcar 7

8 13) Determine as posições relativas entre as circunferências de equações: a) x + y 8x 8y + 1 = 0 e x + y 4x + 8y + 16 = 0 resp: exteriores b) x + y = 4 e x + y 6x -1y + 0 = 0 resp: secantes c) x + y = 8 e x + y 8x - 8y + 4 = 0 resp: tangente exteriormente d) x + y 8x 8y + 1 = 0 e x + y 4x - 6y + 1 = 0 resp: interiores 14) Na feira de artesanato em Maceió ou no mercado municipal em Aracaju, são colocadas à venda peças interessantes confeccionadas pelos artistas ou artesãos regionais. Dentre elas, destaca-se uma mandala composta de duas circunferências, tais que a circunferência L 1 tem centro no ponto (-, 3) e é tangente exteriormente à circunferência L de equação x + y - 1x - 6y - 4 = 0. Com base nas informações, determine o raio de L 1. resp: 1 15) Determine os pontos de intersecção das circunferências de equações: a) x + y = 4 e x + y 8x + 8y + 1 = 0 resp: (0;-) e (; 0) b) x + y + 8x - 4 = 0 e x + y 8x - 8y + 1 = 0 resp: (0;) Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática Prof. Carlinhos blog.portalpositivo.com.br/capitcar 8

9 Assunto: Elipse 1) Determinar a equação reduzida da elipse de centro na origem, cujo o eixo maior mede 10 unidades e está sobre o eixo x, e o eixo menor 6 unidades. Resp: x + y = ) Determinar a equação reduzida da elipse de centro na origem, cujo o eixo maior mede 14 unidades e está sobre o eixo y, e o eixo menor 4 unidades. Resp: x + y = ) Escrever a equação da elipse de focos F 1 (-4 ; 0) e F (4 ; 0) e cujo o comprimento do eixo maior é 10 unidades. 4) Uma elipse tem por equação 9x + 16y = 144. Determine: a) As coordenadas dos focos. Resp: F 1 (- 7 ; 0) e F ( 7 ; 0) b) O comprimento de cada eixo. Resp: Eixo maior = 8 u Eixo menor = 6 u c) A sua excentricidade> Resp: e = 7 u 4 5) Uma elipse passa pelo ponto L(0; - 3). Sabendo-se que seus focos são os pontos F 1 (0; - 5 ) e F (0; 5 ). Determine a sua equação reduzida. Resp: x + y = ( x 4) ( y + 3) 6) Dada a elipse de equação + = 1, determine : 5 16 a) As coordenadas do centro. Resp: O(4, -3) b) As coordenadas dos focos. Resp: F 1 (7, -3) e F (1, -3) c) Os comprimentos dos eixos. Resp: eixo maior = 10 e eixo menor = 8 7) Determine a equação da elipse de eixo maior na vertical igual 16u, eixo menor igual e centro no ponto O(, -7). ( x ) ( y + 7) Resp: + = ) O quadro abaixo mostra a excentricidade da órbita elíptica de 5 planetas de um sistema estelar. Qual planeta tem a órbita mais achatada e qual a relação entre o quadrado da medida do semieixo menor e o quadrado da medida do semieixo maior da órbita desse planeta? resp: P 1 e 0,16405 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 9

10 9) (Cesgranrio-RJ) Para delimitar um gramado, um jardineiro traçou uma elipse inscrita num terreno retangular de 0m por 16m. Para isso, usou um fio esticado preso por suas extremidades M e N, como mostra a figura. Qual a distância entre os pontos M e N? resp: 1m 10) (UFRJ) Um satélite é colocado em órbita elíptica em torno da Terra( suposta esférica), tendo seus polos como focos. Em um certo sistema de medidas, o raio da Terra mede três unidades. Ao passar pelo plano do Equador, o satélite está, no mesmo sistema de medidas, a uma unidade acima da superfície terrestre. Determine a que altura h o satélite estará quando passar diretamente sobre o polo norte. Resp: unidades Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática Prof. Carlinhos blog.portalpositivo.com.br/capitcar 10

11 Assunto: Hipérbole 1) Determinar a equação reduzida da hipérbole cujo o eixo imaginário mede 4 unidades e seus focos são os pontos F 1 (0;-6) e F (0;6). Resp: y x = ) A equação de uma hipérbole é 9x 5y = 5. Determinar: a) As coordenadas dos focos. Resp: F 1 (- 34 ; 0) e F ( 34 ; 0) b) O comprimento de cada eixo. Resp: Eixo real = 10 u Eixo imaginário = 6 u 34 c) A sua excentricidade. Resp: e = u 5 3) Determine as equações das hipérboles cujos gráficos são: a) b) Resp: a) y x = b) x y = ) Achar a equação da hipérbole de centro (4; - ), cujo o eixo real é paralelo ao eixo x e mede 10 ( x 4) ( y + ) u, e a distancia focal igual a 9 u. Resp: = ) Seja a hipérbole de equação 4y x = 16. Determine a equação da circunferência cujo o centro coincide com o centro da hipérbole e que passa pelos pontos focos da hipérbole. Resp: x + y = 0 Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática Prof. Carlinhos blog.portalpositivo.com.br/capitcar 11

12 Assunto: Parábola 1) Determine as coordenadas do vértice, do foco e equação da reta diretriz da parábola de equação: a) x =4y resp: V(0;0), F(0;1) e d: y = -1 b) y =4x resp: V(0;0), F(1;0) e d: x = -1 c) x =-4y resp: V(0;0), F(0;-1) e d: y = 1 d) y =-4x resp: V(0;0), F(-1;0) e d: x = 1 e) (x-1) = 8(y-1) resp: V(1;1), F(1;3) e d: y = -1 f) (y-) = 16(x-3) resp: V(3;), F(7;) e d: x = -1 g) (x-) = -8(y+1) resp: V(;-1), F(;-3) e d: y = 1 h) y 10y + x + 7 = 0 resp: V(-1; 5), F(-3/;5) e d: x = -1/ i) x 6x y + 5 = 0 resp: V(3;-4), F(3;-15/4) e d: y = -17/4 ) Determine as equações reduzidas das parábolas dados os vértices e os focos: a) V(;1) e F(4;1) resp: (y-1) = 8(x-) b) V(1;-1) e F(1;3) resp: (x-1) = 16(y+1) c) V(1;0) e F(1;-) resp: (x-1) = -8y d) V(-1;-4) e F(-1;0) resp: resp: (x+1) = 16(y+4) 3) Determine as equações reduzidas das parábolas dados as diretrizes e os focos: a) d: x = - e F(0;) resp: (y-) = 4(x+1) b) d: y = - e F(;0) resp: (x-) = 4(y+1) c) d: y = 1 e F(;-3) resp: (x-) = -8(y+1) d) d: x = 1 e F(-3;) resp: (y-) = -8(x+1) 4) Determine a equação da parábola representada abaixo: resp: a) y =1x b) x = 8y c) x = -1y blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1

13 5) Determine a equação da parábola representada abaixo: resp: a) (x-7) = 8(y-5) b) (x-) = -1(y-3) c) (y-4) = 4(x-4) 6) A secção transversal de um túnel tem a forma de um arco de parábola, com 10m de largura na base e altura máxima de 6m, que ocorre acima do ponto médio da base. De cada lado, é reservado 1,5m para passagem de pedestres; e o restante é dividido em duas pistas para veículos. As autoridades só permitem que um veículo passe por esse túnel caso tenha uma altura de, no máximo, 30cm a menos que a altura mínima do túnel sobre as pistas para veículos. Calcule a altura máxima que um veículo pode ter para que sua passagem seja permitida. resp:,76m Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática Prof. Carlinhos blog.portalpositivo.com.br/capitcar 13