BC Geometria Analítica. Lista 4

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1 BC Geometria Analítica Lista 4 Nos exercícios abaixo, deve-se entender que está fixado um sistema de coordenadas cartesianas (O, E) cuja base E = ( i, j, k) é ortonormal (e positiva, caso V esteja orientado). 1. (a) Escreva uma equação da reta paralela à reta e que corta o eixo Ox no ponto de abscissa. x = 2 + λ y = 1 + λ z = λ (b) Determine a intersecção da reta encontrada com o plano Oyz. 2. Sejam A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1), C = (, 2, 1) e D = (0, 0, 1). (a) Determine um ponto X na reta AB tal que a área do triângulo CDX seja 2. Quantos pontos X existem nessas condições? (b) Qual a distância de X à reta CD? (c) Represente num desenho plausível os pontos A, B, C, D e X.. São dadas as retas r, s e t, onde r : x 7 4 = y = z 2, s : x = 4m y = 2m z = 1 m e t passa por A = (1, 1, 0) e B = (7, 6, 7). (a) Escreva equações paramétricas da reta r e, também, da reta t. (b) Estude a posição relativa das retas r e s. (c) Estude a posição relativa das retas r e t. 4. São dadas as retas r, s e t, onde r : x 4 = y 2 = z + 2, s : e t passa por A = ( 1, 2, 4) e B = (11, 4, 5). x = 1 + 6m y = 1 5m z = 7m 1

2 (a) Escreva equações paramétricas da reta r e, também, da reta t. (b) Estude a posição relativa das retas r e s. (c) Estude a posição relativa das retas r e t. 5. Sejam A = (2,, 1), B = (4, 1, 5) e C = (0,, 1). (a) Escreva equações das três medianas do triângulo ABC. (b) Ache a intersecção de duas delas. (c) Mostre que a terceira mediana passa pela intersecção das outras duas. 6. Sejam A = (1,, 1), B = ( 2, 0, 1) e C = (4, 2, ). Qual o comprimento da altura do triângulo ABC relativa ao vértice A? 7. Escreva equações paramétricas da reta que passa por ( 2, 0, 1), cujos vetores diretores são ortogonais a (1, 2, 1) e que seja concorrente com x 2 = y = z 8. Ache equações sob a forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas r e s dadas por x = 2 + λ r : y = λ z = 1 + λ 9. (a) Determine m de modo que as retas e s : { x + y = 2 z = 0 x = 4 + 2α r : y = 2 + mα z = 4 + α x = β e s : y = 4 + β z = 2 + β sejam concorrentes. (b) Escreva uma equação do plano determinado pelas retas concorrentes r e s. (c) Ache equações paramétricas da reta t que passa pela intersecção de r e s e é perpendicular ao plano que r e s determinam. 10. Mostre que os planos π 1 : x + y z + 4 = 0 e π 2 : x + 2y 4z + 9 = 0 não são paralelos e escreva, na forma paramétrica, uma equação da reta dada pela intersecção de π 1 e π Os planos π 1 e π 2 são perpendiculares e se cortam na reta r : x 2 = y 1 = z. 2

3 Uma equação de π 1 é ax + y 4z + d = 0. (a) Determine a e d. (b) Dê uma equação de π Ache o simétrico do ponto P = (, 4, 6) em relação ao plano determinado pelos pontos A = ( 6, 1, 5), B = (7, 2, 1) e C = (10, 7, 1). 1. (a) Dê uma equação da reta r que passa pelo ponto P = (2, 2, ) e é perpendicular ao plano π : x y + z 2 = 0. (b) Calcule a intersecção de r com o plano π. (c) Calcule a distância de P a π. 14. São dados P = (2, 1, 0) e x = 1 + t r : y = 2 t z = 1 + t (a) Dê uma equação do plano π que passa por P e é perpendicular a r. (b) Calcule a intersecção do plano π com a reta r. (c) Ache o simétrico de P em relação à reta r. 15. Seja r a reta determinada pelos pontos A = (1, 2, 0) e B = ( 1, k, ) e seja π o plano de equação kx y + 2z m = 0. (a) Para que valores de k e m a reta r é paralela a π? (b) Para que valores de k e m a reta r está contida em π? 16. (a) Estude a posição relativa da reta r : x 1 2 = y + 2 = z 1 e do plano π : x + 2y + 2z + 6 = 0. (b) Determine o(s) ponto(s) de intersecção ou a distância entre eles. 17. Dados A = (2, 1, ), s : 2x 2 = 2y = z + e π : x + y z + = 0, escreva uma equação da reta r que passa por A, intersecta s e é paralela a π. 18. Duas faces de um cubo estão, respectivamente, nos planos π 1 : 2x 2y +z 1 = 0 e π 2 : 2x 2y +z +5 = 0. Determine o volume do cubo.

4 19. O ângulo  do triângulo isósceles ABC mede 120o. Determine B e C, sabendo que A = (1, 1, 1) e que BC está contido na reta r : X = (2, 1, 0) + λ(1, 1, 0). 20. Obtenha uma equação geral de um plano que contém a origem O = (0, 0, 0) e forma ângulos de 60 o com a reta r : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1) e com o plano π : x y + 4 = 0. 4

5 Respostas de alguns exercícios 1. (a) x = + t, y = t e z = t (b) (0, 9, ) 2. (a) X = ( 1, 2, 1) ou X = (7, 6, 1) 4 (b) 1. (a) r: x = 7 + 4k, y = 2 2k, z = 2 + k t: x = 1 + 6l, y = 1 5l, z = 7l (b) r = s (c) r e t concorrentes em ( 5, 4, 7) 4. (a) r: x = 4n, y = 2n, z = 2 n t: x = l, y = 2 6l, z = 4 + 9l (b) r e s são reversas (c) r e t são paralelas 5. (a) AM: x = 2, y = 2m, z = 1 + m BN: x = 4 n, y = 1 + 4n, z = 5 6n CP : x = p, y = 2p, z = 1 + p (b) (2, 5/, 1) x = t, y = 9t, z = 1 + 2t 8. x 2 1 = y 1 = z 2 9. (a) m = 1 (b) 4x + y 5z + 10 = 0 (c) x = 2 + 4t, y = 1 + t, z = 5t 10. x = 1 2t, y = 5 + t, z = t 11. (a) a = 1, d = (b) 5x + 1y + 2z = (1, 2, 2) 1. (a) x = 2 + t, y = 2 t, z = + t (b) (1, 1, 0) (c) 11 5

6 14. (a) x y + z 1 = 0 (b) (4/, 5/, 4/) (c) (2/, 7/, 8/) 15. (a) k = 8 (b) k = 8 e m = (a) paralelos (b) x = 2 + 2t, y = 1 t, z = + t (, 0, 0) e (0,, 0) 20. Três soluções: x + z = 0, x z = 0 e x + 4y + z = 0 6