EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA

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1 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo. a) Para 0 t 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico. b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x, definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.. (Espcex (Aman) 015) O ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta de equação x 3y 4 0 é o ponto a) 3, 1. b) 1,. c) 4,4. d) 3,8. e) 3,. 3. (Fuvest 015) A equação x x y my n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto ( 3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente, a) 4 e 3 b) 4 e 5 c) 4 e d) e 4 e) e 3 Página 1 de 14

2 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA (Unicamp 015) No plano cartesiano, a equação x y x y representa a) um ponto. b) uma reta. c) um par de retas paralelas. d) um par de retas concorrentes. 5. (Fgv 015) Uma companhia do setor químico fabrica um produto a partir de dois componentes químicos, A e B. Cada quilograma de A contém 4 gramas da substância S, 1 1 grama da substância S, 1 grama da substância S, 3 e custa R$ 30,00 para a companhia. Cada quilograma de B contém 1 grama da substância S, 1 gramas da substância S, não contém a substância S, 3 e custa R$ 0,00 para a companhia. O produto fabricado deve contér uma mistura de, pelo menos, 0 gramas da substância S, 1 10 gramas da substância S, e gramas da substância S. 3 Adote na resolução do problema a letra x para a quantidade do componente A (em quilogramas), y para a quantidade do componente B (em quilogramas), e C para o custo total do produto fabricado, em reais. a) Liste três pares ordenados (x, y), com x e y inteiros positivos, que atendam simultaneamente a todas as restrições do problema. Em seguida, calcule o valor de C para cada um dos três pares (x, y) listados. b) Determine o par ordenado (x, y), com x e y racionais, que atenda simultaneamente a todas as restrições do problema e para o qual C atinja o menor valor possível. Em seguida, determine C, que também será um número racional, para o par ordenado (x, y) solicitado. 6. (Unifesp 015) Um tomógrafo mapeia o interior de um objeto por meio da interação de feixes de raios X com as diferentes partes e constituições desse objeto. Após atravessar o objeto, a informação do que ocorreu com cada raio X é registrada em um detector, o que possibilita, posteriormente, a geração de imagens do interior do objeto. No esquema indicado na figura, uma fonte de raios X está sendo usada para mapear o ponto P, que está no interior de um objeto circular centrado na origem O de um plano cartesiano. O raio X que passa por P se encontra também nesse plano. A distância entre P e a origem O do sistema de coordenadas é igual a 6. a) Calcule as coordenadas (x, y) do ponto P. b) Determine a equação reduzida da reta que contém o segmento que representa o raio X da figura. 7. (Fuvest 014) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A (0, 0), B (3, 4) e C (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é 16 a) 4, 5 Página de 14

3 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA b),3 4 1 c) 5, 5 11 d), 8 e) 6, 5 8. (Insper 014) No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma estrada já existente, os pontos A(8, ) e B(3, 6) representam duas cidades e a reta r, de inclinação 45, representa uma estrada que será construída. Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada intercepta a existente, deverá ter coordenadas 1 a), 0. 1, 0. b) 3 c), 0., 0. d) 5 e), (Insper 014) Considere, no plano cartesiano, o triângulo retângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta de equação 1x + 5y = 60. A medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é igual a a) 1. b). c) 3. d) 4. e) (Ita 014) Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento, a) b) Página 3 de 14

4 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA c) d) e) (Fgv 014) Os pontos A3, e C 1,4 do plano cartesiano são vértices de um quadrado ABCD cujas diagonais são AC e BD. A reta suporte da diagonal BD intercepta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada: a) /3 b) 3/5 c) 1/ d) 1/3 e) 0 1. (Unicamp 014) No plano cartesiano, a reta de equação x 3y 1 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas 4 a) 4,. 3 b) (3, ) 4 c) 4,. 3 d) (3, ). 13. (Insper 014) A figura mostra um tabuleiro de um jogo Batalha Naval, em que André representou três navios nas posições dadas pelas coordenadas B, B14 e M3. Cada navio está identificado por um quadrado sombreado. André deseja instalar uma base em um quadrado do tabuleiro cujo centro fique equidistante dos centros dos três quadrados onde foram posicionados os navios. Para isso, a base deverá estar localizada no quadrado de coordenadas a) G8. b) G9. c) H8. d) H9. e) H10. Página 4 de 14

5 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA (Insper 014) No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada a. Já a reta s, de coeficiente angular 9, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada b. Se as retas r e s interceptam-se em um ponto de abscissa 6, então a) b a. b) b a 9. c) b a 6. d) b a 9. e) b a (Unicamp 014) Considere no plano cartesiano os pontos A ( 1, 1) e B (, ). a) Encontre a equação que representa o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam pelos pontos A e B. b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das ordenadas. Determine C de modo que o triângulo ABC tenha área igual a (Espm 014) Os pontos O(0, 0), P(x, ) e Q(1, x 1) do plano cartesiano são distintos e colineares. A área do quadrado de diagonal PQ vale: a) 1 b) 16 c) 5 d) 4 e) 9 Página 5 de 14

6 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA Gabarito: Resposta da questão 1: t a) Sabendo que P pertence à reta r, temos P t,. Além disso, para todo 0 t 4, o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que 1 t t A(t) t (t 4). 4 O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (, 1). b) As abscissas dos pontos de interseção da reta x 0, satisfazem a equação x y com a função k sendo g(x), x x k x 4x k 0. x Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a zero, ou seja, Δ ( 4) 4 1 k 0, o que implica em k. Resposta da questão : [A] Considerando, (r ) x 3y 4 0 e P(1, 5) Determinando a equação da reta ( s) perpendicular a reta (r ) e que passa pelo ponto (1, 5) ( s) 3 x y k k 0 k 7 Logo, a equação da reta ( s) será dada por 3x y 7 0. Determinando, o ponto M de intersecção das retas r e s. x 3y 4 0 3x y 7 0 Resolvendo o sistema, temos M( 1, ). Determinando agora o ponto A simétrico do ponto p em relação à reta r, M é ponto médio de PA. Página 6 de 14

7 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA xa 1 xa 3 5 xa xa 1 Logo, A( 3, 1). Resposta da questão 3: [A] Completando os quadrados, vem m m x x y my n (x 1) y n 1. 4 Logo, como o centro m C 1, pertence à reta y x 1, segue que m ( 1) 1 m 4. Por conseguinte, sabendo que a reta intersecta a circunferência em ( 3, 4), obtemos n x x y my ( 3) ( 3) 4 ( 4) 4 3. Resposta da questão 4: [D] Supondo que x, y, temos x y x y x y x y ou x y x y x e y 0 ou, x 0 e y ou seja, a equação representa os eixos cartesianos, cuja interseção é a origem. Resposta da questão 5: a) De acordo com as restrições, obtemos y 4x 0 4x y 0 x x y 10 y 5, x x com x, y. Página 7 de 14

8 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA Assim, os pares (,1), (3, 8) e (4, 4) atendem simultaneamente a todas as restrições do problema. Por outro lado, sendo C(x, y) o custo total do produto fabricado, em reais, vem C(x, y) 30x 0y. Em consequência, temos C(, 1) R$ 300,00, C(3, 8) R$ 50,00 e C(4, 4) R$ 00,00. b) Considere a figura, obtida conforme o item (a). Queremos determinar o ponto (x, y), com x e y racionais, que pertence simultaneamente ao gráfico de uma das retas da família 30x 0y C, e à região do plano indicada, de modo que C seja mínimo. Tal ponto corresponde ao ponto de interseção das retas 4x y 0 e x y 10, que é 30 0,. 7 7 Logo, temos 30 0 C R$ 185,71. Resposta da questão 6: Considere a figura, em que A e B são, respectivamente, os pontos de interseção do raio X com o eixo das ordenadas e o eixo das abscissas. Página 8 de 14

9 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA π a) O ponto P é a imagem do número complexo de módulo 6 e argumento rad. 3 modo, tem-se que Desse π π P 6 cos, 6sen (3, 3 3). 3 3 b) Sendo BOP 60, temos POA e, portanto, OAP 75. Daí, segue que OP OA 6 e, assim, A (0, 6). Portanto, a equação reduzida da reta AP é y 6 (x 0) y ( 3 )x Resposta da questão 7: [D] Considere a figura. A equação da reta AB é dada por yb 4 y x y x. x 3 B Logo, tem-se 3y Q,y 4 e 3y M,0, 4 com 0 y 4. Além disso, a equação da reta BC é yb yc 4 0 y y C (x x C) y 0 (x 8) x x 3 8 B C 4 3 y x. 5 5 Página 9 de 14

10 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA Daí, 3 5y P, y 4 e 3 5y N, 0, 4 com 0 y 4. A área do retângulo MNPQ é dada por (MNPQ) MN PN 3 5y 3y (y 0) 4 4 y 8y [(y ) 4)] 8 (y ). Portanto, o retângulo MNPQ tem área máxima quando y, ou seja, quando Resposta da questão 8: [C] Seja M o ponto médio do segmento de reta AB. Se da, r db, r d, então M pertence à reta r. Logo, 11 P, M,, 4 e, portanto, a equação de r é 11 3 y 4 tg45 x y x. Em consequência, tomando y 0, segue-se que Resposta da questão 9: [B] 3 C, 0. Fazendo y 0 na equação 1x 5y 60, obtemos o ponto A (5, 0), que é o ponto de interseção da reta com o eixo das abscissas. Tomando x 0, encontramos o ponto B (0,1), que é o ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas. Página 10 de 14

11 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA Desse modo, sendo O a origem do sistema de eixos cartesianos, queremos calcular o raio r da circunferência inscrita no triângulo AOB. Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos AB 13. Logo, temos OA OB OA OB AB r 5 1 (5 1 13) r r. Resposta da questão 10: [D] O ponto D pertence à mediatriz do segmento BC, logo D é (K,3). Considerando que D é equidistante dos pontos A e B, temos: AD BD K K K K 11 K 10K 5 4 8K 7 7 K 8 7 Portanto, D,3. 8 Logo, a medida do raio r será dada por: R AD 1 (3 4) Resposta da questão 11: [D] 4 ( ) 3 O coeficiente angular da reta AC é igual a m. Daí, como AC e BD são AC 13 perpendiculares, segue-se que m m 1 m, com m sendo o coeficiente AC BD BD 3 BD Página 11 de 14

12 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA angular da reta BD. Além disso, se M é o ponto médio de AC, temos 3 ( 1) 4 M, (1,1). Sabendo que M é o ponto de interseção das retas AC e BD, concluímos que a equação de BD é 1 y 1 (x 1) y x Portanto, segue de imediato que a ordenada do ponto de interseção de BD com o eixo Oy é igual a 1. 3 Resposta da questão 1: [D] A equação segmentária da reta AB é x y x 3y Desse modo, como A (6, 0) e B (0, 4), segue-se que o ponto médio do segmento AB tem coordenadas ( 4), (3, ). Resposta da questão 13: [A] Adotando, convenientemente, um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no vértice inferior esquerdo do quadrado O1, tem-se B (1,5; 13,5), B14 (13,5;13,5) e M3 (,5;,5). Queremos determinar o circuncentro do triângulo BB14M3. A mediatriz do segmento BB14 é a reta 1,5 13,5 x x 7,5. A reta BM3 tem coeficiente angular igual a 13,5, ,5,5 O ponto médio do segmento BM3 é,5 1,5,5 13,5, (, 8). Logo, a equação da mediatriz do segmento BM3 é dada por Página 1 de 14

13 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA y 8 (x ) y x Daí, a ordenada do circuncentro é ,5 y 7,5 8, Portanto, como o ponto (7,5; 8,5) corresponde ao centro do quadrado G8, segue-se o resultado. Resposta da questão 14: [E] De acordo com as informações, temos r : y 10x a e s : y 9x b. Logo, se x 6 é a abscissa do ponto de interseção de r e s, então 10 6 a 96 b b a 6. Resposta da questão 15: a) O lugar geométrico pedido é a mediatriz do segmento de reta AB. Logo, como o ponto 1 3 médio de AB é, e o coeficiente angular da reta AB é 1, segue-se que a equação 3 da mediatriz de AB é dada por 3 1 y 3x 3x y 3 0. b) Se C pertence ao semieixo negativo das ordenadas, então C (0, α), com α 0. Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 8, temos α α 1 α 1 3α α ou α 4. 3 Porém, sendo α 0, só pode ser α 4. Resposta da questão 16: [E] Sabendo que O(0, 0), P(x, ) e Q(1, x 1) são colineares, vem 0 x x x x 0 x ou x 1. Mas O(0, 0), P(x, ) e Q(1, x 1) são distintos. Logo, só pode ser x. Portanto, a área do quadrado de diagonal PQ vale Página 13 de 14

14 EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA ( (1 ( )) ( 1 ) ) 18 9 u.a. Página 14 de 14