Retas Tangentes à Circunferência

Transcrição

1 Retas Tangentes à Circunferência 1. (Fuvest 01) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (,6) e a circunferência C de equação um ponto Q. Então a distância de P a Q é a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 0 x 1 y 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em. (Uerj 01) Um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio inextensível, gira no sentido anti-horário em torno de um ponto O. Esse objeto percorre a trajetória T, cuja equação é x y 5. Observe a figura: Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto P(4,). A partir desse instante, o objeto segue na direção da reta tangente a T no ponto P. Determine a equação dessa reta.. (Espcex (Aman) 01) Considere a circunferência λ x y 4x 0 e o ponto P1,. Se a reta t é tangente a λ no ponto P, então a abscissa do ponto de intersecção de t com o eixo horizontal do sistema de coordenadas cartesianas é a) b) c) d) e) 4. (Fuvest 01) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, ). Nessas condições, o raio de C vale a) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) 10 Página 1 de 8

2 5. (Epcar (Afa) 01) No plano cartesiano, a circunferência λ de equação x y 6x 10y k 0, com k, determina no eixo das ordenadas uma corda de comprimento 8. Dessa forma, é correto afirmar que a) λ é tangente ao eixo Ox b) o raio de λ é igual a k P k, 1 λ c) d) λ é secante à reta x k 6. (Unicamp simulado 011) No desenho abaixo, que não está em escala, a reta y = x é perpendicular à reta que passa pelo ponto (,0). O ponto de interseção dessas retas é A. A equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x é dada por 1 a) x y b) x y c) x y d) x y (Mackenzie 011) Uma circunferência de centro (4,y), com y é tangente às retas x + y = 0 e x 7y + = 0. O raio dessa circunferência é a) 4 b) 5 c) 4 d) 5 e) 6 8. (Ufsm 011) Uma luminária foi instalada no ponto C(-5,10). Sabe-se que a circunferência iluminada por ela é tangente à reta que passa pelos pontos P(0,5) e Q(-0,-15). O comprimento da linha central do passeio correspondente ao eixo y, que é iluminado por essa luminária, é a) 10 m. b) 0 m. c) 0 m. d) 40 m. e) 50 m. Página de 8

3 9. (Ufpr 010) A figura a seguir mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades. a) Sabendo que A = (8,4) e que r: y + x = 0 é a reta que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB. b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a circunferência. 10. (Fuvest 009) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = (-5, 1) e é tangente à reta t de equação 4x - y - = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. Assim: a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equação para a circunferência C. c) Calcule a área do triangulo APQ. Página de 8

4 Gabarito: Resposta da questão 1: [D] A circunferência C tem centro no ponto A(1, ) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as informações, considere a figura abaixo. Como PQ PQ' e AQ AQ' 1, vem PA ( 1) (6 ) 0 e, portanto, PQ PA AQ PQ 0 1 PQ 19 u.c. Resposta da questão : A equação da reta pedida é dada por xp 4 y y P (x x P) y (x 4) y P 4 5 y x. Resposta da questão : [A] Completando os quadrados, obtemos x y 4x 0 (x ) y 4. Assim, o centro da circunferência é o ponto C(, 0). O coeficiente angular da reta t é dado por xc xp yc yp 0 Página 4 de 8

5 Desse modo, a equação de t é y (x 1) e, portanto, a abscissa do ponto de interseção de t com o eixo x é tal que Resposta da questão 4: [C] 0 (x 1) x 1 x. R = raio e o ponto (5, R) é o centro. Calculando a distância de (5, R) até (1,) temos o raio. (5 1) R R 16 (R ) R Desenvolvendo, temos 4R = 0 R = 5. Resposta da questão 5: [A] Determinando o centro (a,b) da circunferência, temos que: a = 6, então a = b = 10, então b = 5; logo, o centro da circunferência é o ponto C(, 5). Esboçando a circunferência, temos: Página 5 de 8

6 Calculando o raio, tem-se: R = + 4 R = 5, como o raio mede 5 unidades, a reta é tangente ao eixo x. Resposta da questão 6: [C] A reta decrescente terá coeficiente angular m = coeficiente angular Logo, sua equação será: 1 y 0 = (x ) x + y = 0 Determinaremos o ponto A resolvendo o sistema: y x onde x = 1 x y 0 5 e y = 5 (raio) 1, pois é perpendicular à reta crescente de Portanto a equação da circunferência será: 1 x y x y Página 6 de 8

7 Resposta da questão 7: [D] r x y 0 s x 7y 0 e C4,y d c,r =d c,s 4 y 4 7y ( 7) y 6 7y 50 5y y 5y y ou 5y + 10 = -6 +7y y = -1/ (não convém) ou y = 8 Fazendo y = 8, temos o raio R = Resposta da questão 8: [C] x y 1 Equação da reta x y Raio da circunferência: R ( ) Equação da circunferência: (x 5) (y 10) 5 10 Fazendo x = 0, temos: Página 7 de 8

8 5 +(y-10) 50 (y 10) 5 y 5 ou y 5 Portanto, 5 (- 5) = 0. Resposta da questão 9: a) No ponto B, onde a reta r intercepta o eixo dos x, temos y = 0,. 0 + x = 0, ou seja, x = 0. Logo, B = (0, 0). Calculando a área do triângulo temos: (observe a figura) 15.4 A = 0 unidades quadradas. b) Para determinar o ponto D devemos obter a intersecção da reta r com a circunferência. Resolvendo o sistema: x 10x y 0 y x 0 x = 8 e y = 4, que corresponde ao ponto A. x = 5 e y = 5, que corresponde ao ponto D. Resposta da questão 10: a) P (-1,-) b) (x + 5) + (y - 1) =5 c) 5/4 u.a. Página 8 de 8