Geometria Analítica. x + y 4x 6y+ m= 0 e a circunferência C 2 tem. C 2 são tangentes exteriormente, assinale o que for

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1 Geometria Analítica 1. (Uerj 15) As baterias B 1 e B de dois aparelhos celulares apresentam em determinado instante, respectivamente, 1% e 9% da carga total. Considere as seguintes informações: - as baterias descarregam linearmente ao longo do tempo; - para descarregar por completo, B 1 leva t horas e B leva duas horas a mais do que B 1 ; - no instante z, as duas baterias possuem o mesmo percentual de carga igual a 75%. Observe o gráfico: As coordenadas cartesianas do ponto P, indicado nessa figura, são: a) (,6). b) (,). c) (8,). d) (6,). e) (,8).. (Ufpr 1) Uma reta passando pelo ponto P(16, ) é tangente ao círculo x + y = r em um ponto Q. Sabendo que a medida do segmento PQ é de 1 unidades calcule: O valor de t, em horas, equivale a: a) 1 b) c) d). (Uepg 1) A circunferência C 1 tem equação x + y x 6y+ m= e a circunferência C tem centro em (,6) e raio igual a. Sabendo que C 1 e C são tangentes exteriormente, assinale o que for correto. 1) O ponto de tangência pertence ao º quadrante. ) m> 1 ) A reta de equação x y+ = é perpendicular à reta que passa pelos centros de C 1 e C. 8) A circunferência C 1 não intercepta os eixos coordenados. 16) A distância entre os centros de C 1 e C é 5.. (Ufpr 1) A figura abaixo apresenta o gráfico da reta r: y x + = no plano cartesiano. a) a distância do ponto P à origem do sistema cartesiano; b) a medida do raio r da circunferência. 5. (Pucrj 1) Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma que A = (5,1) e B = (1,6). a) Determine a medida do lado do quadrado ABCD. b) Determine a equação da reta que passa por C e D. c) Determine a equação do círculo inscrito no quadrado ABCD. 6. (Uea 1) Num plano cartesiano, sabe-se que os pontos A, B (1, ) e C (, ) pertencem a uma mesma reta, e que o ponto A está sobre o eixo Oy. O valor da ordenada de A é a). b). c) 1. d). e) 1. Página 1

2 7. (Uem 1) Uma chapa plana, com densidade homogênea, tem a forma de um quadrilátero cujos vértices são os pontos A = (,), B = (1,1), C = (,1) e D = (,). Suponha que essa placa foi obtida pela união de duas placas triangulares ABC e ACD. Considerando essas placas e os conhecimentos relativos à determinação do centro de massa de figuras planas, assinale o que for correto. 1) Os centros de massa das placas triangulares ABC e ACD são formados pelos seus baricentros, que são, respectivamente, os pontos 1, e 5 1,. ) A massa da chapa triangular ACD é o triplo da massa da chapa triangular ABC. ) O centro de massa da chapa ABCD deve estar sobre a reta vertical x =, pois essa reta é um eixo de simetria da chapa. 8) Em qualquer quadrilátero, o centro de massa é dado pelo ponto de interseção de suas diagonais. 16) O centro de massa de uma chapa plana formada pela união de duas outras chapas planas é sempre o ponto médio do segmento de reta que une seus respectivos centros de massa. 8. (Ifsc 1) Marina encomendou um mural de fotos para a sua sala com o formato de um paralelogramo que irá de um lado a outro de uma parede (conforme a figura a seguir). Para garantir a colocação correta do mural após a confecção, ela considerou a parede parte do primeiro quadrante do plano cartesiano limitado pelos cantos (,), (,), (,) e (,), sendo a abscissa o comprimento e a ordenada a altura da parede em metros. Assim, marcou quatro pontos por onde devem passar os lados opostos A e C do mural: P(1,7 1 ) e P (,8 ) para o lado A e P (1, ) e P (,5 ). ) Se Marina decidir colocar uma estante de,75 m de altura, encostada nessa parede, não há chances de a estante atingir a altura em que começa o mural. 8) A distância entre os lados A e C é,5 m. 9. (Ufrgs 1) Construídas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, as inequações x + y < e y< x+ 1 delimitam uma região no plano. O número de pontos que estão no interior dessa região e possuem coordenadas inteiras é a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) (Uem 1) Considere as retas r, s e t no plano cujas equações são r : x + y =1, s : x + y =, t : x y =1. Sobre essas retas, assinale o que for correto. 1) A interseção das retas r e s é o ponto ( 1,), das retas r e t é o ponto (1,) e das retas s e t é o ponto (1/5, /5). ) As retas s e t são perpendiculares. ) O ponto de interseção das retas r e t está a uma distância igual a 5 da reta s. 5 8) A área do triângulo delimitado por essas retas é 6/5. 16) A tangente do ângulo agudo formado pelas retas r e s é. 11. (Cefet MG 1) No plano cartesiano, duas retas r e s se interceptam num ponto S(x,) e tangenciam a circunferência x + y = 1 nos pontos P(,p) e Q(,q), respectivamente. Os pontos P, Q, S e O, sendo O o centro da circunferência, determinam um quadrilátero cuja área, em unidades de área, é a) 5. b) 1. Com base nas informações, analise as proposições abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S). 1) Considerando o plano cartesiano, a reta por onde passa o lado C pode ser equacionada como x y+ =. ) Considerando o plano cartesiano, a reta por onde passa o lado C pode ser equacionada como x y+ =. c) 1. d) e) (Uerj 1) Página

3 c),.,. d) ( ) 5 e),. 15. (Acafe 1) Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas. No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,), B(,1) e C(,1), que são fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se desloca no segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é igual à ordenada de Q. Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ pode assumir. 1. (Fgv 1) Os pontos A(, ) e C( 1,) do plano cartesiano são vértices de um quadrado ABCD cujas diagonais são AC e BD. A reta suporte da diagonal BD intercepta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada: a) / b) /5 c) 1/ d) 1/ e) ( ) O triângulo ABC é equilátero e seu perímetro é 1cm. Sabendo que temos uma circunferência inscrita e outra circunscrita ao triângulo ABC, então, a razão entre a área da circunferência inscrita e a área da circunferência circunscrita é 1. ( ) Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta x y =. Sabendo que a reta suporte da outra diagonal passa pelo ponto de coordenadas (5, ), pode-se concluir que o perímetro desse quadrado, em unidades de comprimento, é igual a 16. ( ) Na figura abaixo, ABCD, é um quadrado inscrito num triângulo PRQ. Sendo RQ= 6cm e a altura relativa a essa base igual a cm, então, a área da região hachurada vale, aproximadamente, 5cm. 1. (Insper 1) No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma estrada já existente, os pontos A(8, ) e B(, 6) representam duas cidades e a reta r, de inclinação 5, representa uma estrada que será construída. A sequência correta, de cima para baixo, é: a) V - V - F b) V - F - V c) V - F - F d) F - F - V Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada intercepta a existente, deverá ter coordenadas 1 a),. 1,. b) ( ) 16. (Espcex (Aman) 1) Sejam dados a circunferência λ :x + y + x+ 1y+ 5= e o ponto P, que é simétrico de ( 1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da circunferência concêntrica à λ e que passa pelo ponto P. a) λ :x + y + x+ 1y+ 16= b) c) d) e) λ :x + y + x+ 1y+ 1= λ:x y + x 5y+ 16= λ :x + y x 5y+ 1= λ:x y x 1y 17= Página

4 17. (Espm 1) As coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação x x + (y+ 1) = são, respectivamente: a) (, 1) e b) (, 1) e c) (, 1) e d) ( 1,) e e) (, ) e 18. (Pucrs 1) Uma circunferência de centro em P(c,c), com c, tangencia o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas. Sua equação é a) x + y = c b) ( ) x c + y = c x + y c = c c) ( ) x c + y c = c d) ( ) ( ) x c + y c = c e) ( ) ( ) 19. (Pucrs 1) Resolver a questão com base na regra da FIFA, segundo a qual a bola oficial de futebol deve ter sua maior circunferência medindo de 68cm a 7cm. Considerando essa maior circunferência com 7cm e usando um referencial cartesiano para representá-la, como no desenho abaixo, poderíamos apresentar sua equação como a) b) c) 5 + = π x y 5 + = π 7 + = π x y x y 7 d) x + y = π e) x + y = 7. (Uerj 1) Um disco metálico de centro O e diâmetro AB = dm, utilizado na fabricação de determinada peça, é representado pelo seguinte esquema: PJ cortesretilíneos PK M ponto médio do raio OB N ponto médio do raio AO P ponto médio do raio OC J intersecção da semirreta PM com a circunferência K intersecção da semirreta PN com a circunferência Calcule a distância entre os pontos J e K. 1. (Fgv 1) No plano cartesiano, uma circunferência tem centro C(5,) e tangencia a reta de equação x+ y 1=. A equação dessa circunferência é: a) x + y 1x 6y+ 5= b) c) d) e) x + y 1x 6y+ 6= x + y 1x 6y+ 9= x + y + 1x+ 6y+ 16= x + y + 1x+ 6y+ 9=. (Upf 1) Considere uma circunferência C definida pela equação x + y = 6. O ponto P de coordenadas (x,) pertence a essa circunferência e está localizado no 1º quadrante. Considerando que o ponto O é o centro da circunferência e o ângulo α é formado pelo segmento OP com o lado positivo do eixo x, o cosseno dos ângulos α e (18 α) será igual a: a) 5 6 e 5 6 b) e c) 5 6 e 5 d) 5 e) e 5 e 5 5. (Uem 1) Considere, no plano cartesiano, a circunferência λ de raio 1 unidade de comprimento Página

5 com centro no ponto Q de coordenadas (1,). Sendo O a origem dos eixos coordenados e A o ponto de coordenadas (,), assinale o que for correto. 1 1) O ponto de coordenadas, pertence a λ. ) Todo ponto P de coordenadas (x, y) pertencente à circunferência e, com y positivo, satisfaz a equação y = 1 ( x 1 ). ) A área do círculo delimitado pela circunferência λ é de π unidades de área. 8) Os pontos P da circunferência para os quais o triângulo APO possui a maior área são aqueles de abscissa (coordenada x) igual a 1. 16) Para qualquer ponto P de coordenadas (x, y) pertencente à circunferência e com y, o triângulo APO é retângulo.. (Ita 1) A equação do círculo localizado no 1º quadrante que tem área igual a π (unidades de área) e é tangente, simultaneamente, às retas r:x y+ 5= e s:x+ y = é 1 a) x + y =. b) x + y + =. 1 c) x + + y =. 1 d) x + + y =. 11 e) x + + y =. 5. (Uema 1) O proprietário de um lote, visando a sua ornamentação, dividiu-o em área circular, tendo subdividido-o em dois triângulos idênticos opostos, inscritos no círculo, cujos vértices são A( 1,9), B(,9) e C( 9,1); sendo AB o diâmetro da circunferência. Considerando as condições descritas e as medidas em metros, a) faça a ilustração gráfica desse lote no sistema cartesiano ortogonal do plano. b) calcule a equação da circunferência. c) determine a área correspondente aos triângulos idênticos. 6. (Epcar (Afa) 1) Sejam a e b dois números reais positivos. As retas r e s se interceptam no ponto (a, b) a b Se, r e, s, então uma equação para a reta t, que passa por (, ) e tem a tangente do ângulo agudo formado entre r e s como coeficiente angular, é a) ( abx+ a b ) y = b) ( ) c) ( ) d) ( ) bx b a + b y = ax a a + b y = abx a + b y = 7. (Uem 1) Sobre a reta r de equação x y+ 5 =, assinale o que for correto. 1) O ponto (, 5 ) pertence a r. ) Se (x, y) pertence a r, então x e y não podem ser ambos racionais. ) O menor ângulo que a reta r faz com o eixo das abscissas é superior a 5. 8) A reta de equação 6x y+ 5 = é paralela à reta r. 16) A reta r intercepta o eixo das ordenadas no ponto 5,. 8. (Uern 1) A área do triângulo retângulo formada pela sobreposição das retas r e s, no gráfico, é igual a 6 unidades. Logo, a equação da reta r é a) y = x + 1 b) y = x + 16 c) y = x + 16 d) y = x (Unicamp 1) Na formulação de fertilizantes, os teores percentuais dos macronutrientes N, P e K, associados respectivamente a nitrogênio, fósforo e potássio, são representados por x, y e z. Página 5

6 a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte sistema de equações lineares: x + y z =, y + z =,55 z =,5 Calcule x e y nesse caso. b) Suponha que para outro fertilizante valem as relações % x+ y+ z 5%, x 1%, y % e z= 1%. Indique no plano cartesiano abaixo a região de teores (x, y) admissíveis para tal fertilizante.. (Unioeste 1) Os valores de k para que as retas x + ky = e x + y = 1 sejam paralelas e perpendiculares entre si, respectivamente, são a) e 1. b) 1 e 1. c) 1 e 1. d) e. e) e. Página 6

7 Resolução das Questões Resposta da questão 1: [D] 6 9 y = (x ) y= x +. Seja T = (x t,y t) o ponto de tangência de C 1 e C. É fácil ver que < xt <. Desse modo, suuuuur vem como T pertence à reta A1A, 9 9 (xt ) + xt + = 1 (xt ) + (xt ) = (xt ) = 5 6 x t = Portanto, segue que T =,, ou seja, T pertence 5 5 ao primeiro quadrante. [1] Incorreto. O ponto de tangência pertence ao primeiro quadrante. [] Correto. m= 1> 1. Fazendo (I) = (II), temos: t t+ = 6t = t+ 8 t =. 6 Resposta da questão : =. Completando os quadrados, encontramos x + y x 6y+ m= (x ) + (y ) = 1 m. Logo, se A 1 e r 1 são, respectivamente, o centro e o raio de C 1, então A 1= (, ) e r 1 = 1 m. Seja A = (,6) o centro de C. Assim, a distância entre os centros de C 1 e C é igual a d(a 1,A ) = ( ) + (6 ) = = 5. Sendo r = o raio de C, e dado que as circunferências C 1 e C são tangentes exteriormente, temos d(a 1,A ) = r1 + r 5= 1 m+ m= 1. suuuuur A reta A1A tem para equação [] Correto. O coeficiente angular da reta r:x y+ = é. angular da reta A1A = 1 Assim, como o coeficiente suuuuur é, segue-se que e, portanto, r A suuuuur 1A. [8] Correto. Como A 1= (, ) e r 1 = 1, concluímos que a circunferência C 1 não intersecta os eixos coordenados. [16] Correto. Tem-se que d(a 1,A ) = 5. Resposta da questão : [C] O ponto P possui coordenadas (x, ), logo: x+ = x = 8 P( 8, ). Resposta da questão : a) A distância do ponto P à origem O do sistema cartesiano de eixos é dada por P,O d = 16 + ( ) = 65. b) Como a reta PQ suur é tangente à circunferência em Q, segue-se que o triângulo OPQ é retângulo em Q. Daí, sabendo que PQ 1u.c., = pelo Teorema de Pitágoras, vem Página 7

8 OP = OQ + PQ 65= OQ + 1 Portanto, r = OQ= 11u.c. OQ= 11u.c. Resposta da questão 5: a) A medida do lado do quadrado é igual a d(a, B) = (1 5) + (6 1) = 6+ 6 = 1 u.c. b) O coeficiente angular da reta AB suur é igual a 6 1 m suur = =. AB 1 5 suur suur Como ABCD é quadrado, segue que AB BC. Logo, se m BC suur denota o coeficiente angular da reta suur BC, então m suur =. BC c) O centro do círculo é o ponto médio da diagonal AC, ou seja, , = (1,1), e seu raio mede a metade do lado do quadrado, isto é, 5. Portanto, a equação pedida é (x 1) + (y 1) = 5. Resposta da questão 6: [E] O ponto A é da forma (,k), como os pontos A, B e C estão alinhados, temos: k = k+ k = k = 1 1 Resposta da questão 7: = 7. Seja C = ( α, β), com α > 1 e β> 6, de acordo com a figura abaixo. [1] Verdadeira. Baricentro da placa ABC: , = 1,. Sabendo que m = tgpbc, $ BC suur tem-se $ PC tgpbc = PC= PB. PB Por (a) vem que BC= 1. Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BPC, concluímos que PB= 6, o que implica em PC= 8. Donde obtemos C = (19, 1). Finalmente, segue que a equação da reta que passa por C e D é Baricentro da placa ACD: , =,. [] Verdadeira, pois a razão entre as áreas é. 1 SΔ(ACD) = = SΔ(ABC) 1 1 [] Verdadeira, pois x = / é a mediatriz do segmento BC. [8] Falsa. O centro de gravidade do quadrilátero abaixo não é a intersecção de suas diagonais. 11 y 1 = (x 19) y= x +. Página 8

9 [16] Falsa. Observe a figura abaixo. Baricentro do triângulo AOB: (-,1) Baricentro do triângulo: AOC: ( 1,1) Ponto médio de G 1 G : ( -1/,1) Baricentro do triângulo ABC: (-/,1) Resposta da questão 8: 1 + = 5. Determinando a equação da reta suporte do lado C do paralelogramo. 5 1 Cálculo do coeficiente angular: m= = 1 Equação da reta suporte do lado C: 1 y = (x 1) x y+ = Portanto: [1] Verdadeira. [] Falsa. [] Verdadeira. O coeficiente linear da reta suporte de C é 1, portanto não há chance da estante atingir a altura do início do mural. [8] Falsa, pois a distância entre as retas paralelas será dada pela distância de P 1 até a reta suporte do lado C d= = ( ) Resposta da questão 9: [B] A representação da região ao lado nos mostra que existem apenas 6 pontos com coordenadas inteiras nesta região. São eles: (1,1); (,); (1,); (1,-1); (,-1); (-1,-1) Resposta da questão 1: = 15. Resolvendo os sistemas e determinando o ponto de encontro entre as retas: x+ y = 1 (r) x+ y = (s) Ponto de encontro de r e s.(-1,) x+ y = 1 (r) x y = 1 (t) Ponto de encontro de r e t (1,) x y 1 (t) x+ y = (s) Ponto de encontro de s e t (1/5, -/5) [1] Verdadeira. [] Verdadeira, pois o produto dos coeficientes 1 angulares das retas é -1, ou seja, = 1. [] Verdadeira, pois a distância de (1,) até s é dada 1+ 5 por d = = = [8] Verdadeira, pois D= 1 1 = 1/5. Portanto, a área será 1/5 / A = D = = Página 9

10 [16] Falsa. mr ms 1 ( ) 1 tg θ= = =. 1+ m m 1 + ( 1) ( ) Resposta da questão 11: [B] r Como P e Q pertencem à circunferência, vem + y = 1 y=± 1. Daí, podemos tomar P(,1) e Q(, 1). suur É fácil ver que o coeficiente angular da reta OP é igual a 1. Logo, como r OP, suur segue-se que a equação da reta r é y 1= (x ) y = x+ 1. s A = a + a Valor da Área máxima: Δ 1 1 A máx = = =. a ( 1) Resposta da questão 1: [D] O coeficiente angular da reta AC suur é igual a ( ) m. AC suur = = 1 Daí, como AC suur e BD suur são perpendiculares, segue-se que msuur msuur = 1 m suur =, com AC BD BD suur coeficiente angular da reta BD. m BD suur sendo o Além disso, se M é o ponto médio de AC, temos + ( 1) + M =, = (1,1). Sabendo que M é o ponto de interseção das retas AC suur suur suur e BD, concluímos que a equação de BD é 1 y 1 = (x 1) y = x +. Portanto, segue de imediato que a ordenada do ponto de interseção de BD suur com o eixo Oy é igual a 1. Em consequência, impondo y = na equação da reta r, vem Portanto, 1 S,. (OPSQ) = (OPS) 1 1 = 1 1 =. Resposta da questão 1: Equação da reta AC: y = -x + 1 Equação da reta AQ: y = x 1 P(a, a-1) e Q(a+1, a) Cálculo da área do triângulo APQ: A = a 1 a 1 = a a a + 1 a 1 Como < a < 1, temos: Resposta da questão 1: [C] Seja M o ponto médio do segmento de reta AB. Se da,r = db,r = d, então M pertence à reta r. Logo, M =, =, e, portanto, a equação de r é 11 y = tg5 x y = x. Em consequência, tomando y =, segue-se que C =,. Resposta da questão 15: [B] Sejam r e R, respectivamente, o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência Página 1

11 circunscrita ao triângulo ABC. Sabendo que r = 1, R vem r r 1 1 =. = = R R π π [E] Existem duas possíveis posições para a circunferência citada no enunciado da questão e, nos dois casos, o raio das circunferências é dado por c. Com os dados fornecidos podemos encontrar apenas a equação da reta suporte da outra diagonal. Portanto, nada se pode afirmar sobre o perímetro do quadrado. Seja l a medida do lado do quadrado ABCD. Como os triângulos PRQ e PAB são semelhantes por AA, tem-se que l l 7 = l = cm. 6 5 Por conseguinte, a área hachurada é dada por cm. Resposta da questão 16: [B] Determinando o centro C da circunferência dada: x + x + + y + 1y + 5 = (x + ) + (y + 5) = Logo, o centro é C(, 5). O ponto P simétrico do ponto ( 1,1) em relação ao eixo x é P ( 1, 1). Portanto, o raio R da circunferência pedida será a distância entre os pontos P e C. Temos, R = ( 1 ( )) + ( 1 ( 5)) = 17 Logo, a equação da circunferência pedida será dada por : (x + ) + (y + 5) = 17 x + y + x + 1y = x + y + x + 1y + 1 = Resposta da questão 17: [B] Completando o quadrado, vem x x + (y+ 1) = (x ) + (y+ 1) =. Portanto, o centro da circunferência é o ponto (, 1) e seu raio é. Resposta da questão 18: Logo, a equação da circunferência será: x c + (y c) = c x c + (y c) = c. ( ) ( ) Resposta da questão 19: [B] Considerando R o raio da maior circunferência, temos: 7 5 πr= 7 R= = π π Portanto, a equação da circunferência será dada por: 5 x + y =. π Resposta da questão : Equação da reta PJ: y = x 1 Determinando a abscissa do ponto J: 1+ 7 x + x 1 = xj =. Logo, ( ) 1+ 7 Portanto, KJ = = ( + ) Resposta da questão 1: [A] 1 7 dm. y = x 1 x + y = O raio da circunferência corresponde à distância de C(5,) à reta x+ y 1=, isto é, 5+ 1 =. + Página 11

12 Portanto, a equação da circunferência é (x 5) + (y ) = x + y 1x 6y+ 5=. Resposta da questão : [E] [8] Verdadeira. AP = 1 (maior valor possível para AP é 1, ou seja a medida do raio). [16] Verdadeira. Todo um ângulo inscrito, que determina um arco de 18 numa circunferência, é reto. Resposta da questão : [D] Fazendo y =, temos a seguinte equação: x + = 6 x = x = ± 5 Como P está no primeiro quadrante, temos: x = 5 Portanto, cos o α = = e ( α) Resposta da questão : = 6. 5 cos 18 = cos α =. As retas são perpendiculares, pois ( ) mr ms = 1 1 = 1. Considerando o ponto C centro da circunferência de raio, pois sua área é π. A reta PC é paralela ao eixo x, logo: yp = y c e xc = x P+ k Para determinar as coordenadas do ponto P basta resolver o sistema abaixo: x+ y+ 5 = x+ y = Portanto, 1 P, [1] Falsa, pois Determinando o valor de k no triângulo assinalado, temos: sen 5 = k = k [] Verdadeira, pois a equação da circunferência com y positivo é y = 1 ( x 1 ). 1 Portanto, xc = + e y c =. [] Falsa, pois a área é A = π 1 = π. Logo, a equação da circunferência será dada por: Página 1

13 1 x + + y =. Calculando os coeficientes angulares das retas r e s Resposta da questão 5: a) Considere a figura. m r b b b = = = a a a a m s b b b b = = = a a a Calculando a tangente do ângulo agudo formado pelas reatas r e s. b) Dado que AB é diâmetro, o centro da circunferência, que chamaremos de M, é o ponto médio de AB, ou seja, M =, = ( 9,9). Além disso, o raio r da circunferência é dado por d(a, B) 1 r = = = 5m. Por conseguinte, a equação pedida é (x+ 9) + (y 9) = 5. c) Como as abscissas dos pontos C e M são iguais e AB é paralelo ao eixo OX, é imediato que o triângulo ABC é isósceles e retângulo em C. Daí, sendo D o simétrico de C em relação a AB, tem-se que o quadrilátero ABCD é um quadrado de diagonal 1m. Portanto, a área pedida é igual a Resposta da questão 6: [D] 1 5m. = b b a a tgθ= b b 1+ a a ab tgθ= (a + b ) Portanto, a reta t passa pelo ponto (, ) e tem ab coeficiente angular mt = (a + b ) Logo, sua equação será dada por ab y = (x ) abx (a + b ) y =. (a + b ) Resposta da questão 7: =. [1] Falsa, pois [] Verdadeira, pois a soma de x y dever ser 5. [] Verdadeira, pois a tangente desse ângulo é > 1, portanto, este ângulo é maior que 5. ( ) [8] Falsa, pois seus coeficientes angulares são distintos. [16] Verdadeira, substituindo zero em x temos 5 y =. Resposta da questão 8: [C] Sabendo que a área do triângulo é igual a 6 unidades, vem Página 1

14 1 (k ) (6 ) = 6 k = 1 k = 16. Portanto, a equação da reta r é dada por 1 y = x+ 16= x Para que r seja paralela a s: mr = ms = 1 k = k Para que r seja perpendicular a s: mr ms = 1 ( 1) = 1 k = k Resposta da questão 9: a) x + y z =, y + z =,55 z =,5 y+,5 =,55 y =,15 x+,15,5 =, x =,1 b) Como z= 1%. % x+ y+ 1% 5% 1% x+ y % temos então o sistema reprsentado no plano ao abaixo x+ y % x + y 1% x 1% y % Resposta da questão : [E] (r) x+ ky = mr = k (s) x+ y = 1 ms = 1 Página 1