ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO Matemática 10º ANO Novembro 004 Ficha de Trabalho nº 4 - Conjuntos de pontos e condições Distância entre dois pontos Mediatriz de um segmento de recta Circunferência e circulo Elipse 1 Represente geometricamente: a) a recta horizontal que contém o ponto de ordenada - b) A recta vertical de abcissa c) A bissectriz dos quadrantes pares d) A recta y = x e) As coordenadas de um ponto P simétrico de P(3;4) em relação: - ao eixo dos xx - ao eixo dos yy - à origem do referencial - à bissectriz dos quadrantes ímpares - à recta y = - à recta x = 1 Indique, em R, uma condição que defina o conjunto de pontos a sombreado a) b) c) d) e) f) FT4_10 Anodoc ESAS 004/ ANO Página 1

2 g) h) i) 3 Represente geometricamente o conjunto de pontos do plano que correspondem às condições: a) x y 1 b) x y < 1 c) 0 x < 3 y 1 d) 0 y x e) ( x 0 y 0) ( x 0 y 0) f) 0 < x < 5 y = x g) ( x = y = 4) ( y x y 0) h) ( y x y < x 1) y = i) ( x = 1 y > 1) ( x = 0 1 < y ) 4 Num referencial cartesiano considere a recta r de equação y = 3 a) Indique as coordenadas de dois pontos da recta e represente-a geometricamente b) Dado o ponto A(3;4), indique a equação da recta : paralela à recta r e que passa por A; perpendicular à recta r e que passa por A c) Averigúe se o ponto P(;5) pertence ao semiplano y > 3 d) Dado o ponto B(3; b b), b R, determine b de modo que ABC em que A ( 1;3), B(0;5) e C( 5;0) a) Calcule : - a distância entre os pontos A e B - BC e AC - o perímetro do triângulo b) Classifique o triângulo quanto aos lados c) Averigúe se o triângulo é rectângulo BC 5 - Considere o triângulo [ ] d) Determine o ponto médio do segmento [ ] e) Escreva uma equação da mediatriz de [ AB ] 6 Mostre que o triângulo [ ] é rectângulo e isósceles sendo B r MAR M ( ;5); A( 4; 1); R(4;3) 7 Determine a equação da mediatriz do segmento [ ] AB, sendo : a) A( 1;3) e B( 4;) b) A( ;4) e B(;8) 8 Determine as coordenadas do ponto A sabendo que M é o ponto médio de [AB] e que: a) B( 3;5) e M (6;3) b) B ( 0;0) e M (; 1) FT4_10 Anodoc ESAS 004/ ANO Página

3 9 Determine: a) Os pontos do eixo dos xx que distam 5 unidades do ponto de coordenadas ( 1;3 ) b) As coordenadas do ponto do eixo Ox que dista igualmente dos pontos ( 1;1) e (5;4) c) As coordenadas do ponto do eixo Oy que pertence à mediatriz de [AB] sendo A( 3;4) e B(4; ) d) Os pontos da recta de equação y = 4 que distam 8 unidades do ponto A( ;) e) As coordenadas dos pontos da bissectriz dos quadrantes ímpares cuja distância ao ponto (;6) é 4 unidades 10 Defina por uma condição o lugar geométrico dos pontos do plano que distam 3 unidades da recta de equação x = 11 Verifique que os pontos M ( 6;10), N( 4; 14) e P( 11; 7) pertencem a uma circunferência de centro C( 1; ) e determine o raio da circunferência 1 Escreva a equação da circunferência com: a) centro em ( 1;3) e raio 5 b) centro em ( 0;0) e raio 3 3 c) centro em ( 3; ) e raio d) centro em (1;) e contém o ponto ( 3;0) e) centro em ( 4; 5) e contém o ponto ( ;0) f) centro em (5;6) e passa na origem g) centro em ( 6; 1) e é tangente ao eixo das h) centro em ( ; 4) e é tangente ao eixo das abcissas ordenadas i) P ( ; 1) e Q( 10;4) extremos de um diâmetro 13 Averigúe se as condições representam equações de circunferências e em caso afirmativo indique o seu centro e raio: a ) ( x 1) + ( y 3) = 9 b) x = 3 y 3 c ) ( x + 3) + ( y ) = 4 d ) ( x ) + y = 0 e ) x + y + x = 0 f ) x + y + x 4y + 1 = 0 g ) x + y 4x = 0 h ) x + y 8x + 4y = 40 i ) x 6x = y y Uma circunferência de equação x + y = 5 foi deslocada unidades para a esquerda e, em seguida, 3 unidades para cima Escreva a equação da circunferência obtida 15 Considere a expressão x + y + 8x 1y = a 5 Determine a de modo que a expressão represente : a) uma circunferência b) um ponto; c) o conjunto vazio 16 Considere os pontos A( 3;0) ; B( 4;) e C(1;) a) Escreva a equação da circunferência de centro em C e que contenha o ponto A b) Averigúe se o ponto (0;1) pertence ao círculo de centro C e que contém o ponto A c) Averigúe se o ponto ( 1+ 7;3) pertence à circunferência de diâmetro [ AB] FT4_10 Anodoc ESAS 004/ ANO Página 3

4 17 Considere a circunferência de equação x + y x + 6y = 1 a) Indique dois pontos da circunferência 1 b) Determine a posição, relativamente à circunferência, dos pontos B ( 1; 6) e C( 1; ) 4 c) Escreva equações das tangentes à circunferência paralelas aos eixos coordenados d) Averigúe se a circunferência intersecta a bissectriz dos quadrantes ímpares 18 Determine a intersecção, com os eixos coordenados, da circunferência ( x + 3) + ( y + ) = 16 Resolva o problema geométrica e algebricamente 19 Represente geometricamente as regiões do plano caracterizadas pelas condições: a) ( x 4) + ( y 4) 16 y 3 b) ( x 4) + y 4 x < 5 c) x + y 9 y < x d) 1 1 x < x + y 1 e) x + y 4x = 0 y = 0 f) x + ( y 3) 9 x + y 5 g) x + ( y 3) 9 x + y 5 h) x + ( y 3) = 9 x + y = 5 i) x + ( y 3) = 9 x + y = 5 j) 1 x + y 4 x 0 k) x 9 y 1 x 1 0 Escreva condições que definem os conjuntos de pontos das figuras: a) b) c) d) FT4_10 Anodoc ESAS 004/ ANO Página 4

5 1 Determine a área sombreada da figura ao lado sabendo que Ox e Oy são eixos de simetria de rectângulo [ ABCD] inscrito na circunferência e A tem as coordenadas ( ;3) Partindo da circunferência de equação x + y = encontre uma equação da figura geométrica que dela se obtém quando cada ponto M ( x; y) é transformado noutro M ( x ; y ) em que x = x e y = 3y Terá havido alongamento ou achatamento? Ao longo de que eixo coordenado? Indique o comprimento dos eixos da elipse obtida 3 Represente geometricamente e indique os comprimentos dos eixos e as coordenadas dos vértices e focos das elipses: a ) x + y = b) x + y = c) x + 4 y = 1 d) 4x + 9y = 36 e) 5 x + y = 100 f) 4x + y = 1 g) 3 = 4x + y h) 9x + 5y = 3 4 Escreva a equação da elip se que tem : a) Centro em ( 0;0), F (;0) e V (3;0) b) Focos de coordenadas (± ;0) e comprimento do eixo maior 8 unidades c) Centro em ( 0;0) e (3;1) e (4;0) são pontos da elipse d) Eixo maior vertical distância focal 4 e cujo comprimento do eixo menor é 10 e) Centro na origem, eixo menor de comprimento 4 e contém o ponto ( 3;1 ) 5 Um ponto da elipse de equação outro? x + y = ta 3 unidad de um d cos Quanto d ta do 4 16 dis es os fo is 6 Represente geometricamente o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias aos pontos A ( 3;0) e B( 3;0) é 10 7 C onsidere uma elipse de focos F 1 ( 3;0) e F (3;0) e tal que a maior distância entre dois dos seus pontos é 8 Qual das afirmações é verdadeira? A) A elipse intersecta o eixo dos yy nos pontos ( 0; 4) e (0;4) ; B) Uma equação da elipse é: x + y = ; C) ponto ( 0; 7) pertence à elipse; D) O comprimento do eixo menor é 14 FT4_10 Anodoc ESAS 004/ ANO Página 5

6 8 Caracterize por uma condição a região sombreada: x y 9 Se uma elipse tem equação + = 1 então a sua área é b a da figura, limitada pela circunferência e a elipse π a b Determine a área sombreada F I M FT4_10 Anodoc ESAS 004/ ANO Página 6