Matemática B Intensivo V. 2

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1 Matemática Intensivo V. Eercícios ) ) C ( ) (5 7) Usando a fórmula do ponto médio: X + X Y + Y C ( ) ERRT: considere (6 ). Temos d () d (C). ssim: ( 6) + ( b ) ( ) + ( 6 b) 9 + b 9 + b b + 6 b 6 b 6 b ) C ( ) ( 9) e C ( ) M ponto médio do lado medida de MC? chando o ponto médio: M ( 66 ) ) chando a distância entre M e C: d ( ) + ( ) d ( 6 ) + ( 6 ) d ( ) + d d 5 d 5 Usando a fórmula com: ( ) ( ) e C ( ) T. T. 5) 6) D T. T. 6 Triângulo PQR P ( ) Q (6 ) e R ( 5) Calculando os valores de: PQ QR RP PQ ( 6 ) + ( ) PQ 6 PQ 6 RP ( ) + ( 5 ) RP 9+ 5 RP QR ( 6) + ( 5 ) QR 9+ 5 QR ssim PQR é um triângulo isósceles mas não equilátero. P ( K) pertence à k + k k + k k K 7) D Do enunciado sabemos: ( ) ( ) C ( ) M T ( + 8 ) (6 + 6 ). T 9. C Matemática

2 8) 9) C ) Mas M( ) + + ssim: + e 6 + Então: ( ) ( 6) C( ). Somando as coordenadas ( ) Dados ( ) ( 6) C( 8) e D( ). Considere M( M M ) ponto médio das diagonais assim: + C + D M + + D + D D + C + D M D D D D 6 Somando: D + D ( 5) ( 9) e C( ). Para e C serem colineares: 5 9 (7 + + ) ( 5 + 6) ( 5 ) e C( ) são diagonais. Precisamos do valor de. Como diagonal do quadrado igual ao lado. vamos achar o valor de C e depois de. d ( C) ( ( 5) ) + ( ) d ( C) 8 + ( 6) d ( C) d ( C) d ( C) ) E ssim l l.. 5 Como perímetro é. l:. 5. Nomeando os vértices: ( ) (9 ) C(8 5) e D( 5). Calculando as medidas: ( 9 ( ) ) + ( + ) CD ( 8) + ( 5 5) CD 9 CD 7 ) ) C ( 8 9) + ( 5 ) D ( ( ) ) + ( 5 ) C + 5 D + 5 C 6 D 9 ssim: Perímetro Perímetro Dados ( ) ( ) C (a b) e C equilátero temos C C. ssim: ( ) ( C) d C ( a ) + ( b ) ( a) + ( b) d a 8a+ 6+ b a + 9 6b+ b 8a b 6b a 6b 7 + 8a b a 6 b a Como o triângulo é equilátero d () d (C) d (C). ssim: d ( ) ( ( ) ) + ( + ) d ( ) d( C) Matemática

3 ) 5) Temos: ( ) ( 6) e C ( ). d (G)? chando M de C: M + C + C M M 9 M 9 gora d ( M) ( ) Mas d ( G) d ( M) ( ) () C (8 ) ssim como ΔC é equilátero: d () d (C) d (C) ( ) + ( ) ( 8 ) + ( ) ( 8 ) + ( ) ssim: ( ) Matemática Voltando à equação original: Δ b. a. c Δ ( 8).. ( ) Δ 6 + Δ 8 ssim: ( 8) ± Como está no primeiro quadrante temos: (5 + 7) 6) D Considerar a alternativa d) que está faltando como: d) da reta será um número negativo cujo módulo é um número par. m Pontos: ( ) e ( ). m Logo m. 7) C Sejam ( ) e ( k). m m k k k k k Daí a reta é dada por: ( ) m( ) ( )

4 8) E Como o coeficiente é linear e b temos: k + b +. Deseja-se saber o valor de m sendo as três retas concorrentes em um mesmo ponto e possuindo a mesma solução. Então a solução obtida pelo sistema das retas r e s devem satisfazer t. 5 i () () ii Fazendo (i) (ii) teremos: 8 8 Substituindo em (i) obtemos: Logo S 5. Substituindo a solução em t obtemos: m 5 m 8 + m 58 9) 5 7 i () + 7 () ii Fazendo (i) (ii) obtemos: 6 Substituindo em (i) teremos: Logo o ponto de intersecção é 7. ) De + k temos: k k k Logo m. k De 5 temos: + 5 Logo m. Como as retas são paralelas teremos: m m k ) C ) k Para que a reta passe pela origem então o ponto ( ) deve satisfazer a equação: (k ). ( k ). + k 7k + 6 k 7k + 6 Resolvendo a equação acima temos: k' ou k'' 6 () 9 L 9 L L L Equação da reta: +.( ) r Matemática

5 ) 6) C Q( ) s r P( ) ) D 5) X M + Y M + + (i) + 8 (ii) De (i) e (ii) temos: + () i + 8 () ii Fazendo (i) + (ii) obtemos: Substituindo em (i) teremos: Portanto P( ) e Q( 5 5). Da reta s temos: + Logo m s. Como as retas são paralelas temos que os coeficientes são iguais. Então a equação da reta é dada por: P m s ( P ) ( ( )) ( + ) + +.( ) Como as retas r e s são paralelas temos m m. Temos ainda n < (ponto de intersecção da reta s e eio das ordenadas). Coeficiente angular: m r Como as r e s são perpendiculares então: m s m r m s Temos ainda b. Portanto a equação da reta s é: m s + b 7) D 5 D 5C C Área do triângulo C: 5C 5 5C 5 Da definição de módulo temos: 5C 5 para 5C 5C 7 C C ou 5C 5 para 5C < 5C C < C 6 Note que segundo o gráfico temos C > e portanto C 6 não serve. Sendo assim a coordenada C é dada por ( ). Equação da reta determinada pelos pontos e C. Matemática 5

6 5 9) D ( 5) C 8) + +.( ) i + () 9+ 6 () ii h C Fazendo (i) + (ii) obtemos: Substituindo 6 em + temos: Logo a área é dada por: C EO 5 Coeficiente angular da reta determinada por : m 6 ( ) Como a reta determinada pela altura é perpendicular (forma um ângulo de 9 ) à reta temos: m h m m h m h Logo a reta determinada pela altura é: c m h ( c ) ( ) 6 +.( ) ) D 7 m + (m ) m (m ) m + m m m + m m (m + ) + (m + 5) m + (m + 5) m + (m + ) m + m m m + 5 Como as retas são paralelas seus coeficientes são iguais ou seja: m + m + 5 m m 6 Matemática

7 ) (m + ) (m ) (m + 5).m m + m m 6 m + 5m m 6 5m 6 m m 6 m Como a reta r é paralela à reta de equação 5 então possuem o mesmo coeficiente angular ou seja m r. Equação da reta r: ( 6) Para 7 temos: Portanto o único ponto que passa pela reta r é 7. ) C m m Logo m. Daí a equação é dada: ( ) + 5 Ponto : Ponto : ) 5 Portanto a área do triângulo O é dada por: Equação da reta s: m tg 5 m Logo do ponto ( ) obtemos: m( ) ( ) (i) Equação da reta r: +.( ) + (ii) De (i) e (ii) obtemos o seguinte sistema: i () + () ii Fazendo (i) + (ii) teremos: 5.( ) 5 Substituindo 5 em (i) teremos: Logo o ponto I é dado por (8 5). Distância de N a I é: d N I ( 6 8) + ( 9 5) Matemática 7

8 d N I d N I d N I d N I gora d C ( ) + ( ) d C d C 5 + ( ) ) D Logo d d C d C e portanto é isósceles. II. Incorreta. r r b Logo os pontos são não colineares e portanto não estão no segmento. 5) Temos: mr m r ml Como m l temos m r Logo m r b. III. Incorreta ( ) + 5 6) função f() é dada por: f ( ) f() + + f() + 6 [ ] ERRT: Para resolução do eercício considere os pontos C e D sendo respectivamente ( ) e. I. Incorreta. d ( ) + ( ) d ( ) + ( ) d Temos ainda: d C ( ) + ( ) I. Falsa. ( ) ( ) d fc d fc d fc 6 5 d fc 6 d fc d C ( ) + ( ) d C 5 d fc 8 Matemática

9 d fc d fc II. Verdadeira. mo moc tg α + mo moc Temos que: 6 m OC 6 6 m O 6 Segue tg α + ( ) tg α tg α 7) C 6 Logo a área é dada por: 6 6 ua.. III. Falsa. Segundo o gráfico acima podemos observar que: D { R/ } Im { R/ } IV. Verdadeira ( ) f 6 ( ) Então 6 f 6 6 ( ). I. Corretas. mo 6 6 mo 6 6 Como m O. m O então os segmentos O e O são perpendiculares. II. Incorreta. Seja α o ângulo formado pelos segmentos: H Logo cos α 5. III. Incorreta. 6 X M Y M 6 Logo o ponto médio é M( ). H 5 IV. Correta. d PO ( ) + ( + ) d PO ( ) + ( + ) d PO d PO d PO Temos ainda: d P ( 6) + ( + ) d P ( ) + ( ) d P d P d P Matemática 9

10 8) 6. Incorreta. rotação do ponto D D' 5 α E D C r C Área ''C': razão de ua C' ' ' 6. Incorreta. Segundo o gráfico concluímos que a imagem do ponto D é dado por D' de coordenadas ( ). 9) 6. Incorreta. Pois D C DC. De fato D é diagonal do quadrado CDE.. Correta. Área do setor circular: R π π círculo π ua... Correta. m r Daí ( ) 8. Incorreta. tg α O tg α tg α Logo α. 6. Incorreto. Pois a refleão é feita de forma perpendicular à reta. ERRT: Para resolução dos eercícios considere a reta r : α +. Reta r : ( ) + Reta r :. Incorreta. Se α 8 temos: Daí obtemos o seguinte sistema: () i + () ii 8 ( iii) Matemática

11 Fazendo (i) + (ii) obtemos: 6 Substituindo em (ii) teremos: + Note que para as três retas passarem em um mesmo ponto o ponto ( ) deve satisfazer a reta 8. Então 8.. (bsurdo!) Portanto as três retas não interceptam o mesmo ponto.. Portanto as retas são perpen-. Correta. mr mr Logo mr m r diculares.. Correta. Se α temos: +. + Substituindo em (i) + Logo ( ). + i r r : () () ii Fazendo (i) + (ii) temos: 6 6 Substituindo em (i) teremos: + Logo C( ). i r r : () + () ii Fazendo (i) + (ii) teremos: 8 r 8 Substituindo em (i) teremos: Logo ( ). r Segue D C Portanto a área é dada por: D ua.. + i r r : () + () ii Fazendo (ii) (i) temos: + r 8. Incorreta. De r temos m. De r temos: α + α + Logo m α. Como as retas devem ser paralelas teremos: m m α α Matemática

12 6. Incorreta. Para α temos: + + Logo m. Temos ainda do item anterior m. Daí o diâmetro é dado por D r. 7 e a área é dada por: πr. (7) Ângulo entre as retas r e r. m m tg β + m m tg β ( ) + ( ) tg β tg β tg β β arc tg β 75. ) C sen 5 5 cos 5 ) E ) D ) E O valor máimo é dado para então: ( ) Resolvendo a equação acima obtemos: ' 5 ou '' (não serve). Logo 5. Portanto ( 7) 9 + ( ) 9 6 ( 7) + ( ) ( 7) + ( ) 6 ( 7) + ( ) (8) Logo os valores máimos são: p q + 8 Daí p + q ( ) + ( ) 9 6 ( ) + ( ) 9 Logo r 7. ) 5) C Logo a intersecção é dada pelo ponto (cos 5 sen 5 ). Centro da circunferência: ( 5). Distância do centro à reta (r) de equação + 5. a + b + c dcr a + b ( ) d Cr d Cr d Cr Como se pode observar o centro pertence ao primeiro quadrante e o ponto O( ) pertence à circunferência. Substituindo o ponto O( ) nas alternativas concluímos que a única equação de centro no primeiro quadrante e que satisfaz o ponto O( ) é: ( ) + ( ). Matemática

13 6) D ERRT: Considere a equação: C. Temos que: C + R 7) 8) C Como o centro é C( ) temos: C ( ) + () 5 C + 5 C Segue C ( ) + Para. + Logo o ponto C( ). Portanto a equação da circunferência de centro C( ) e raio é: ( ) + ( ) ERRT: Para a resolução do eercício considere a equação: ( ) Centro: C( ). Segue + R 75 + R R 75 R 75 R 75 R 5.( ) R 5 R 5 R 5 Portanto o comprimento (altura) da professora é dado por: C R ( π ) C π. R C π. 5 75π u.c. 9) D Intersecção da reta com a circunferência. Distância do centro à reta. C: ( ) Logo a alternativa b está correta. d Cr + + d Cr 5 d Cr 5 Logo a alternativa a está correta. Como d Cr r temos que a reta r é tangente à circunferência. Logo a alternativa c está correta. Coeficiente angular: Logo m r 75 e portanto a alternativa d está incorreta. 5) C (F) Equação da reta ( ) (V) O raio da circunferência é dado por: r d ( ) + ( ) r d + 6 r d + 56 r d r d r d Matemática

14 (F) O centro é dado por: XM + XM X 7 M ) Verdadeira. Centro: C( ) C( ) OK!! Portanto C pertence à reta. + YM YM YM Logo C(7 ). 5) + ( ) + ( ) + 5) D Equação da circunferência. ( 7) + ( ) Equação da reta r: P O ( ) + 6 5) E Distância de ponto e reta (raio da circunferência). R d ro R d ro Equação da circunferência: 6 ( ) + ( ) ) Verdadeira. P( ) ( ) + ( ) 5 + ( ) OK!! Portanto P pertence à circunferência. Coeficiente angular: m T TO T Como PO P temos: m P Equação da reta P : ( ) ( ) Ponto ( ). + ) Falsa pois r 5 Matemática

15 5) D 55) D Equação da circunferência: ( ) + ( ) 5 ( ) + ( ) 5 P( a) ( ) + (a ) a a + 5 a a 5 Para que o ponto P seja eterior devemos ter a a 5 >. 5 Portanto o ponto P é eterior para: > a ou a > 5. 57) Equação da circunferência: ( ) + ( ) ( ) + P(sen a cos a) (sen a ) + cos a (sen a ) + cos a sen a sen a + + cos a (sen a + cos a) sen a sen a sen a sen a Portanto a π 6. Daí tg π 6. Equação da circunferência: ( ) + ( ) ( ) + ( ) 9 Substituindo a equação na equação acima temos: + ( + ) + ( ) ( ) ( ) Logo ' ou '' 58) C I. Correta. Substituindo em + : ' '' ' + '' + ' '' 5 Logo ( ). Logo (5 ). ssim o comprimento da corda é dado por: d ( 5 ) + ( ) D d + d d cm Área do triângulo: D ua.. 56) E Matemática 5

16 II. Incorreta. Reta r: + Logo m r Portanto m s. m r.. ssim as retas r e s são perpendiculares. 59) 8. Incorreta ( ) + ( + ) 9 + ( ) + ( + ) 9 Logo Centro: C ( ) Raio: R Note que o triângulo O não está contido na circunferência. III. Incorreta. + + ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) 5 Centro: C( ). Raio: R 5 Distância do centro à reta r: ( ) d Cr ( ) + d Cr + 5 d Cr 5 5 dcr < 5 R. 5 Logo a reta é secante à circunferência. IV. Correta. Seja s: + + Coeficiente angular. Reta s: Logo m s ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) Logo Centro: C( +) R Portanto as circunferências não são concêntricas.. Correta. m m ( ) ( ) m 6 m. Incorreta. P( ) Portanto o ponto P não pertence à circunferência. 8. Incorreta. Reta r: Logo m r. 6 Matemática

17 Reta s: Logo m s. Portanto m r m s e assim paralelas. 6. Correta. d P d P ( p ) + ( ) ( p ) + ( ) (p ) + (p ) + ( ) p 6p p p + + 6p + p p p p p 6). Correta. Eio das abscissas ( ): ( ) + ( ) 6 ( ) ( ) Resolvendo a equação acima temos: + 7 ou 7 Portanto intercepta o eio das abscissas em dois pontos. Eio das ordenadas ( ): ( ) + ( ) ( ) 6 ( ) Portanto intercepta o eio das ordenadas em um ponto. d cr 5 5 d cr 5 5 d cr < 8. Incorreta. Da reta r temos: + + (ii) (i) Substituindo (i) em c: ( ) + 6 ( ) + ( ) 6 9 9( ) + ( ) ( 8 + 6) Daí temos: Δ b ac Δ ( 5). 5. Δ Δ > Portanto eistem dois pontos de intersecção ou seja r c 6. Correta Logo m < e portanto a reta r é crescente.. Correta. Centro: C( ). Correta. d cr d cr Matemática 7