Preparação para o Teste de Maio 2012 (GEOMETRIA)

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1 Nº8 Matemática: ºA Preparação para o Teste de Maio (GEOMETIA) Grupo I. Num referencial o.n. Oy, considera um ponto A pertencente ao semieio positivo O e um ponto B pertencente ao semieio positivo Oy. Quais das seguintes podem ser as coordenadas do vector AB? (A),, (B),, (C),, (D),,. Na figura está representado um tetraedro regular. A, B, C e D são os vértices do tetraedro e AB 6 O valor do produto escalar BC BD é: (A) 8 (B) 8 (C) 6 (D) 6 A B C D. Na figura está representado um paralelepípedo rectângulo [PQSTUVX]. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) TP QU (B) UQ TX X V (C) PQ TU (D) PQ PV T S U. Considera um vector AB tal que AB. P Q Qual é o valor do produto escalar AB AB? (A) (B) - (C) (D) 5. Na figura está representada, num referencial o.n. Oy, uma recta PQ. O ponto P pertence ao plano yo O ponto Q pertence ao plano Oy P Indica qual das condições seguintes define a recta PQ. (A) 5y (B), y,,, k,5,, k (C) y 5 (D), y,,5, k,,, k Q 5 y 6. Num referencial o.n. Oy, considera os pontos P,, eq,,. Qual dos seguintes pontos pertence ao plano mediador do segmento de recta PQ? (A) A,, (B) B,, (C) C,, (D) D,, ANO LETIVO -

2 y 7. Num referencial o.n. Oy, o ponto de intersecção da recta r : O tem coordenadas (A),, (B),, (C),, 6 (D),, 6 PÁGINA - com o plano 8. Na figura está representado, em referencial o.n. Oy, um cubo. O vértice O é a origem do referencial. O vértice A pertence ao eio O O vértice G pertence ao eio Oy O vértice E pertence ao eio O H é o centro da face [OGFE] Uma equação do plano que contém os pontos D, B e H é y. D E A O H C F B G y Qual é a mediada da aresta do cubo? (A) 5 (B) (C) 5 (D) 9. Considera, num referencial o.n. Oy, os planos e, definidos pelas seguintes equações : e : y. Seja r a recta de intersecção dos planos e. Indica qual das epressões seguintes é uma equação vectorial da recta r. (A) (B) (C) (D), y,,, k,,, k, y,,, k,,, k, y,,, k,,, k, y,,, k,,, k. Considera, num referencial o.n. Oy, dois planos concorrentes, de equações y y 7 7. Seja r a recta de intersecção dos dois planos. Qual dos pontos seguintes pertence à recta r? (A) 5,5, (B),, (C),, (D),, e. Num referencial o.n. Oy, a condição define (A) O conjunto vaio (B) um ponto (C) uma recta (D) um plano. Qual das condições seguintes define, num referencial o.n. Oy, uma recta paralela ao eio Oy? (A) y (B) (C) y (D) y

3 PÁGINA -. Num referencial o.n. Oy, considera as rectas r e s, definidas por: r : y e s :, y,,, k,,, k Qual das afirmações é verdadeira? (A) r e s são concorrentes (B) r e s são não complanares (C) r e s são paralelas (D) r e s são perpendiculares. Num referencial o.n. Oy, as rectas AB e r são paralelas. O vector AB tem coordenadas (, m,) A recta r é definida pala condição y O valor de m é: (A) (B) (C) (D) 5. Para um certo número real k, as rectas r e s, definidas, em referencial o.n. Oy, pelas condições y y 5 k r : s : são coincidentes. Qual é o valor de k? (A) (B) (C) (D) 6. Num referencial o.n. Oy, os planos e são definidos pelas equações: : y e : y. Os planos e são (A) Coincidentes (B) estritamente paralelos (C) concorrentes não perpendiculares (D) perpendiculares 7. Dois planos e são estritamente paralelos. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) Qualquer recta contida em é paralela a qualquer recta contida em. (B) Há rectas contidas em que intersectam. (C) Há rectas perpendiculares a que não são perpendiculares a. (D) Dada uma recta contida em, eistem em infinitas rectas que lhe são paralelas. 8. Sejam e dois planos perpendiculares. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) Qualquer recta paralela a é paralela a. (B) Qualquer recta paralela à intersecção de e é paralela a. (C) Qualquer recta perpendicular a é perpendicular a. (D) Qualquer recta perpendicular à intersecção de e é perpendicular a. 9. Num referencial o.n. Oy, considera os pontos P,,, Q,, e,,. Qual das condições seguintes define uma recta perpendicular ao plano PQ? (A) y (B) y (C) y (D) y

4 PÁGINA -. Considera, num referencial o.n. Oy, uma recta r, perpendicular ao plano yo. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) A recta r é perpendicular ao plano Oy (B) A recta r está contida no plano Oy (C) A recta r é perpendicular ao eio O (D) A recta r é paralela ao eio O.. Considera duas rectas distintas, r e s, perpendiculares a um mesmo plano. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) r é perpendicular a s. (B) r e s são concorrentes, mas não perpendiculares. (C) r é paralela a s (D) r e s não são complanares.. Num referencial o.n. Oy, um plano é perpendicular ao plano O. Qual das seguintes pode ser uma equação do plano? (A) (B) y (C) y (D) y y 5. Num referencial o.n. Oy, a condição y 5 (A) Um ponto (B) o conjunto vaio (C) uma recta (D) um plano define. Num referencial o.n. Oy, qual das seguintes equações define uma superfície esférica tangente ao plano yo? (A) y (B) y (C) y (D) y 9 5. Num referencial o.n. Oy uma esfera tem centro no ponto C(,,) e é tangente ao plano Oy. Uma condição que define a esfera é (A) y (B) (C) (D) y y y 6. Considera, em referencial o.n. Oy, a superfície esférica centrada na origem do referencial e cuja intersecção com o plano de equação = é uma circunferência de perímetro 8. Qual das seguintes é uma equação desta superfície esférica? (A) y 9 (B) y 6 (C) y 5 (D) y 6 Bom Trabalho! Prof. Preciosa Teieira

5 PÁGINA - 5 esolução:. a,,, a A e B, b,, b logo AB B A ( a, b,). A resposta certa é então,, (C). Como se trata de um tetraedro regular as faces são triângulos equiláteros logo BC BD 6 e B ˆD 6º C, logo BC BD 6 6 cos(6º ) 8 (A). UQ TX (B).. AB AB cos(º ) (A) 5. P,5, Q,5, PQ,, (D) 6. O vector PQ é um vector normal ao plano mediador de PQ e M(ponto médio de PQ ) é um ponto desse plano. Escrevemos a equação cartesiana desse plano e verificamos que o ponto que pertence é o ponto A,,. (A) 7. O ponto de intersecção da recta com o plano O será do tipo (,,). Substituindo na equação da recta e resolvendo as equações 6 (D) 8. O ponto E é o ponto de intersecção do eio O com o plano DBH e tem de coordenadas (,,). Substituindo na equação do plano, obtemos, logo a aresta do cubo mede. (B) 9. Um vector director da referida recta é, por eemplo,,, e um ponto da recta terá obrigatoriamente que ter abcissa e ordenada logo a resposta certa é (A). Um ponto que pertença à recta terá que pertencer a ambos os planos. Substituindo nas equações dos planos as coordenadas dos pontos, verificamos que a resposta certa é (D). (C). Uma recta paralela a Oy terá um vector director colinear com (,,), logo a resposta certa é (B). Basta reparar que o ponto (,,) pertence a ambas as rectas e que os vectores directores não são colineares para concluir que as rectas são concorrentes. ( Se os vectores fossem colineares as rectas seriam coincidentes e portanto paralelas) (A). Basta determinar m de forma que os vectores,,) ( m e,, ) ( sejam colineares. O valor de m é - (B) 5. Para que as rectas sejam coincidentes e uma ve que são paralelas, o ponto, da recta r, (,,) terá que pertencer à recta s. 5 k k s : k 6.,, n e n,, perpendiculares. (C) 7. (D) 8. (B) (C) não são colineares nem perpendiculares logo os planos são concorrentes não 9. Uma recta perpendicular ao plano PQ terá vector director ortogonal com os vectores PQ e P. PQ,, e P,,. Utiliando o produto escalar verificamos que a resposta certa é (C). (D)

6 PÁGINA - 6. (C). O plano O tem equação y= logo um vector normal a este plano é, por eemplo, n,,. Para que seja paralelo a O os vectores normais a estes planos terão que ser ortogonais. (A). O sistema representa a intersecção de um plano com uma recta. Uma ve que o vector normal ao plano e o vector director da recta são colineares, a recta é perpendicular ao plano. Então a intersecção é um ponto. (A). Todas as superfícies esféricas têm centro (,,). Para que seja tangente ao plano yo, o raio terá que ser. (C) 5. (D) 6. A circunferência obtida pela intersecção da superfície esférica com o plano de equação = tem centro (,,). Se tem perímetro 8 então r 8 r superfície esférica. Então =5 logo a resposta é (C). Uma ilustração desta situação é a que se apresenta sendo o raio da