x = 4 2sen30 0 = 4 2(1/2) = 2 2 e y = 4 2 cos 30 0 = 4 2( 3/2) = 2 6.

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Marcelo Marinho Clementino
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1 CURSO DE PRÉ CÁLCULO ONLINE - PET MATEMÁTICA / UFMG LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Exercício 1 Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo. Solução: No triângulo retângulo ABD, temos que AD mede 4 e sua hipotenusa (BD) é 4 2, a qual é também hipotenusa do triângulo BCD, logo x = 4 2sen0 0 = 4 2(1/2) = 2 2 e y = 4 2 cos 0 0 = 4 2( /2) = 2 6. Exercício 2 Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 40 cm, encontre a medida do lado BC. Solução: No triângulo retângulo DBC reto em B, temos que tg60 0 = x, então BD x = BD...(1). No triângulo retângulo ABC reto em B, temos que tg0 0 = x, então 40+BD x = (40 + BD)...(2) Das equações (1) e (2) : BD = (40+BD), temos que BD = 20, logo x = Exercício Um avião, em vôo retilíneo horizontal, passa por um ponto na vertical acima da cabeça de uma pessoa situada no solo. Em determinado momento, essa pessoa registra que o ângulo de elevação do avião, em relação ao solo, é de 60 0 e que, 15 segundos depois desse registro, é de Suponha que o avião voa a uma velocidade constante de 720 km/h e despreze a altura da pessoa. CALCULE a altura em que estava o avião quando passou acima da cabeça da pessoa.

Solução: O avião foi observado na posição B, com elevação de 60 0 em relação ao solo (o que corresponde a 0 0 em relação à vertical), e 15 segundos após está na posição C, com uma elevação de 45 0

2 Solução: O avião foi observado na posição B, com elevação de 60 0 em relação ao solo (o que corresponde a 0 0 em relação à vertical), e 15 segundos após está na posição C, com uma elevação de 45 0 (veja a figura ao lado): Como o avião voa a 720km/h, a distância de B até C é de = km. 600 Denotemos por x a distância percorrida pelo avião desde o momento em que passa acima da cabeça do observador até ficar com elevação de 60 0 (distância entre os pontos A e B na figura), e por h a altura em que voa o avião (distância de O até A na figura). Como o ângulo AOB mede 0 0, temos: x h = tg(00 ) = 1, Como o ângulo AOC mede 45 0, temos: x + h Substituindo-se x de (b) em (a), obtemos: ou seja h = x...(a) = tg(45 0 ) = 1, ou seja x = h...(b) h = (h ) h = 1. Exercício 4 A figura abaixo representa um raio emitido de um ponto A, refletido pelos especlhos planos 1 e 2, nessa ordem, e captado por um receptor no ponto B. Os espelhor refletores têm 5 metros de comprimento, são paralelos e a diatância entre eles é de 2.8 m. Todos os ângulos entre o raio e os espelhos têm a mesma medida α. Além disso o ponto A está situado numa parede perpendicular aos espelhos refletores e a uma altura h do espelho 1. Se θ é a medida do menor ângulo entre a parede e o raio, DETERMINE a expressão de h em função de θ.

3 Solução: Primeiramente, vamos nomear alguns pontos que aparecem na figura que está reproduzida abaixo. Denotemos por R a extremidade esquerda do espelho 1 e por B o receptor na extremidade direita desse mesmo espelho. Também denotemos por C o ponto em que o raio é refletido no espelho 1 e por P o ponto em que o raio é refletido no espelho 2. Agora, pelo ponto P, tracemos uma reta perpendicular aos espelhos e denotemos por Q a interseção dessa reta com o espelho 1. Como o ângulo entre o raio e o espelho sempre tem a mesma medida α, podemos concluir que P BQ = α. Observemos, agora, que os triângulos ARC e P QB são ambos retângulos e possuem um ângulo congruente ACR = P BQ = α. Daí, segue-se que esses dois triângulos são semelhantes e, em particular, obtemos a seguinte razão entre o comprimento dos lados desses triângulos: AR P Q = RC QB...(1) Nessa relação, temos que AR = h e que P Q = 2, 8. Precisamos, então, calcular RC e QB. Para encontrarmos o comprimento RC basta calcular a tangente do ângulo θ no triângulo retângulo ARC. Desse modo, temos que RC = htgθ. Para encontrarmos o comprimento QB, observemos que o triângulo CP B é isósceles, pois possui os dois ângulos da base congruentes: BCP = CBP = α. Logo o ponto Q é o ponto médio do segmento CB e portanto CQ = QB. Como o espelho 1 tem 5 metros de comprimento temos que RC + CQ + QB = 5 e, portanto, htgθ + 2QB = 5, o que implica, finalmente, que QB = 5 htgθ. 2 Substituindo esses valores na relação de semelhança (1), obtemos h 2, 8 = htgθ. 5 htgθ 2 Simplificando essa igualdade, obtemos uma expressão para a altura h como função do ângulo θ: h = 5 5, 6tgθ. tgθ

4 Exercício 5 Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de raio R. As medidas dos ângulos CAB e ABC são, respectivamente, α e β. CALCULE o comprimento do lado AB em função de R, α e β. Solução: Seja O o centro da circunferência. Consideremos o triângulo isósceles AOB de base AB e representemos por x o comprimento do lado AB e por θ o ângulo AOB: Temos sen(θ/2) = x/2, ou seja, R x = 2Rsen(θ/2). Para finalizar, precisamos obter θ em função de α e β. Para isso observamos que o arco CB subtende o ângulo α e, também, corresponde ao ângulo central COB. Portanto COB = 2α. De modo análogo, concluímos que AOC = 2β, uma vez que o arco AC subtende o ângulo β e corresponde ao ângulo central AOC. Por último, observando que θ = AOC + COB, concluímos que θ = 2(α + β), ou seja, θ 2 = α + β e x = 2Rsen(α + β). Exercício 6 Um cone circular reto de raio r = e altura h = 2 é iluminado pelo sol a um ângulo de 45 0, como ilustrado ao lado: A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos P A e P B, tangentes ao círculo da base do cone nos pontos A e B, respectivamente. Com base nessas informações, (a) Determine a distância de P ao centro O do círculo. (b) Determine o ângulo AOB (c) Determine a área da sobra projetada pelo cone. Solução: O triângulo P OT é isósceles, logo P O = 2.

Os triângulos P OA e P OB são congruentes e AOB = 2θ, então das relações no triângulo retângulo OAP (reto em A), temos que cos θ = 2 cos θ = 1 θ = 2 600, então AOB = 2θ = 120 0.

5 Os triângulos P OA e P OB são congruentes e AOB = 2θ, então das relações no triângulo retângulo OAP (reto em A), temos que cos θ = 2 cos θ = 1 θ = 2 600, então AOB = 2θ = Logo a àrea sombreada é igual área do quadrilatero OAP B menos a área do sector circular de ângulo de Então: A sombra = ( 2 ) 2 1 π ( ) 2 = π. Exercício 7 Nesta figura estão representados um tanque cilíndrico e um cilindro sólido metálico, ambos circulares retos: O cilindro sólido encontra-se apoiado sobre o fundo e a lateral do tanque, que está, inicialmente, vazio. a altura e o raio do tanque medem, respectivamente, 2 m e m. o ponto A pertence ao diametro CD da base do tanque; e o ângulo α = BAD mede (a) Calcule o raio do cilindro sólido metalico (b) Calcule o volume da água necessário para, na situação descrita, se encher completamente o tanque.

6 Solução: Colocando as informações na figura abaixo: No triângulo ADB, temos que BD = 2, logo cos 0 0 = 2 triângulo acima. = AB 2, AB = 4 e AD = 2, ver Como o diametro do tanque é CD = 6, CA = 4. No triângulo ACE, temos que cos 0 0 = 4 =, AE = 8 AE 2, CE = 4. A primeira parte sai, sabendo que AE = 2r = 8, r = 4 (raio do cilindro sólido metálico). O volume de água que cabe no tanque é a diferença entre o volume do tanque e o volume do tronco de cilindro AEGB. Calculemos inicialmente o volume do tronco, veja na figura abaixo os dados coletados para este. V tronco = π( 4 ) m 2 = π m Assim: Vágua = V tanque V tronco = π π m = π( )m.

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