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1 Módulo M9 Geometria nalítica: Pontos e Retas - M Geometria nalítica: Circunferência - 8 M Geometria nalítica: Cônicas 9 - M Números Compleos - M Polinômios 7 - M Equações Polinomiais - 8

2 Geometria nalítica: Pontos e Retas M9 TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD Geometria nalítica: Pontos e Retas (Unesp-SP) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P(, ), Q(, ) e R(, 5), é: a) eqüilátero. b) isósceles, mas não eqüilátero. c) escaleno. d) retângulo. e) obtusângulo. a) d) D C Caderno de tividades D C Pelo enunciado, temos: R(, 5) b) e) D C C D P(, ) M Q(, ) No #PMR (retângulo em M), temos: (PR) (PM) (MR) (PR) 5 PR c) No #RMQ (retângulo em M), temos: (QR) (MQ) (MR) (QR) 5 QR Então: PR QR PQ PR QR ϑ PQ Portanto, o triângulo PRQ é isósceles e não eqüilátero. D C M 9 T 9 N Sendo as linhas da matriz N as coordenadas de,, C e D, respectivamente, temos: (, ), (, ), C(, ) e D(, ), que correspondem à figura: D C (ESPM-SP) figura mostra um quadrado CD representado no plano cartesiano. s linhas da matriz M são as coordenadas dos vértices do quadrado. Multiplicandose a matriz M pela matriz de transformação T dada, obtém-se uma matriz N. ssinale a alternativa que mostra a figura representada pela matriz N. D C M T

3 M9 Geometria nalítica: Pontos e Retas (PUC-RJ) Os pontos (, ), (, ) e (, ) são três vértices consecutivos de um paralelogramo. ssinale a opção que apresenta o ponto correspondente ao quarto vértice: a) (, 7) c) (, ) e) (, ) b) (, 5) d) (, 5) 5 (Unifesp-SP) figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eio O, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos (, ),, C, D, E e F, correspondentes às intersecções das retas e do eio O com a circunferência. Sabendo que (, ), (, ), C(, ) e D( D, D ) são os vértices consecutivos do paralelogramo, que M é o ponto médio de suas diagonais e que as diagonais de um paralelogramo se cruzam no seu ponto médio, temos M: s r (, ) ponto médio de C : M M 7 C O F ponto médio de D : D M D D 7 7 M D Portanto, o vértice D tem coordenadas (, 7). D Nessas condições, determine: a) as coordenadas dos vértices, C, D, E e F e a área do heágono CDEF; b) o valor do cosseno do ângulo O. E (, ) (, ) (Fatec-SP) Seja r a reta que passa pelos pontos (, ) e (5, ). reta s é a simétrica de r em relação à reta de equação. equação de s é: a) 7 d) b) 5 e) 5 c) 5 reta s, simétrica de r em relação à reta de equação, passa pelos pontos (, ) e (5, 5), conforme a figura: equação da reta s é: (, ) (, ) (5, 5) s (5, ) r O H C( 5, ) F 5, D(, ) E(, ) ( ) a) O ponto é simétrico de em relação ao eio O. Os pontos D e E são, respectivamente, simétricos de e em relação à origem. Os pontos C e F pertencem à circunferência e ao eio O. O raio R O, da circunferência, é tal que: ( ) (, ), (, ) e ( 5, ). R O ( ) ( ) 5 OF Dessa forma, os pontos, C, D, E e F têm coordenadas, respectivamente, iguais a (, ), 5,, Os triângulos OF, OC, OCD e OEF têm áreas iguais a: OF 9 H 5 9 S 5 Os triângulos O e ODE têm áreas iguais a: 9 H S 9 Então, a área do heágono CDEF é: S S S ( ) u.a. b) No #O: O O O 9 O 9 cos (O) ( ) ( ) ( ) ( )cos ( O) cos (O) cos (O),

4 (UFV-MG) figura abaio ilustra um quadrado de lado 8 com vértices situados sobre os eios coordenados. Seja r a reta suporte do lado do quadrado que passa por, e C : a) Se a e b são as coordenadas do ponto, ou seja, (a, b), determine a soma a b. b) Determine a equação da reta que passa pelos pontos e. O C r Geometria nalítica: Pontos e Retas 8 (MCK-SP) Desempregados (mil) C M9 D t (meses) O gráfico acima mostra a evolução da quantidade de pessoas desempregadas (em mil), a partir de determinado momento, em certa região. Se i // a, o número de pessoas desempregadas, 5 meses após o início das observações, é: a) c) 5 e) b) d) 5 Como o quadrado tem lado 8, 8 e Q representam metade da diagonal do quadrado, ou seja, O OC, portanto (, ) e C(, ). equação da reta r será: a) O ponto (a, b) 7 r:. Logo, a b. b) equação da reta que passa por e é a equação de r:. d C 5 O coeficiente angular da reta q é m. O coeficiente angular da reta & // q também é e & passa por C(, ). equação da reta &, sendo t a abscissa e d a ordenada, é: t d (t ) d t d t d Para t 5: 5 d,5 (em mil) Portanto, o número de desempregados, após 5 meses do início da observação, é 5. D t 7 (UFMG) Os pontos (, ) e (, 7) são vértices do triângulo C, retângulo em. O vértice C está sobre o eio O. abscissa do ponto C é: a) 8,5 b) 9 c) 9,5 d) 8 7 Como o triângulo C é retângulo em, temos: M C 9 M 9 C 8 C C(c, ) 5

5 M9 Geometria nalítica: Pontos e Retas 9 (FGV-SP) a) No plano cartesiano, mostre que as retas de equações 8 concorrem num mesmo ponto e obtenha esse ponto. b) Discuta, em função do parâmetro m, a posição relativa das retas de equações 5 m a) Vamos tomar inicialmente duas das retas e fazer sua intersecção: 9 e s retas e concorrem no ponto (, ). Esse ponto também pertence à reta 8, pois 9 8. Portanto, as três retas concorrem no ponto (, ). b) Calculando os coeficientes angulares das retas: 5 r : 5 m r r :m m mr m Se m, as retas são paralelas. Se m ϑ oncorrentes, as retas são c. (FGV-SP) No plano cartesiano, o ponto da reta r: 5 mais próimo da origem tem coordenadas cuja soma vale: a) b) c) d) e) (UFRJ) Um avião taia (prepara-se para decolar) a partir de um ponto que a torre de controle do aeroporto considera a origem do eios coordenados, com escala em quilômetros. Ele segue em linha reta até o ponto (, ), onde realiza uma curva de 9) no sentido anti-horário, seguindo, a partir daí, em linha reta. pós algum tempo, o piloto acusa defeito no avião, relatando a necessidade de abortar a decolagem. Se, após a mudança de direção, o avião anda (um) quilômetro até parar, para que ponto do plano a torre deve encaminhar a equipe de resgate? O Equação da reta r que passa por O(, ) e (, ): m r s Equação da reta s que passa por (, ) e é perpendicular a r, sendo m s : ( ) O avião deve passar por um ponto P(, ) tal que P 7 s e P. P ( ) ( ) ( ) ( ) Substituindo em : ( ) ( ) 89 Σ Σ δ φ r (não convém) O Seja s a reta que passa pela origem e é perpendicular à reta r. Como m m r s, a equação da reta s é: ( ) O ponto da reta r mais próimo da origem é o ponto de intersecção entre as retas r e s, obtido pela solução do sistema: P s r Para, em temos: E o ponto procurado é: P,, ou e Portanto, o ponto de r mais próimo da origem é P,, cuja soma 5 5 das coordenadas é 5.

6 (UEL-PR) No gráfico abaio, cada divisão dos eios corresponde a uma unidade. equação da reta que passa por P e é perpendicular à reta r dada é: a) b) c) 9 d) 9 8 e) 8 9 reta r corta os eios coordenados em (, ) e (, ), sendo sua equação: ou, cujo coeficiente angular é m r. Sendo s a reta que passa por P(5, ) e é perpendicular à reta r, então m s. equação de s é: ( 5) 9 r unidade Geometria nalítica: Pontos e Retas P M9 (Fuvest-SP) Sejam (, ), (8, ) e C(, ) os vértices de um triângulo e D(u, v) um ponto do segmento p. Sejam E o ponto de intersecção de i com a reta que passa por D e é paralela ao eio e F o ponto de intersecção de o com a reta que passa por D e é paralela ao eio. a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero EDF. b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero EDF é máima. Pelo enunciado, temos a figura abaio, em que, u, 8. C(, ) F(t, v) (, ) D(u, v) E(u, ) a) Calculando as medidas de EDF, em função de u: Reta t: (8, ) u u v 8 8 Como D(u, v) pertence à reta t: ed u, Reta w: ou (IMEC) Considerando o triângulo MNP, sendo M(8, ), N(, ) e P( 8, ), determine: a) o valor da altura relativa ao lado MP; b) o tamanho da mediana relativa ao vértice M. a) reta que passa pelos pontos M(8, ) e P( 8, ) tem equação: 8 8 Logo, a altura do #MNP, relativa ao lado MP, é a distância do ponto N(, ) à reta MP. d 9 N, MP ( ) 5 5 b) Seja Q o ponto médio do segmento NP. Q ( 8) ( ) Q Logo, a mediana do #MNP, relativa ao vértice M, é a distância entre os pontos M e Q. d MQ (8 ( )) ( ) 9 Como F(t, v) pertence à reta w: t v ef u 8 8 u, 9 8 u u 8 9 No trapézio EDF, temos: E u; ED v 8 u DF u t u t (pois t, e está no semi-eio negativo das abscissas) u u DF u Área do trapézio: (DF E) 9ED S 8u 8 8 u u 9 9 (7u 8) 9(8 u) 7u 8u S b) Como S( u) u u, então o valor de u para o qual a área é máima é o valor da abscissa do vértice da parábola representada pela função acima. b 8 u v a

7 M9 Geometria nalítica: Pontos e Retas 5 (MCK-SP) melhor representação gráfica dos pontos (, ) do plano, tais que ( ) 9 ( ),, é a parte colorida da alternativa: a) b) d) e) (FGV-SP) a) Represente os pontos do plano cartesiano que satisfazem simultaneamente as relações > e <. b) Uma empresa fabrica uma peça de precisão em dois modelos, e. O custo de produção de uma unidade de é R$, e o de é R$ 5,. Por restrições de orçamento, a empresa pode gastar por mês no máimo R$ 5,. mão-de-obra disponível permite fabricar por mês no máimo 5 peças. Seja a quantidade produzida por mês de e a de. Represente graficamente os possíveis valores de e. (dmita, para simplificar, que e assumam valores reais não negativos.) a) c) 5) > 5) < região do plano cartesiano que satisfaz simultaneamente as relações > e < é dada por:. e, ( ) 9 ( ), Θ ou, e. s soluções do sistema são representadas por: 5) 5) b) partir do enunciado, com > e >, temos: < 5 5 < 5 Então: 5 5 total de peças custo < 5 < 9 s soluções do sistema são representadas por: < < 9 9 região do plano cartesiano que satisfaz simultaneamente as relações < 5, < 9, > e > é dada por: Então, as soluções da inequação dada são representadas por: 5 (5, ) 5 5 8

8 7 (PUC-RJ) Qual a área do triângulo delimitado pelos pontos (, ), (, ) e (, )? S u.a. Geometria nalítica: Pontos e Retas M9 9 (PUC-RS) representação que segue é das funções f, g, definidas por f() e g(). área do triângulo cujos vértices são os pontos de intersecção das duas curvas e o ponto (, ) é: a) b) c) 8 d) e) (UFU-MG) Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices, e C têm coordenadas (, ), (, ) e (, ), respectivamente. Se M e N são os pontos médios de i e p, respectivamente, a área do triângulo OMN será igual a: a) 5 u.a. b) 8 5 u.a. c) u.a. d) u.a. Se M é ponto médio de i, temos: M M Se N é ponto médio de p, temos: N N área do #OMN é dada por: Área u.a. Os pontos de intersecção das curvas f() e g() são obtidos por meio da resolução do sistema: e ou e Logo, a área do triângulo com vértices nos pontos (, ), (, ) e (, ) é: S S ur ur Para que as retas e P sejam perpendiculares, devemos ter: m. m P n 9 n m m (UFP) Considere os pontos (, ) e (, ). Determine o ponto P(m, ur n), com m e n negativos, de modo que as retas r e P sejam perpendiculares e o triângulo de vértices, e P tenha área igual a. Para que o triângulo de vértices, e P tenha área igual a, devemos ter: m n S m n m n 8 # De e, vem: n m m n 8 m n 7 P(, 7) 9

9 M9 Geometria nalítica: Pontos e Retas (Fuvest-SP) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (, ). O produto de seus coeficientes angulares é e a reta s intercepta o eio no ponto (, ). área do triângulo delimitado pelo eio e pelas retas s e t é: a) a) b) c) d) 5 e) reta s, que passa pelos pontos (, ) e (, ), tem equação: ou Essa reta s tem coeficiente angular m s e intercepta o eio das abscissas no ponto (, ). Sendo mt 9 ms mt E a reta t que passa por (, ) e tem coeficiente angular tem equação: ( ). Essa reta t intercepta o eio das abscissas no ponto (, ). Temos, então, o seguinte esboço da situação: (MCK-SP) Na figura, temos os esboços dos gráficos de 7 e a. Se i é paralelo ao eio horizontal, então a área do triângulo C é: b) 7 c) 8 d) 5 e) Como e C são pontos da reta w de equação 7, então (, ) e C(, 8). 8 ι 8 r C(, 8) C s Q (, ) t P(, ) (, ) (b, ) H (, ) (, ) b O triângulo P pedido tem área: S # P 9 PH 9 O ponto C pertence à curva de equação a, portanto 8 a 9 a 8. Os pontos e têm ordenadas iguais a, e (b, ) pertence à curva de equação a : a 9 b 8 9 b b área do triângulo cujos vértices são os pontos (, ),, e C(, 8) é: S # 9 8 7

10 (IT-SP) Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes angulares e, respectivamente, se interceptam na origem O. Se 7 r e C 7 s são dois pontos no primeiro quadrante tais que o segmento p é perpendicular a r e a área do triângulo OC é igual a 9, então a distância de ao eio das ordenadas vale: a) 8 5 b) 5 c) 5 d) 5 Geometria nalítica: Pontos e Retas e) De acordo com o enunciado, pode-se concluir que uma equação da reta r é e uma equação da reta s é. Como 7 r, se designarmos d (d. ) a distância de ao eio das ordenadas, então o ponto terá coordenadas d e d, ou seja, (d, d). M9 (Unesp-SP) Sejam (, ) e (5, ) pontos do plano e r a reta de equação. a) Represente geometricamente os pontos e e esboce o gráfico da reta r. b) Se C,, com., é um ponto da reta r, tal que o triângulo C tem área, determine o ponto C. a) reta r, de equação, passa, por eemplo, pelos pontos (, ) e (, ); então a representação gráfica pedida é: r r (d, d) (, ) (5, ) O(, ) s C a, a b) Se C,, com., é um ponto da reta r, tal que o triângulo C tem área, então: Como C 7 s, se designarmos a (a. ) a abscissa de C, então a sua ordenada será a ou seja C a a,,,. C, reta t tem coeficiente angular, pois é perpendicular a r. ssim: a d 5d a a d a e a 5d d a d O triângulo OC tem área igual a 9. 5 ssim: d d 5d 5d 5 5 5d 5d # C 9 (, ) 8 O ponto C tem coordenadas: C(8, ). (5, ) 5d 5d d d (pois d. )

11 M9 Geometria nalítica: Pontos e Retas 5 (Unifesp-SP) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações e, a área do triângulo de vértices (, ), (, ) e P é: (Unifesp-SP) Considere a região colorida na figura, delimitada pelo eio O e pelas retas de equações e k, k.. a) b) 5 c) 8 d) e) s coordenadas do ponto P podem ser obtidas resolvendo-se o sistema: 5 e P, 9 Sendo (, ),, (, ), e P,, temos a figura: O (k) Nessas condições, epresse, em função de k: a) a área (k) da região colorida; b) o perímetro do triângulo que delimita a região colorida. k 9 C Do enunciado, temos a figura: 9 O P D 5 S : área do retângulo CDO S : área do triângulo O S : área do triângulo CP S : área do triângulo PD k O k C (k) área S pedida é tal que: S S (S S S ) S S a) (k) O 9 C (k) k 9 k (k) k b) No triângulo retângulo OC, temos: (OC) (O) (C) (OC) k (k) OC k 5 Logo, o perímetro P pedido é: P OC O C P k 5 k k P k( 5 )

12 Geometria nalítica: Circunferência M TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD Geometria nalítica: Circunferência (UFC) O segmento que une os pontos de intersecção da reta com os eios coordenados determina um diâmetro de uma circunferência. equação dessa circunferência é: a) ( ) ( ) 5 b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) 5 d) ( ) ( ) 5 e) ( ) ( ) Intersecção da reta com os eios coordenados: Ι (, ) Ι (, ) O centro da circunferência é o ponto médio de i: C, (, ) Caderno de tividades (UFSCar-SP) O raio da circunferência inscrita em um triângulo de lados a, b e c pode ser calculado pela fórmula r (p a) 9(p b) 9(p c), em que p é o semipe- p rímetro do triângulo. Os catetos de um triângulo retângulo medem e e estão sobre os eios cartesianos, conforme a figura. Determine nesse triângulo: a) o raio da circunferência inscrita; b) a equação da circunferência inscrita. O raio da circunferência é r ( ) ( ) 5. Portanto, a equação da circunferência é: ( ) ( ) ( ) 5 5 Sendo a, b e c a hipotenusa do triângulo, temos: c a b c ssim: 5 e p 5 a) r ( ) 9( ) 9( 5) 9 9 r r b) circunferência inscrita nesse triângulo tem centro C(, ) e raio r. ssim, a equação dessa circunferência é: ( ) ( ) (PUC-RS) Uma circunferência tem centro na intersecção da reta com o eio das abscissas e passa pelo ponto de intersecção das retas 8 e. equação dessa circunferência é: a) d) ( ) b) ( ) e) ( ) ( ) c) ( ) Seja P o ponto de intersecção das retas 8 e. s coordenadas de P são dadas por: 8 O raio da circunferência com centro C(, ) e que passa por P(, ) é: raio d ( ) ( ) PC Logo, a equação dessa circunferência será: ( ) ( ) ( ) ( ) (Unesp-SP) Considere a circunferência ι, de equação ( ) 5. a) Determine o ponto P(, ) pertencente a ι, tal que e.. b) Se r é a reta que passa pelo centro (, ) de ι e por P, dê a equação e o coeficiente angular de r. a) Se P 7 ι e, temos: ( ) 5 ( ) Σ Se (não serve, pois. ). Se P(, ). b) reta r que passa pelos pontos P(, ) e C(, ) tem equação: O coeficiente angular de r é m r.

13 M Geometria nalítica: Circunferência 5 (Unicap-PE) Qual o valor do diâmetro de uma circunferência cuja equação cartesiana é 9? Transformando a equação 9 : ( ) ( ) e representa uma circunferência com centro no ponto (, ) e raio. Logo, o seu diâmetro será: r. 7 (UFSCar-SP) Dados os pontos (, ), (, ) e C(, ), vértices de um triângulo, o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo é: a) b) c) d) e) C(, ) (, ) (, ) (PUC-SP) Seja a equação da circunferência de centro Q representada no plano cartesiano abaio. Como o triângulo C é retângulo em, então a circunferência circunscrita ao triângulo tem o segmento o como diâmetro. (Cj é ângulo inscrito em uma semicircunferência.) Portanto, a medida do raio é: C ( ) ( ) P N Q Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o eio das abscissas e o vértice N pertence à circunferência, o ponto N é dado por: ( ) d) (, ) (, ) e) (, ) ( ) a), b) c), circunferência de equação ( ) tem centro Q(, ) e raio r. Sendo PQMN um quadrado com diagonal QN r : P Q(, ) N M QM M O QN QM QM Então, M. Dessa forma, temos: e. ( ) Portanto: N,. N M N (lado do quadrado) 8 (Fuvest-SP) Os pontos (, ) e (, ) são vértices consecutivos de um paralelogramo CD situado no primeiro quadrante. O lado # é perpendicular à reta e o ponto D pertence à circunferência de centro na origem e raio 5. Então as coordenadas de C são: a) (, ) b) (, ) c) (5, ) d) (5, ) e) (5, ) Como a reta % é perpendicular à reta, então m D. reta % passa pela origem, então sua equação é: ( ) ou O ponto D pertence à circunferência de equação 5: D(, ) 5 Como CD é um paralelogramo: CD D (, ) C D 5 C D C(5, ) C

14 9 (UERJ) Um dado triângulo é formado pelas retas r, s e t, abaio descritas. r: t: 9 s: Calcule, em relação a esse triângulo: a) sua área; b) a equação da circunferência circunscrita a ele. Vamos determinar os vértices, e C do triângulo: C (, 5) 5 C(, ), # 5 a) S D em D 5, que S # 97,5 b) O centro O da circunferência circunscrita é tal que O Q 8. Fazendo O(a, b), temos: 5 (a ) (b 5) a (b a (b ) ) Resolvendo o sistema, obtemos: 9 7 a e b 9 7 Logo, O,. Portanto, r O O OC 9 7 r 9 7 Equação da circunferência: Geometria nalítica: Circunferência M Em questões como a, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. (UFSC) ssinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s). () é a equação da circunferência de raio r, que é concêntrica com a circunferência 9. () O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (, ) e (, ) é. () O ponto P(, ) é um ponto da circunferência de equação. (8) s retas r: 5 e s: são perpendiculares. () Sabe-se que o ponto P(p, ) é eqüidistante dos pontos (, ) e (, ). abscissa do ponto P é.. Incorreta circunferência de equação ( ) ( ) 9 possui centro (, ) e raio, mas não é concêntrica à circunferência de equação 9 ( ) ( ), que possui centro (, ) e raio.. Correta m ( ) ( ). Incorreta 9 ϑ 8. Incorreta 5 r : 5 e possui coeficiente angular m r. s: e possui coeficiente angular m s. Logo, r é paralela a s.. Correta Se P(p, ) é eqüidistante dos pontos (, ) e (, ), devemos ter: (p ) ( ) (p ) ( ) (p p 9) (p p ) p p Portanto: 8 (UFC) Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto (, ). equação pode ser escrita na forma: ( ), que representa uma circunferência de centro C(, ) e raio r. (, ) r Como a reta tangente deve ser perpendicular ao raio no ponto de tangência (, ), observando a figura concluímos que a reta r procurada deve ter equação. 5

15 M Geometria nalítica: Circunferência (UniFEI-SP) Dadas a circunferência e a reta k, com k 7 ς, para que valores de k essa reta intercepta a circunferência em dois pontos distintos? Transformando a equação para sua forma reduzida: ( ) ( ) circunferência de equação ( ) ( ) possui centro no ponto (, ) e raio. C (UFPR) Considere as seguintes informações: C é uma circunferência de raio igual a e centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares; um ponto estará no interior da circunferência C se a distância do ponto à origem do sistema for menor do que. ssim, é correto afirmar: I. equação da circunferência C é. II. O ponto P(cos ω, sen ω) pertence à circunferência C, qualquer que seja o número real ω. III. reta intercepta a circunferência C em dois pontos. IV. reta é tangente à circunferência C. V. O ponto (, ) está no interior da circunferência C. VI. O gráfico da função sen intercepta o eio apenas uma vez no interior da circunferência C. (MCK-SP) Uma reta tangente à curva, no ponto de abscissa, encontra o eio das ordenadas num ponto P. distância da origem a esse ponto é: a) 9 b) c) d) e) 8 curva de equação é uma circunferência de centro C(, ) e raio r. Para, a partir da equação Σ, temos os pontos (, ) e (, ) como sendo os pontos de tangência para as retas procuradas. Para que a reta horizontal k intercepte a circunferência em dois pontos distintos, devemos ter:, k,. I. Incorreto circunferência de raio e centro na origem tem equação ou. II. Correto cos ω sen ω, qualquer que seja o número real ω. III. Correto reta intercepta a circunferência nos pontos (, ) e (, ), que é o resultado do sistema, portanto em dois pontos. IV. Correto reta horizontal tangencia a circunferência no ponto (, ), que é o resultado do sistema. V. Incorreto distância do ponto (, ) à origem é d ( ) ( ).. VI. Correto única intersecção do gráfico da função sen com o eio, no interior da circunferência, é a origem (ver figura). t O P (, ) (, ) Sendo OP OP, pode-se considerar, para efeito de cálculos, qualquer uma das tangentes (t ou t ). Vamos considerar a reta tangente (t ), que passa pelo ponto (, ) e tem coeficiente angular m m. O π π π π sen P t equação da reta t é: ( ). Fazendo e P (, ) é o ponto onde t encontra o eio das ordenadas. distância da origem a esse ponto é. Caso tivéssemos escolhido a reta tangente t, obteríamos P (, ), cuja distância à origem é.

16 5 (IMEC) Num sistema de coordenadas cartesianas O considere a seguinte região: R: >, > < > Logo, a área da região R, em unidades de área, é igual a: a) π c) π e) π b) π d) π região R do plano que satisfaz as condições do eercício é a colorida, cuja área é obtida por: O S R π9 9 π (PUC-PR) Se a equação da corda do círculo 9, que tem por ponto médio o ponto (, ), é da forma a b c, então a b c vale: a) b) 5 c) d) e) 8 equação 9 representa um círculo com centro na origem e raio 7. reta r, suporte da corda do círculo, e que tem por ponto médio o ponto (, ), é perpendicular à reta s, que passa pelo centro do círculo e por esse ponto médio. M (, ) s S R S setor 9) S #O (, ) Como o coeficiente angular de s é m S, o coeficiente de r é e a equação de r será: ( ) 5 Se a equação da corda é do tipo a b c, temos: a b, portanto: a b c 8 c 5 r Geometria nalítica: Circunferência M ( ) 7 (UF) Considerando-se, no sistema de coordenadas cartesianas, os pontos (, ), (, ) e C(, ), podese afirmar: () Se Cδ é o ponto simétrico de C em relação à reta, então a reta que passa por Cδ e pela origem tem equação. () O triângulo de vértices nos pontos, e C é retângulo em. sur () reta C faz ângulo de 5) com o eio O. (8) plicando-se ao ponto uma rotação de 5) em torno do ponto C, obtém-se o ponto,. () área do triângulo de vértices nos pontos, e C mede u.a. () equação da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices nos pontos, e C é. () O raio da circunferência com centro na origem e tangente à reta mede u.c. sur. Correto m w tg (k) 5) 8. Correto C ( ) δ,. Incorreto área do #C é: e. Incorreto Se Cδ(, ) é o simétrico de C em relação à reta, a reta que passa por Cδ e pela origem tem equação S # u.a.. Incorreto circunferência circunscrita ao #C tem centro (, ) e raio, portanto de equação: ( ) ( ). Correto sur O raio da circunferência com centro na origem e tangente à reta 5), temos: 5) 5) C raio d, Portanto: 8 78 u. c.. Correto m e m w q. E como as retas são perpendiculares, temos: m w 9 m q δ C 5) sur. é igual à distância da origem à reta sur Logo, como a equação da reta é dada por 7

17 M Geometria nalítica: Circunferência 8 (Unicamp-SP) s equações ( ) e ( ) representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eio das abscissas. a) Encontre, se eistirem, os pontos de intersecção das duas circunferências. b) Encontre o valor de a 7 ς, a ϑ, de modo que duas retas que passam pelo ponto (a, ), sejam tangentes às duas circunferências. 9 (Unicamp-SP) a) reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m.. circunferência C passa pelos pontos (, ) e (, ) e tem centro no eio. Para qual valor de m a reta r é tangente a C? b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção de r com C. circunferência ( ) tem centro C (, ) e raio r. circunferência ( ) tem centro C (, ) e raio r. a) s circunferências se interceptam num único ponto: a origem do sistema de coordenadas cartesianas. r C (, ) r C (, ) a) Se a circunferência passa pelos pontos (, ) e (, ) e tem centro C no eio, então C, (, ) e o raio é r. reta r, que passa pela origem (, ) e tem coeficiente angular m., tem equação: m( ) m, em que m tg θ. O T θ (, ) C(, ) (, ) O mesmo resultado seria obtido resolvendo-se o sistema ( ), que tem por solução única o par (, ). ( ) b) s tangentes às duas circunferências, passando pelo ponto (a, ), no gráfico abaio, são tais que: (a, ) #T C Κ #T C C C TC a TC a T r C T C a a a a Σ r Como (a, ) está no semi-eio negativo do eio das abscissas, temos a. t t No #OTC: (OT) (TC) (OC) (OT) OT tg θ m OT b) Se Portanto, m, m,, a reta r é secante à circunferência, e temos o #C. M d C(, ) Para calcular a área do #C obtemos d, que é a distância do centro C(, ) à reta m : m 9 m d m m No #MC: m M M m Então: 9 M 9 área do #C é: # C 9 9 d. m. m m 9 m m m m m m m m 8

18 Geometria nalítica: Cônicas M TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD Geometria nalítica: Cônicas (UFC) O número de pontos de intersecção das curvas e é igual a: 5 a) b) c) d) 5 e) representa uma circunferência de centro C(, ) e raio r. representa uma elipse com semi-eio maior igual a 5 5 e semi-eio menor igual a. Fazendo um esboço das duas curvas no mesmo sistema cartesiano: Caderno de tividades Em questões como a, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I e as falsas, na II. (Unicap-PE) figura abaio representa uma elipse. São dadas as seguintes informações: a b a 5 c c O F b a a F D C Teremos, portanto, quatro pontos (,, C e D) de intersecção entre as duas curvas. Obs.: Podemos também resolver o sistema, obtendo 5 como resultado os pares,,,,,,,, que representam os quatro pontos de intersecção. (FGV-SP) No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas cos t e 5 sen t com t 7 ς é: a) uma senóide d) uma circunferência b) uma cossenóide e) uma elipse c) uma hipérbole cos t cos t 5 sen t sen t 5 cos t sen t 5 equação em questão representa uma elipse. I II a b c ecentricidade é dada pela razão entre c e a. equação da elipse acima é b c. distância focal é c. medida do eio menor é a. Verdadeira O #O F é retângulo, portanto: a b c. Verdadeira c ecentricidade é e. a Falsa equação da elipse é:. a b Verdadeira distância focal é F F c. Falsa O eio menor é b. I II 9

19 M Geometria nalítica: Cônicas (UERJ) O logotipo de uma empresa é formado por duas circunferências concêntricas tangentes a uma elipse, como mostra a figura ao lado. elipse tem ecentricidade, e seu eio menor mede 8 unidades. área da região por ela limitada é dada por a 9 b 9 π, em que a e b são as medidas dos seus semi-eios. Calcule a área da região definida pela cor verde. Sendo: a medida do semi-eio maior b medida do semi-eio menor c metade da distância focal e ecentricidade Pelos dados do problema, temos: c a e, c a 5 5 b 8 b Na elipse sempre temos: a a b c a a 5 a 5 5 Área da elipse: S E a 9 b 9 π π π Área do círculo maior, cujo raio é a 5: S π5 5π Área do círculo menor, cujo raio é b : S π π Área da região definida pela cor verde: S S S E S 5π π π π 5 5 (IT-SP) Sabe-se que uma elipse de equação tangencia internamente a circunferência a b de equação 5 e que a reta de equação é tangente à elipse no ponto P. Determine as coordenadas de P. Equação 5 representa uma circunferência de centro (, ) e raio r 5. Se a reta tangencia a elipse num ponto P(, ), temos o seguinte esboço do problema: a a reta e a elipse a 5 a 5 b 5 a P(, ) r: 5 a 5 ( ) a Na elipse a b, temos: b 5 b 5. são tangentes: 5 ( 9a ) a a Como esse sistema terá uma solução única P(, ), temos: (a ) ( 9a ) 9 a 7a 8a 7a 8a 8a (9a ) 9a (pois a ϑ ) e a 9 Para determinar o ponto P, resolvemos o sistema 9, cuja solução é e, que são as coordenadas de P. 9

20 (UFMG) Considere a parábola de equação 8 e a reta que contém os pontos (, ) e (, 8). Sejam e os pontos da intersecção entre a reta e a parábola. Determine a equação da mediatriz do segmento. reta que contém os pontos (, ) e (, 8) tem equação: Os pontos e, intersecção entre a reta e a parábola, têm coordenadas: (ESPM-SP) Na figura abaio estão representadas uma parábola de equação e uma reta que passa pela origem e pelo vértice da parábola. razão OV : V é: a) : b) : c) : 5 d) : V e) : 5 parábola de equação possui vértice b V, (, ) a a O reta que passa pela origem e pelo vértice da parábola tem equação: ou ainda Resolvendo o sistema (, ) ou Para Θ : (, ) Para Θ : (, ) Coeficiente angular da reta q: m q Ponto médio de i: M, 5, equação da mediatriz do segmento i passa pelo ponto médio de i e é perpendicular a i: m m i Equação da mediatriz: 5 7, obtemos os pontos V(, ) e Geometria nalítica: Cônicas (m) O D P R 5 (m) M 8 (Unifesp-SP) figura representa, na escala : 5, os (m) trechos de dois rios: um descrito pela parábola e o outro pela reta 5. De todos os possíveis canais retilíneos ligando os dois rios O (m) e construídos paralelamente canal ao eio O, o de menor comprimento real, considerando a escala da figura, mede: a) m c) m e) m b) 5 m d) 5 m Representando por D o comprimento real de um possível canal retilíneo ligando os dois rios, paralelamente ao eio O, temos: D() 5( P R ) D() 5[ ( 5)] D() 5( 5) 5 5 (função do o grau) s coordenadas do vértice da parábola da função D() 5 5 são: b V e D() 5 5 a V(, ) Portanto, o menor comprimento real dos possíveis canais é m. 9 (UFJF-MG) O valor de m 7 ς para o qual a reta m( ) seja tangente à parábola é: a) b) c) d) e) 5 m( ) Θ reta Θ parábola Obtenção dos pontos comuns à reta e à parábola: m( ) m (m ) reta deve ser tangente à parábola; logo,. m 9 (m ) m m mδ mφ OV e V Portanto, a razão OV V :.

21 M Geometria nalítica: Cônicas (IT-SP) Os focos de uma elipse são F (, ) e F (, ). Os pontos (, 9) e (, ),. estão na elipse. área do triângulo com vértices em, F e F é igual a: a) b) 8 c) 5 d) e) Do enunciado, temos a figura: (IT-SP) Sabendo que 9 5 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal ( ) ( 9) ( 8) ( 7) 9( 8) ( 7) ( 8) ( 7) 9 ssim, a e b 9. Temos que: c a b c 9 c 5. Portanto, a distância focal é 9 5, ou seja,. (, 9) a F (, ) semi-eio maior: a 9 semi-eio menor: b semidistância focal: c (UFRJ) Determine o comprimento do segmento cujas etremidades são os pontos de intersecção da reta com a parábola. c d F b ε m Temos que: b c a b 9 b 5 ssim, uma equação da elipse é 8 5 Como (, ) pertence à elipse, temos: 8 5. Os pontos de intersecção das duas curvas são tais que, ou seja, 5 e. 5 ssim, o segmento m assinalado na figura mede: 5 5 Como ε 5, temos que 5 d cos 5. 5 Logo, a área do #F F é igual a 9 9, ou seja,. Logo, d 5 9.

22 Números Compleos M TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD Números Compleos (Unesp-SP) Se z ( i) 9 ( i) 9 i, então, o conjugado de z, será dado por: a) i c) i e) i b) i d) i z ( i) 9 ( i)i ( i i i )i ( i)i i 9 i i Portanto, i. (IMEC) Seja Ν o conjunto dos números compleos e i a unidade imaginária tal que i. Na figura estão representados, no plano de Gauss, as imagens de seis números compleos: W, Z, Z, Z, Z e Z 5. Qual o número compleo que pode ser igual a iw? Caderno de tividades (UFU-MG) Sejam z e z os dois números compleos de parte imaginária não-nula que são soluções da equação z. Determine z z. Seja z i, ( ϑ ). Se z, então: ( i) i i i, pois ϑ Substituindo em : Σ. Logo, z i e z i. z z a) Z b) Z c) Z d) Z e) Z 5 Z Z Seja W a bi. Pelo enunciado, temos que: a. e b.. O número compleo 9 i 9 W i(a bi) b ai possui parte real estritamente negativa e parte imaginária estritamente positiva. única alternativa que satisfaz tais condições é Z. Z Z W Z 5 5 (UFV-MG) representação no plano compleo dos números z tais que a parte real de z é igual a é uma: a) hipérbole c) circunferência e) parábola b) elipse d) reta Seja z i. Para que a parte real de z seja igual a, devemos ter: z ( i) i Logo:, que é a equação de uma hipérbole. (UFP) Numa PG de quatro termos, a soma dos termos de ordem ímpar é i e a soma dos termos de ordem par é i, em que i é a unidade imaginária. Determine o número compleo a bi, que representa a razão dessa progressão. PG: (a, a, a, a ), em que a, a 9 q, a 9 q e a 9 q Pelos dados do problema: q i q q i ( q ) i q( q ) i Fazendo :, temos: q i q i i ( i) i i i ( ) i (FGV-SP) No conjunto dos números compleos: a) resolva a equação z ; b) obtenha o número z, tal que z( i) i, em que i é a unidade imaginária. a) z z (z ) (z ) 9 (z ) (z ) 9 (z ) 9 (z ) z ou z ou z z ou z ou z i ou z i. O conjunto verdade da equação é V {,, i, i} i b) z( i) i z i i i i i z i 9 i i i i i

23 M Números Compleos 7 (PUC-RS) Se as imagens geométricas dos números compleos, z e no plano de rgand-gauss são os vértices de um triângulo eqüilátero, então a medida do segmento que une as imagens de z e é: a) b) z c) z e) Im(z) d) Re(z) Seja z a bi. Se, z e são vértices de um triângulo eqüilátero, temos: Im b b z z a Re Logo, a medida do segmento que une as imagens de z e é um dos lados do triângulo eqüilátero, portanto de medida z. (PUC-SP) Geometricamente, o módulo de um número compleo z é dado pela distância da origem O do plano compleo ao ponto imagem de z. ssim, dado o compleo z i, considere o #O, cujos vértices e são os respectivos pontos imagem de z e z 9 i. É verdade que esse triângulo é: a) eqüilátero d) retângulo e não isósceles b) escaleno e) isósceles e não retângulo c) retângulo e isósceles Seja z i e z 9 i ( i) 9 i i. Os pontos que representam z e z 9 i são respectivamente (, ) e (, ). O, O ( ), ( ) ( ) Como O O, o #O é isósceles. plicando o teorema de Pitágoras no #O, temos: ( ) ( ) ( ) O O Portanto, o #O é isósceles e retângulo. i 8 (UFRJ) Seja z o número compleo εi. Determine o valor de ε para que z seja um imaginário puro. Seja ε a bi. Então: z i ε i i [a (b )i] 9 a (b )i [a (b )i] a bi i ai bi i z a [(b )i] a b (a b )i a b z a (b ) a (b ) Para que z seja um imaginário puro, devemos ter: a a b b Como ε i ϑ, temos: a ε a bi a i, a ϑ (a b ) i a (b ) (UEL-PR) Na figura abaio, o ponto P representa um número compleo z no plano de rgand-gauss. Qual dos números abaio é z, sabendo-se que OP? a) 9 i b) i c) i d) e) i O P 9 (UniFEI-SP) Uma PG possui (8n ) termos, sua razão é q i, em que i é a unidade imaginária e o seu último termo é (i ). Encontre o seu primeiro termo. Em uma PG com (8n ) termos, razão q i e último termo ( i), temos: a n a 9 q n i a (i) 8n a 9 i 8n 9 i i a (i ) n 9 (i) i a 9 i a i i i i i a 9 i i i Seja z a bi. Pelo enunciado, temos que: a., b, e a b única alternativa que satisfaz tais condições é: z i, pois.,. e ( )

24 (MCK-SP) Se i, o compleo z a) da forma a bi, com a b b) um número de módulo c) um imaginário puro d) um número real e) um número de módulo i i 9 i (i ) 5 9 i 9 i i i i i i i i z i i i i i i i é: i i(i ) i(i ) i(i ) z (i )(i ) i i z i i z ( ) (Fatec-SP) Na figura abaio tem-se o ponto P, afio do número compleo z, no plano de rgand-gauss. Números Compleos M (Fuvest-SP) Nos itens abaio, z denota um número compleo e i a unidade imaginária (i ). Suponha z ϑ i. z i a) Para quais valores de z tem-se iz? b) Determine o conjunto de todos os valores de z para os z i quais iz é um número real. z i i z i i z a) iz z( i) iz i i i z 9 ( i) i i i ( i) i i z 5 5 b) Sendo z a bi, a, b 7 ς, temos: z i a i a bi (b ) i ( b) ai 9 iz i(a bi) ( b) ai ( b) ai a ab ai i bi a b ab a (a ) i ( b) (ai) ( b) a Para que z i seja um número real, é preciso que iz a b a b ou ainda z z. 5 i Im(z) ) Re(z) P Se é o compleo conjugado de z, então: a) z i d) i b) i e) z i c) z i No triângulo colorido, temos: P ) Im(z) b tg ) b b Então: z i e i b b Re(z) 5 (IT-SP) Sejam a e b dois números compleos nãonulos, tais que a b. Se z, w 7 Ν satisfazem a w zz a w zz 8b zw. 9 w z 9 z a 9 w z 9 z 8b Temos, então, o sistema:, determine o valor de a de forma que 9 w a 8b 9 w a b z 9 z a b Fazendo ( 9 w) 9 (z 9 z) (a b) 9 (a b), temos: (z 9 ) 9 (w 9 z) 9a b z 9 z : z 9 w 9a b zw 9a b zw zw e 9a b 9a b a b Portanto, a 5. 9a b a b 5a a a 5 Σ 5 5

25 M Números Compleos (UF) Determine a soma das soluções da equação 8 8 i. 8 8 i 8 8 i cos θ sen θ θ π π k π cos i sen π k π π π k cos i sen i i π π k cos i sen i 7 π 7 π k cos i sen i 5 π 5 π k cos i sen i Soma das soluções: i i i i 8 (IT-SP) Seja a equação em Ν: z z. Qual dentre as alternativas abaio é igual à soma de duas das raízes dessa equação? a) b) z z c) i z Σ Σ Σ z i ou z i De vem: z z cos ) i sen ) i z cos ) i sen ) z i z cos ) i sen ) z i De vem: z i z cos ) i sen ) z cos 5) i sen 5) z i z cos ) i sen ) z i O conjunto solução da equação z z é: d) i e) i 7 (UFMG) Sejam n um número inteiro positivo e z um número compleo tal que z e z n ϑ. Calcule a parte imaginária de. n z n z Seja z (cos θ i sen θ). Como z, temos: z cos θ i sen θ z n cos (nθ) i sen (nθ) z n cos (nθ) i sen (nθ) n z cos (nθ) i sen(nθ) i θ i θ 9 cos (nθ) sen(nθ) n z cos (n ) sen(n ) cos (nθ) i sen(nθ) cuja parte real é: [ cos (n θ) 9( cos (n θ)) sen(nθ) 9 sen(nθ)], ( cos ( nθ)) ( sen (nθ)) e cuja parte imaginária é: sen(nθ) 9[ cos (nθ)] cos (nθ) 9 sen(nθ) ( cos (n θ) ) sen (nθ) sen(nθ) sen(nθ) 9 cos (nθ) cos (nθ) 9 sen(nθ) cos (nθ) cos (nθ) sen (nθ) sen(nθ) sen [(n θ) 9(nθ)] sen(nθ) sen[ n θ] cos (nθ) cos (nθ) sen(nθ) sen(nθ) ( cos (nθ)) cos (nθ) sen(nθ) sen(n ) cos (nθ θ ) cos (nθ) i, i, i, i E a soma de duas das raízes da equação pode ser ou Σ ou Σ i.

26 Polinômios M TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD Polinômios Em questões como a, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. (UFSC) ssinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s). () O valor numérico do polinômio p() 5 para i é p(i) i. i () O conjugado do número compleo z é i. i () forma trigonométrica do número compleo 5 π 5 π z i é z cos i sen. (8) O determinante i i define um número compleo. O módulo desse número compleo é (um). () Dadas as funções f() e g(), o valor do quociente f ( i ) i é. g( i) 5 5. Correta Se p() 5, então p(i) i i 5 i.. Correta i i i z 9 i i i i Se z i, então i.. Correta 5 π 5 π z i cos i sen z θ 5 π Im 5 π Re Caderno de tividades (ESPM-SP) s retas r, s e t do plano cartesiano representam as variações do comprimento, largura e altura de um paralelepípedo reto-retângulo em função da variável (,, ). ssinale o polinômio que representa a variação do volume desse paralelepípedo em função de : a) V() 8 b) V() c) V() d) V() e) V() 9 8 Equação da reta r, que passa pelos pontos (, ) e (, ): Equação da reta s, que passa pelos pontos (, ) e (, ): Intersecção entre as retas r e s: Equação da reta t, que passa pelos pontos (, ) e (, ): Sendo r, s e t as retas que representam as variações do comprimento, largura e altura de um paralelepípedo reto-retângulo em função de, o polinômio que representa a variação do seu volume é dado por: V() ( ) 9 ( ) V() ( ) V() P(, ) é o ponto de intersecção das retas r, s e t. V() 9( ) t s r z 8. Incorreta i i. Correta i i i i f( i) ( i) ( i) g( i) ( i) ( i) i i i i 9 i i 5 5 Portanto: 7

27 M Polinômios (PUC-RJ) Dado que as raízes do polinômio p() a b c são, e, calcule p(). Como, e são as raízes do polinômio, temos: p() p() p( ) p() a 9 b 9 c c p() a 9 b 9 c a b p( ) ( ) a( ) b( ) c a b (UENF-RJ) O gráfico abaio é a representação cartesiana do polinômio. a b a b a e b ssim: p() e p(). a) Determine o valor de. b) Resolva a inequação.. a (MCK-SP) Se b para todo, ϑ Σ, então a b vale: a) b) c) d) e) a) (, ) é ponto do gráfico, portanto: 9 b). ( ) ( ). ( ) 9 ( ). S { 7 ς,, ou. } Σ { { { a, } b,? 7 ς { a b b (a b) b a b b Portanto: a b ( ). a b } { { } S { 7 ς,, ou. } 5 (Unicap-PE) Considere o polinômio P() com coeficientes reais, que, dividido pelo polinômio ( ), deia resto ( ), com quociente ( ). Determine P(). Se P() dividido por ( ) deia resto ( ) com quociente ( ), então: P() ( ) 9 ( ). Logo: P() ( 9 ) 9 ( ) 9 P() 7 (PUC-RJ) Se o polinômio p() 5 a b é divisível por ( ), então a soma a b vale: a) b) c) d) Se p() é divisível por ( ), então ele é divisível por ( ). e) Logo, p( ) ( ) 5 a( ) b a b, portanto a b. 8

28 8 (IT-SP) Considere o polinômio P() a... a n n, cujos coeficientes, a,..., a n formam, nessa ordem, uma PG de razão q.. Sabendo que é uma raiz de P e que P() 5, tem-se que o valor de n q é igual a: q Polinômios M (Unifesp-SP) divisão de um polinômio p() por um polinômio k() tem Q() 5 como quociente e R() 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k() por é, o resto da divisão de p() por é: a) b) c) 7 d) 5 e) 7 p() k() p() k() 9 ( 5) ( 7) 7 5 a) 5 b) c) 7 d) e) 5 8 k() q () k() Se, a, a,..., a n formam, nessa ordem, uma PG de razão q., então a q, a q,..., a n q n e P() a a... a n n q q... q n 9 n P() é a soma dos termos de uma PG em que a e a razão é (q): [(q) n ] P() q Como é raiz, tem-se P. Substituindo em : n q 9 n q q n q ( q) n Temos, pelo enunciado, que P() 5. Substituindo em : n Se q., n é obrigatoriamente par, pois n. e, dessa forma, ( q) n q n n q. 9[(q 9) n ] 5 q 9 [( 9) n ] 5 n 9 n 9 p() R q () Da primeira divisão, para, temos: R p() k() 9 (5) 7 r (PUC-PR) Dado o polinômio m n, determinar m e n para que ele seja divisível por. soma m n é igual a: a) b) 7 c) d) 9 e) 8 Seja p() m n e q() ( ) 9 ( ). Para que p() seja divisível por q() ele deve ser divisível por ( ) e por ( ), ou seja: p() p( ) m n m n p() R Logo, a soma m n 8. m 9 n 9 ( ) ( ) m( ) n( ) m 5 n n q q (UEL-PR) Qual é o resto da divisão de p() pelo polinômio q()? a) b) c) d) e) Seja Q() e R() a b o quociente e o resto da divisão de p() pelo polinômio q() ( ), respectivamente. p() _ q() 9 Q() R() p() _ ( ) 9 Q() a b p() a 9 b p( ) a 9 ( ) b Logo, R(). b ( ) ( ) a b a (UFV-MG) Considere os polinômios P() ( ) ( ) 9 ( ) e Q(). a) Decomponha P() em um produto de fatores lineares. b) Determine o resto da divisão de P() por Q(). a) P() ( ) ( ) 9 ( ) P() ( ) ( ) 9 ( ) P() ( ) 9 ( ) P() ( ) 9 ( ) 9 ( ) b) P() ( ) ( ) 9 ( ) 8 P 5 8 Q() Uma das maneiras de determinar o resto da divisão de P() por Q() é dividir os polinômios pelo método da chave: E o resto da divisão de P() por Q() é. 9

29 M Polinômios (Fatec-SP) O polinômio a a p 7, a 7 ς, é divisível por ( ). Se o polinômio q a a b é um cubo perfeito, então o valor de b é: a) b) c) d) e) a a Se o polinômio p() 7 é divisível por, então p(), portanto: a a a a a a ssim sendo, o polinômio q() a a b 9 9 b 8 b ( ), pois q é um cubo perfeito, mas ( ) 8. Comparando as duas formas do polinômio, temos: b b 5 (Fuvest-SP) Dado o polinômio p() ( ) 9 ( ), o gráfico da função p( ) é mais bem representado por: a) b) d) e) c) (IT-SP) Dividindo-se o polinômio P() 5 a b c por ( ), obtém-se resto igual a. Dividindo-se P() por ( ), obtém-se resto igual a. Sabendo que P() é divisível por ( ), tem-se que o valor de ab c é igual a: a) b) c) d)7 e)9 Pelos dados do problema, temos: P() P() P() a b c a b c a b c P() 5 a 9 b 9 c 9 P() a b c P( ) ( ) 5 a( ) b( ) c( ) a b c P() 5 a 9 b 9 c 9 P() a b c a b c c a b c p() ( ) 9 ( ) p() ( ) 9 ( ) 9 ( ) p( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) 9 ( ) p( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) ssim sendo,, e são raízes simples e é raiz dupla de p( ). O gráfico de p( ) é do tipo p( ) pois para todo, tem-se p( ), e para todo. tem-se p( ).. a b c a b a b c a b a b 9 c c c Então: 9 9 a 9 b c 7 9

30 Equações Polinomiais M TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD Equações Polinomiais (UEL-PR) Sobre a equação, é correto afirmar que: a) possui três raízes imaginárias puras. b) possui três raízes reais cuja soma é. c) possui três raízes reais cuja soma é. d) possui duas raízes reais e uma imaginária pura. e) possui uma raiz real e duas imaginárias puras. ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ou Σi Portanto, as raízes são, i e i. Caderno de tividades (Unifesp-SP) Os números compleos i e i são raízes de um polinômio com coeficientes reais, de grau 8. O número de raízes reais desse polinômio, no máimo, é: a) b) c) d) 5 e) Um polinômio de grau 8 tem oito raízes. Se i e i são raízes e os coeficientes do polinômio são reais, então i e i também são raízes. ssim sendo, se o polinômio possui pelo menos quatro raízes compleas, possui no máimo quatro raízes reais. (UFSCar-SP) Considerando que i é raiz do polinômio P() , a soma das raízes reais desse polinômio vale: a) 5 b) c) d) e) P() ( ) 8( ) P() ( ) 9 (5 8) 5( ) 9 ( ) Fazendo P() ou Σ ou Σi s raízes de P() são,,, i e i. Portanto, a soma das raízes reais vale. (FGV-SP) a) Um polinômio P, de coeficientes reais, apresenta i e i, como suas raízes (i é a unidade imaginária). Qual o menor grau possível para P? Justifique. b) equação polinomial 7 5 apresenta uma raiz igual a i. Obtenha as outras raízes. a) Se o polinômio P tem i e i como raízes, temos que os conjugados i e i também são raízes. Portanto, o seu grau é no mínimo. b) 7 5 Essa equação possui três raízes: i, i e m. Pelas relações de Girard: ( i) ( i) m m m s outras raízes são i e.

31 M Equações Polinomiais 5 (PUC-RJ) Considere o polinômio p(). a) Calcule o valor de p() para, Σ, Σ. b) che as três soluções da equação. a) p() p() 9 ; p( ) ( ) ( ) ; p() 9 ; p( ) ( ) ( ) e p() 9 5 b) p() Como p( ), é uma das raízes de p(), portanto raiz da equação. Dividindo p() por ( ): s soluções são 5, 5 e. ( ) 9 ( ) 5 5 (Fatec-SP) Uma das raízes da equação é um número inteiro positivo menor do que 5. Outra das raízes é: a) 7 b) 7 ( ) 9 ( 7 ) c) 7i d) 7 7 e) 7 i 7 Testando para os valores,, e, verificamos que é raiz da equação. Fazendo a divisão de ( ) por ( ) pelo dispositivo de riot-ruffini, temos: 7 ( ) 9 ( 7 ) 7 i 7 7 Σ Portanto, as outras raízes da equação são 7 i 7 7 i 7 e. Em questões como a 7, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. 7 (UF) Considere o polinômio P() ( ) 9 ( 5), sendo z a bi e z c di duas de suas raízes, em que a, b,, c. e d.. Nessas condições, é correto afirmar: () P() tem apenas uma raiz racional. () O resto da divisão de P() por é igual a 7. () O quociente da divisão de P() por Q() é igual a 7. (8) (z ) 8i () 5i i z () Se o argumento de é θ, então cos θ. 5 P() ( ) 9 ( 5) P() ( ) 9 ( ) 9 9 ( 5) cujas raízes são:,, 9i, 9i,, i, i. Como z a bi e z c di, em que a, b,, c. e d., temos: z 9 i e z i. Correto única raiz racional de P() é.. Incorreto O resto da divisão de P() por é P( ) (( ) ) 9 (( ) ( ) 5( )). Correto P() ( ) 9 ( ) 9 ( 5) P() ( ) 9 ( ) 9 ( 5) e o quociente de P() ( ) 9 ( ) 9 ( 5) por Q() é igual a ( ) 9 ( 5) Incorreto (z ) i 9 i 8i 8 ( ) ( ). Correto 5i 5i i 5i 9 i z i i 5. Correto Se z i i Sendo θ o argumento de, temos: 5 e a cos θ 5 Logo, cos θ cos θ. 5 5 Portanto: 5

32 8 (Unesp-SP) Considere a função polinomial do o grau p(). a) Calcule p( ), p(), p(), p() e esboce o gráfico. b) Com base no item (a), responda, justificando sua resposta, quantas raízes reais e quantas raízes compleas (não reais) têm p(). a) p() p( ) 8 p( ) p() p() p() p() p() 8 p() P Equações Polinomiais M (UFC) Seja P() um polinômio de grau n >, com coeficientes reais. Sabendo que P( i) i, em que i, calcule P( i). Sendo P() a n n a n n... a a, com a n ϑ, podemos escrever: P( i) a n ( i) n a n ( i) n... a ( i) a P( i) a n ( i) n a n ( i) n... a ( i) a Θ Θ pois i i u P( i) a n ( i) n a n ( i) n... a ( i) a Θ pois u a k ak, sendo a k 7 ς P( i) a n ( i) n a n ( i) n... a ( i) a P( i) P( i) P( i) i P( i) i b) equação p() de grau tem três raízes reais: uma entre e, pois p( ) 9 p();, ; outra entre e, pois p() 9 p(), ; outra entre e, pois p() 9 p(),, e nenhuma raiz complea. 9 (UFC) área do polígono cujos vértices são as representações geométricas das raízes do polinômio p() é: a) b) c) d) e) s raízes do polinômio p() são as raízes setas de ( ). s raízes setas da unidade são números compleos cujo módulo é igual a e suas representações geométricas são pontos eqüidistantes sobre uma circunferência com centro na origem e de raio. Como é uma dessas raízes, a representação geométrica dessas raízes são os vértices de um heágono regular inscrito na circunferência, conforme a figura abaio. (UFRJ) Sendo Z e Z números compleos conjugados (Z * ), considere P() ( Z ) 9 ( Z ) e mostre que P() é um polinômio de grau com coeficientes reais. Sejam Z a bi e Z a bi, com a, b 7 ς. Z Z (a bi) (a bi) a Z 9 Z (a bi) 9 (a bi) a b Logo, P() ( Z ) 9 ( Z ) (Z Z ) Z 9 Z Substituindo os valores de e : P() a a b, que é um polinômio do o grau com coeficientes reais. Im R R R O R Re S # ORR S 9 S he # R 5 R

33 M Equações Polinomiais (Unicamp-SP) Seja a um número real e seja: p() det a a) Para a, encontre todas as raízes da equação p(). b) Encontre os valores de a para os quais a equação p() tenha uma única raiz real. a) Para a : (UERJ) Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma competição. curva abaio, cuja equação é: e t at bt c, representa a posição e, em metros, do ciclista, em função do tempo t, em segundos, em que a, b e c são números reais fios. e (m) p() ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 9 [( ) ] ou ( ) ( ) Σi i ou i Portanto, as raízes são, i e i. b) p() a ( ) 9 [(a ) 9 ( ) ] ( ) 9 [ (a ) (a )] Essa equação tem uma única raiz real ( ) quando (a ) (a ) não admite raízes reais. Devemos ter, então: [ (a )] 9 (a ), a a 5,. Resolvendo a inequação: { { } 5, a, 5 Observação: Para a 5, a equação ( ) 9 [ ( a) (a )] transforma-se em ( ) 9 ( 9) ( ). ssim sendo, para a 5, a equação p() terá também uma única raiz real, de multiplicidade. No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela equação e t, na mesma pista e no mesmo sentido. Determine a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar. nalisando o gráfico e a equação e t at bt c, concluímos que eistem três raízes reais: é raiz simples e é raiz dupla. Então a equação que representa a posição do ciclista pode ser escrita na forma: e k(t ) 9 (t ) kt(t t 9) kt kt 9kt Comparando com a equação dada: kt kt 9kt t at bt c k, k a ou a, 9k b ou b 9 e c Portanto, a equação da posição do ciclista é: e t t 9t Para determinar os instantes dos encontros fazemos: t t 9t t t t 5t t(t t 5) t ou t t 5 t ou t ou t 5 Para t s e ; para t s e m e para t 5 s e m. posição mais afastada da origem será m. t (s)

34 (MCK-SP) Se p() m, m real, admite duas raízes opostas, o valor de m é: a) b) c) d) e) Sejam a, a e b as raízes de m. Pelas relações de Girard: a b ( ) ( a) b Portanto, p() 9 9 m m. Equações Polinomiais (FGV-SP) a) Sejam r, r e r as raízes da equação: Calcule o valor da epressão: r 9 r r 9 r r 9 r M b) Resolva a equação 5, sabendo que a soma de duas raízes vale. r r r a) rr rr rr rrr Das relações de Girard, temos: r r r e r r r Logo: rr rr rr b) Sejam r, r e r as raízes da equação. Do enunciado e das relações de Girard, temos: r r r r r r r Como é uma das raízes, temos: 5 5 ( )( ) S {,, } ou ou 5 (UFSM-RS) Sabendo que uma das raízes da equação m é solução de sen πθ, com < θ < π, então o produto das raízes da equação polinomial é: a) b) c) d) e) sen πθ πθ π k π θ k Como < θ < π, então θ. Se é raiz da equação polinomial, temos: 9 9 m m O produto das raízes de sua equação é: m a 9b 9 c a 9b 9 c 5

35 M Equações Polinomiais 7 (UERJ) s dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio a seguir. 7 Em relação a esse paralelepípedo, determine: a) a razão entre a sua área total e o seu volume; b) suas dimensões. a) Sendo a, b e c as raízes do polinômio, pelas relações de Girard, temos: a b c ab ac bc 7 abc V abc 7 S T (ab ac bc) 9 S T V b) Raízes racionais possíveis: Σ e Σ. É fácil verificar que e não são raízes do polinômio. Usando o dispositivo de riot-ruffini para : 7 Uma das dimensões é. 9 (Fuvest-SP) s raízes do polinômio p() m, em que m é um número real, estão em P. Determine: a) o valor de m; b) as raízes desse polinômio. a) Sejam a r, a e a r as raízes da equação, em P de razão r. Das relações de Girard, temos: a r a a r a a a é raiz do polinômio p() p(), ou ainda: 9 m m b) p() ( ) 9 Q() Q() ( ) : ( ) Portanto, p() ( ) 9 ( ). s raízes de p() são, e. Q() Σ Σ Logo, a. s outras são raízes de. Σ Σ Σ Dimensões:., e (PUC-SP) Sabe-se que a equação 7 admite as raízes reais a, b, c, d, com a, b, c, d e tais que a b 7 e cd. Se z é o módulo do número compleo z a bi, então log 5 z é igual a: a) 5 b) c) d) e) 5 8 (UFMG) Sabendo-se que p( i), calcule todas as raízes do polinômio p() 5 5. p() 5 5 ( 5) Nesse polinômio, é uma das raízes. Como p( i), então p( i), e i e i são raízes de p(). Sejam ε, ψ, i e i as raízes de 5. Pelas relações de Girard, temos: ε ψ ( i) ( i) ε 9 ψ( i) 9 ( i) 5 ε ψ ε 9 ψ ε 5 ψ 5 Portanto, as raízes de p() são:, i, i, 5 5,. Como a, b, c e d são as raízes da equação, pelas relações de Girard, temos: abcd a b 7 Dados: cd De e : a 9 b 9 a 9 b a b 7 De e : ab a b a( 7 a) a 7a ou a b (não serve, pois a, b) Se a e b, temos: z i e z ( ) ( ) 5 Logo, log 5 5.

36 (Unicamp-SP) Considere a função quadrática f() cos ε sen ε. a) Resolva a equação f() para ε π. b) Encontre os valores de ε para os quais o número compleo i é raiz da equação f(). a) ε π π π f() cos sen 9 Σ S {, } b) Se i é raiz da equação f(), cujos coeficientes são reais, então i também é raiz. plicando as relações de Girard, na equação do o grau cos ε (sen ε ), temos: i i b a cos ε 9 i i c a sen ε De vem: cos ε cos ε De : sen ε sen ε ε π k 9 π, k 7 Β Equações Polinomiais M (UFSC) ssinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s). () equação polinomial possui as raízes a, b e c. Logo, a soma a b c é igual a. () O resto da divisão do polinômio por é 5. () Dado o polinômio p() 8 8, é correto afirmar que é raiz de multiplicidade para p(). (8) Para que o polinômio p() (a b) (a b c) (b c ) seja identicamente nulo, o valor de c é.. Correta Sendo a, b e c as raízes da equação, pelas relações de Girard, temos: a b c ab ac bc (a b c) a b c (ab ac bc) a b c ( ) a b c. Correta O resto da divisão de p() por é p( ) ( ) ( ) ( ) 5.. Incorreta Dividindo-se o polinômio p() por, temos: 8 8 resto De onde concluímos que é raiz de multiplicidade. 8. Incorreta Para que p() seja identicamente nulo, devemos ter: a b a b c b c a b a b c b c (IT-SP) Sabendo que a equação p q m, p, q., q ϑ, m 7 Μ possui três raízes reais positivas a, b e c, então log q [abc(a b c ) a b c ] é igual a: a) m p log q p d) m p log q p b) m p log q p e) m p log q p c) m p log q p b b c b c Portanto: b c c b c 5 Seja a equação p 9 q m, cujas raízes positivas a, b e c satisfazem as relações de Girard: a b c p ab ac bc abc q m Então: log q [abc(a b c ) a b c ] a b c (a b c) (ab ac bc) p 9 p log q [q m 9 (p ) p ] m log q q p 9 log q p m p 9 log q p 7

37 M Equações Polinomiais (Unicamp-SP) Dado o polinômio P() k: a) resolva a equação P(), para k 8; b) determine o valor de k de modo que as raízes estejam em P de razão igual a. a) P() 8 Como P(), temos que P() é divisível por ( ). 8 8 P() ( ) 9 ( 8) P() ( ) 9 [ ( ) ( )] P() ( ) 9 ( ) 9 ( ) P() ( ) 9 ( ) 9 ( ) 9 ( ) P() 7 {,, } b) Podemos indicar as raízes por a, a, a e a 9. Como, pelas relações de Girard, a soma das raízes é, temos 9 a 8, portanto a. s raízes são, portanto, 9, 7, 5 e 7. Como o produto das raízes é igual a k, temos: k k (UF) Durante uma reunião, ocorreu uma divergência quanto à formação de uma comissão gestora, a ser escolhida entre os presentes. Um grupo defendia uma comissão com três membros, sendo um presidente, um vice-presidente e um secretário. Outro grupo queria uma comissão com três membros sem cargos definidos. primeira alternativa oferece 8 possibilidades de escolha a mais que a segunda. Determine o número de pessoas presentes à reunião, sabendo que esse número é maior que 5. comissão é formada por três membros. ssim, temos: Se a comissão tiver cargos definidos, com as n pessoas, teremos: Se a comissão não tiver cargos definidos, teremos: n! C n(n ) 9(n ) n,! (n )! Daí, vem: n, C n, 8 P VP S n n n n, n(n ) 9(n ) n(n ) 9 (n ) + 8 n(n ) 9 (n ) n n + n s prováveis raízes são divisores de Sendo n 8 uma raiz, vem: 8 5 s outras raízes não são reais, pois: n 5n 5 8 Portanto, o número de pessoas presentes à reunião era 8. 8