POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 2016
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- David Sousa Paixão
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1 POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 06. (Unicamp 06) Considere o polinômio cúbico p() a, onde a é um número real. a) No caso em que p() 0, determine os valores de para os quais a matriz A abaio não é invertível. 0 A 0 a b) Seja b um número real não nulo e i a unidade imaginária, isto é, i. Se o número compleo z bi é uma raiz de p(), determine o valor de z.. (Unicamp 06) Considere o polinômio cúbico p() a, onde a é um número real. Sabendo que r e r são raízes reais de p(), podemos afirmar que p() é igual a a). b). c). d) 4.. (Epcar (Afa) 06) Considere os polinômios Q() e P() a b, sendo a e b números reais tais que a b 8. Se os gráficos de Q() e P() têm um ponto comum que pertence ao eio das abscissas, então é INCORRETO afirmar sobre as raízes de P() que a) podem formar uma progressão aritmética. b) são todas números naturais. c) duas são os números a e b d) duas são números simétricos. 4. (Aman 06) Considere os polinômios p() e b(). Sendo r() o resto da divisão de p() por b(), o valor de r é igual a a) 0 b) c) d) e) 5 5. (Mackenzie 06) A equação n m é igual a a) ou 0 b) ou c) ou d) ou e) ou 0 tem como raízes, m e n. Então, Página de 9
2 POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS (Ita 06) Seja p o polinômio dado por 8 m n p(), em que os epoentes 8, m, n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a 4. Considere as seguintes afirmações: I. 0 é uma raiz dupla de p. II. é uma raiz dupla de p. III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula. Destas, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. 7. (Espce 06) Considere o polinômio de p() 0, podemos afirmar que a) quatro raízes são reais distintas. b) quatro raízes são reais, sendo duas iguais. c) apenas uma raiz é real. d) apenas duas raízes são reais e iguais. e) apenas duas raízes são reais distintas p() 4. Sobre as raízes 8. (Ita 06) Determine o termo constante do resto da divisão do polinômio ( ). 40 ( ) por 9. (Pucsp 06) Se é a única raiz da equação , então, relativamente às demais raízes dessa equação, é verdade que são números compleos a) cujas imagens pertencem ao primeiro e quarto quadrantes do plano compleo. b) que têm módulos iguais a. c) cujos argumentos principais são 45 e 5. d) cuja soma é igual a i. 0. (Mackenzie 06) Na equação a) b) 8 c) 9 d) 0 e) 40. (Ita 06) Sejam a, b, c números reais com a 0. a) Mostre que a mudança z transforma a equação equação de segundo grau. b) Determine todas as raízes da equação 0 ( ) 0, a multiplicidade da raiz é a b c b a 0 numa Página de 9
3 POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 06. (Aman 06) Sendo R a maior das raízes da equação R é a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 0 6, 4 então o valor de Página de 9
4 POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 06 Gabarito: Resposta da questão : a) Se p() 0, pode-se escrever: p() a 0 a Para que a matriz A não seja invertível, seu determinante deve ser igual a zero. Assim, pode-se escrever: 0 det A a b) Supondo como raízes do polinômio os números bi; bi ; r, pode-se escrever: bi ( bi) r 0 r 4 Considerando 4 como raiz, pode-se deduzir o valor de a: 64 a 0 a 5 Fazendo o produto das três raízes (Relações de Girard), pode-se escrever: bi ( bi) ( 4) 5 4 b Assim, z será: z bi 4 b z Resposta da questão : [D] Se r e r são raízes de p, então p(r) p( r) 0. Logo, segue que r r ar 0 e r r ar 0. Somando essas equações, obtemos r 6 0, ou seja, r. Por outro lado, sendo α a outra raiz real de p, pelas Relações de Girard, vem r ( r) α α. Em consequência, tem-se p() ( r )( α) ( )( ) e, portanto, podemos afirmar que p() é igual a p() ( )( ) 4. Resposta da questão : [B] Se Q() e P() têm um ponto comum que pertence ao eio das abscissas, então ao menos uma raiz de Q() é também raiz de P(). Calculando: 0 Página 4 de 9
5 POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 06 Substituindo essa raiz em P(), tem-se: a b 0 a b 0 a b 0 b a Substituindo o valor de b na equação dada a b 8 a a 8 a 4 4a a 8 a 4 4a a 8 4a 8 4 a a b 8, tem-se: Substituindo novamente o valor de a na equação dada a b 8 b 8 b 9 b a b 8, tem-se: Assim, P(). Pode-se perceber daí que, se é raiz da equação, também será raiz. Assim sendo, o conjunto de raízes de P() é,,. Analisando então as afirmativas da questão, temos: [A] Correto (podem formar uma P.A. de razão ). [B] Incorreto (números negativos não são números naturais). [C] Correto. [D] Correto. Resposta da questão 4: [A] De acordo com a divisão euclidiana, podemos escrever que: ( ) Q() a b As raízes de 0 são ou. Fazendo, temos: a b a b Fazendo, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b 7 Resolvendo o sistema a b a b 7, temos: a e b. Logo, o resto da divisão será dado por: r() Página 5 de 9
6 POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 06 Portanto, r 0. Resposta da questão 5: [E] Dividindo a equação por, temos: Determinando as raízes m e n, temos: ou. Portanto, n m poderá ser Resposta da questão 6: [C] ( ) ou. Considerando que (8, m, n) é uma PG, podemos escrever que: m 8n m 8 n e m n 8 4 Aubstituindo a primeira equação na segunda, temos: 8n 6 ( n) n 0n 6 0 Resolvendo a equação temos n ou n 8. Se n, então m 4. Se n 8, então m (não convém). Adotando n e m 4, temos o seguinte polinômio: 8 4 P() Para determinarmos as raízes de P() devemos considerar Temos então a seguinte equação na incógnita t. 4 t t t 0 t (t t ) 0 Resolvendo a equação na incógnita t, temos: t 0 ou t t 0. t. Página 6 de 9
7 POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 06 Sabemos que é raiz de t t 0, utilizaremos o dispositivo de Briot-Ruffini para determinar as demais raízes. ou seja, t t 0 (t ) (t t ) 0 t t 0 terá duas raízes compleas, pois seu discriminante é menor que zero. Portanto, as raízes reais de P() serão: 0 0 (raíz dupla) E as outras quatro raízes continuarão sendo números compleos não reais. Portanto, a alternativa [C] é a correta. Resposta da questão 7: [E] p() p() ( 4 ) 4 p() ( ( ) ( ) ( ) ) 4 p() ( ) ( ) p() ( ) ( ) Portanto, as raízes são 0,, i, i, i e i. Apenas duas raízes (0 e ) são reais e distintas. Resposta da questão 8: Desenvolvendo o Binômio de Newton notamos que as parcelas que não são divisíveis por ( ) formam o polinômio S() S() ( ) ( ) S() 780 ( ) 40 ( ) 4 S() Portanto, o resto da divisão de ( ) por ( ). ( ) é igual ao resto da divisão de S() por Página 7 de 9
8 POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS Portanto, o termo constante do resto da divisão do polinômio Resposta da questão 9: [A] Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 40 ( ) por ( ) é 78. Ou seja, ( ) ( ) 0 Determinando as demais raízes através da equação: i i 0 i Estas raízes possuem afios localizados no primeiro e quarto quadrantes. Portanto, a alternativa [A] está correta. Resposta da questão 0: [D] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como o fator aparece 0 vezes na fatoração desse polinômio, podemos afirmar que é uma raiz de multiplicidade 0. Resposta da questão : a) z z 4 a b c b a 0 Dividindo a equação toda por, temos: Página 8 de 9
9 POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 06 b a a b c 0 a b c 0 a z b z c 0 b) De acordo com a epressão demonstrada no item acima, podemos escrever: 4 0. z z 0 z z 4 0 z 4 ou z Como z, podemos escrever que: ou ou i i 0 ou Portanto, as raízes são: ou ou i ou i. Resposta da questão : [E] 6, admitindo 4, A partir do Teorema das raízes racionais, podemos notar que as possíveis raízes racionais desta equação são,,, 6,,, e 6. Notemos que é raiz desta equação, pois Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtemos: ( ) 4 ( ) ( ) 6 0. Portanto, a equação poderá ser escrita na forma: ( )( 5 6) 0. Resolvendo a equação produto acima, temos: ou Portanto, a maior raiz será R 6 e R 0. Página 9 de 9
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