POLINÔMIOS. Nível Básico

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1 POLINÔMIOS Nível Básico. (Eear 07) Considere P(x) x bx cx, tal que P() e P() 6. Assim, os valores de b e c são, respectivamente, a) e b) e c) e d) e. (Epcar (Afa) 05) Considere o polinômio a) x 0 não é raiz do polinômio p(x) 4 p(x) ax bx x, {a,b} e marque a alternativa FALSA. b) Existem valores distintos para a e b tais que x ou x são raízes de p(x) c) Se a 0 e b, o resto da divisão de p(x) por d) Se a b 0 tem-se que. (G - cftmg 06) Se uma das raízes do polinômio a) 64. b) 8. c) 6. d) (Uece 06) O resto da divisão de a) 4x. b) 4(x ). c) 4(x ). d) 4(x ). x x é zero. x i é uma raiz de p(x), considerando que i (x x ) por 4 P(x) x 8x ax b é ep() 9, então o valor de x x é 5. (Espm 06) O quociente e o resto da divisão do polinômio a) x e 5 b) x e 6 c) x e d) x e 0 e) x e 6. (Ufjf-pism 06) Sabendo que o polinômio 5 a x x pelo binômio x são, respectivamente: p(x) ax bx é divisível por (x ), determine a e b. 4b é Página de 9

2 Nível Médio 7. (Unicamp 07) Sabendo que a e b são números reais, considere o polinômio cúbico p(x) x ax bx. a) Mostre que, se r é uma raiz de p(x), então r é uma raiz do polinômio q(x) x bx ax. b) Determine os valores de a e b para os quais a sequência (p( ), p(0), p()) é uma progressão aritmética (PA), cuja razão é igual a p(). 8. (Uece 07) O resto da divisão de a). b) 0. c) 4. d). 9. (Fuvest 07) O polinômio parte real de a) b) 7 c) 9 d) 0 e) ξ é igual a 64 ( ) por ( ) é igual a P(x) x x 7x 5 possui uma raiz complexa ξ cuja parte imaginária é positiva. A 0. (Ufjf-pism 07) Qual é o polinômio que ao ser multiplicado por polinômio a) b) c) d) e) x x x. x x x. x x x. x x x. x x x h(x) x x 8x 9x 7x 4x?. (Epcar (Afa) 07) O polinômio Se x x a) P(m) 0 e b) m n c) mn 0 d) n m 7 g(x) x x 5x 4 tem como resultado o P(x) x mx nx é tal que P(x) 0 admite as raízes x, x e x. x x 5, então é correto afirmar que. (Uece 07) O termo independente de x no desenvolvimento da expressão algébrica a) 4. b) 4. c) 8. d) 8. (x ) (x x ) é. (Unicamp 07) Considere o polinômio é igual a, então a) n é par e m é par. b) n é ímpar e m é ímpar. c) n é par e m é ímpar. d) n é ímpar e m é par. n m p(x) x x, em que n m. Se o resto da divisão de p(x) por x Página de 9

3 4. (G - epcar (Cpcar) 07) Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto, respectivamente, da divisão do polinômio x 6x 9x pelo polinômio x 5x 6, em que x. O gráfico que melhor representa a função real definida por P(x) Q(x) R(x) é a) b) c) d) 5. (Uem-pas 06) Sobre polinômios de coeficientes reais, assinale o que for correto. 0) O quociente da divisão de p(x) x x x 7 por q(x) x é um polinômio de grau. 0) Os polinômios p(x) x 4x e q(x) (x ) são idênticos, pois possuem as mesmas raízes. 04) Um polinômio de grau sempre possui três raízes reais. 08) Ao multiplicarmos o polinômio p(x) x x por q(x) x x, obtemos um polinômio de grau 6. 6) O resto da divisão p(x) x x x por q(x) x é (Ime 06) O polinômio x ax bx c tem raízes reais α, α e. α Portanto o valor da soma b b c ac é: c a) b) c) 0 d) e) 7. (Fgv 06) Um dos fatores do polinômio a) (x 8) b) (x 5) c) (x 4) d) (x ) e) (x ) 8. (Pucrs 06) O polinômio a) b) 0 c) d) a b c e) a b c 9. (Ueg 06) Na divisão do polinômio a) b) x x 5 c) 444 x 5 d) x 5 e) 444 x 5 0. (Unicamp 06) Considere o polinômio cúbico P(x) x x 5x 6 é (x ). Outro fator desse polinômio é p(x) ax bx cx, em é divisível por (x ). Podemos afirmar que p(p()) é 4 6x x 8x 0x pelo divisor r são raízes reais de p(x), podemos afirmar que p() é igual a a). b). c). d) 4. x x, o resto multiplicado por é p(x) x x ax, onde a é um número real. Sabendo que r e Página de 9

4 Gabarito: Resposta da questão : Tem-se que P() b c b c 4 e P() 6 b c 6 b c 5. Portanto, resolvendo o sistema formado por essas equações, encontramos b e c. Resposta da questão : É claro que x 0 não é raiz de p, pois p apresenta um termo independente de x. Se p() 0, então a b, e se p( ) 0, então a b. Logo, só pode ser a 0 e b. Se a 0 e b, então o resto da divisão de p(x) por Se a b 0, então p(x) x. Em consequência, vem x x é zero, pois p(x) (x )(x x ). i i p. Por conseguinte, se a b 0 tem-se que Resposta da questão : Se P() 0, então 4 8 a b 0 a b 6. Ademais, sendo P() 9, vem 4 8 a b 9 a b 6. i x não é uma raiz de p. Resolvendo o sistema em x e y, obtemos a 0 e b 6. Portanto, a resposta é 5 5 a 4b Página 4 de 9

5 Resposta da questão 4: [B] Sendo 4 (x x ) x x x x, pelo método da chave, encontramos 4 x x x x x x 4 x x x x x 5 x x x x x x 5x x 5x 5x 5 4x 4 Portanto, a resposta é 4x 4 4(x ). Resposta da questão 5: Desde que x x (x )(x ) 5, segue o resultado. Resposta da questão 6: Se p é divisível por (x ), então ax bx (x ) (ax a) (a b)x a. Portanto, temos r(x) (a b) x a 0, ou seja, a b 0 e a 0, implicando em a e b. Resposta da questão 7: a) Se r é uma raiz de p(x), então r ar br 0. Daí, temos p b a r r r r (r ar br ) r 0. Portanto, segue o resultado. b) Sendo p( ) a b, p(0), p() a b e p() 4a b 9, temos a b 4a b 9 5a b 8 4a b 9 a b a b 8 Resposta da questão 8: a 0. b 8 Considerando que x podemos escrever a divisão acima através de uma divisão de polinômios: (x ) por (x ). O resto R da divisão de R ( ). x por (x ) é o valor numérico de x para x (Teorema do Resto), ou seja: Página 5 de 9

6 Resposta da questão 9: O polinômio em questão possui três raízes. Se a bi é raiz, a bi também será. O polinômio também admite raiz, pois P() Assim, aplicando-se Briot-Ruffini, pode-se escrever: P(x) x x 7x 5 P() 0 x' i Briot Ruffini x x 5 0 x'' i ξ i ξ i 6i 8i ξ i Assim, a parte real de Resposta da questão 0: [E] Calculando: ξ é igual a x x 5x 4 ax bx cx x x 8x 9x 7x 4x 6 ax 5 5 bx ax cx bx 5ax cx 5bx 4ax 5cx 4bx cx x x 8x 9x 7x 4x 6 6 ax x a bx ax bx x x bx 9x b cx bx 5ax cx 6x 5x 8x cx x c Assim: ax bx cx x x x Página 6 de 9

7 Resposta da questão : Calculando: P(x) x mx nx Por Girard: x x x x x x 4 x x 5 x x x x P(x) (x ) (x ) (x 4) x x x n m 7 ( ) 7 Resposta da questão : [B] Para determinar o termo independente de um polinômio, devemos admitir x 0. Portanto, o termo independente de (x ) (x x ) será dado por: (0 ) (0 0 ) 4 4 Resposta da questão : O resto da divisão de p(x) por x é igual a, portanto m e n são números pares, pois: n n m ( ) p( ) p( ) ( ) ( ) logo m ( ) Resposta da questão 4: Efetuando a divisão dos polinômios, temos: Construindo o gráfico de P(x), temos: x 6x 9x x 5x 6 x 5x 6x x x x x 5x 6 x Portanto, P(x) x x P(x) x Portanto, a melhor opção é a letra. Página 7 de 9

8 Resposta da questão 5: = 5. [0] Verdadeira. De fato, se s(x) é o quociente da divisão de p por q, então s. [0] Falsa. Dois polinômios de mesmo grau são idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos de mesmo grau forem iguais. [04] Falsa. Um polinômio de grau possui no máximo três raízes reais distintas. [08] Verdadeira. Tem-se que (p q) p q 6. [6] Verdadeira. Com efeito, pelo Teorema do Resto, vem Resposta da questão 6: p() 5. Das Relações de Girard tem-se que a soma das raízes é igual ao coeficiente de multiplicado por. Ou seja: a a α α a α α α Substituindo as outras raízes da equação, tem-se: x x bx c 0 α α α bα c 0 α α α bα c 0 α α bα c 0 α α bα c 0 α α c 0 c α α bα 0 b α Assim, substituindo os valores e a, b e c na expressão dada, tem-se: b α b c ac α α α c α α Resposta da questão 7: [E] x dividido pelo coeficiente de x Como um dos fatores de de Px. Px é x, x é uma raiz Assim, usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos: logo, x x x x x x x x Voltando ao polinômio Px, obtemos: Px x x x Dessa forma, P x x x x Dessa maneira, os fatores de x. Px são x x, e Calculando as raízes de x e x, x x 0, obtemos Página 8 de 9

9 Resposta da questão 8: [B] Se p(x) é divisível por (x ), então, p() 0. Logo, p(p()) p(0) a0 b 0 c 0 0. Resposta da questão 9: [C] Efetuando a divisão, temos: 4 6x x 8x 0x x x 4 6x 8x x 6x 0x 64 0x 4x 0x 0x 60x 40x 64x 0x 64x 9x 8 x 6 O dobro do resto será dado por ( x 6) 444x 5. Resposta da questão 0: Se r e r são raízes de p, então p(r) p( r) 0. Logo, segue que r r ar 0 e essas equações, obtemos r 6 0, ou seja, r. Por outro lado, sendo α a outra raiz real de p, pelas Relações de Girard, vem r ( r) α α. Em consequência, tem-se p(x) (x r )(x α) (x )(x ) r r ar 0. Somando e, portanto, podemos afirmar que p() é igual a p() ( )( ) 4. Página 9 de 9