Conjunto dos Números Complexos

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1 Conjunto dos Unidade Imaginária Seja a equação: x + 0 Como sabemos, no domínio dos números reais, esta equação não possui solução, criou-se então um número cujo quadrado é. Esse número, representado pela letra i, denominado unidade imaginária é definido por: Voltando à equação: i x i x + 0 x x ± x i A partir disso, surge a necessidade de um novo conjunto de números denominado conjunto dos números complexos, que indicaremos por C. A Forma Algébrica Todo número complexo pode ser escrito na forma z a + bi com a,b R, denominada forma algébrica. Temos ainda que a é chamado de parte real de z, denotamos por Re ( z ), e b chamado de parte imaginária de z, denotamos por Im ( z ), veja: a Re ( z) R z a + bi b Im ( z) R Observação : Se a 0, dizemos que z é imaginário puro. Observação : Se b 0, então z é um número real. Exemplo : z 3 + 5i Exemplo : z i Exemplo 3: z 3 6 ( ) Re z 3 Im z 5 ( ) Re z 0 Im z ( 3 ) Re z 6 Im z3 0 Igualdade de Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias forem respectivamente iguais, ou seja, a c a + bi c + di b d

2 Exemplo: Determinar x e y de modo que x + y + 6i 5 + ( x + 4y) i. Solução: De acordo com o que vimos, para que dois números complexos sejam iguais, devemos ter suas partes reais e imaginárias respectivamente iguais. Então, fazendo z x + y + 6i e z 5 + ( x + 4y) i, temos: Re ( z ) x + y Re ( z ) 5 e Im ( z ) 6 Im ( z ) x + 4y Igualando as partes real e imaginária de z e z teremos o sistema abaixo: x + y 5 Isolando x na segunda equação: x + 4y 6 x 6 4y Substituindo este resultado na primeira: 6 4y + y 5 8y + y 5 7y 7 y Voltando a uma das equações do sistema: x 6 4 x Conjugado de um Número Complexo Seja z a + bi um número complexo qualquer, define-se como complexo conjugado de z o número complexo z a bi Ou seja, as partes reais são iguais e as partes imaginárias são simétricas. Exemplo: Os números complexos 3 + i e 3 i são conjugados. Observação: O conjugado do conjugado de um número complexo é o próprio número, ou seja, z z Operações com Adição e subtração Para somarmos ou subtrairmos números complexos somamos ou subtraímos as partes reais e imaginárias separadamente. Sejam então, z a + bi e z c + di, dois números complexos quaisquer, temos que: z + z a + bi + c + di z + z a + c + b + d i E z z a + bi c + di z z a c + b d i Exemplo : Dados dois números complexos z + 3i e w 6 + 4i, calcular z + w. Solução: De acordo com o que vimos: z + w i z + w 8 + 7i Observação: A soma de um complexo com seu conjugado é um número real:

3 z + z a + bi + a bi z + z a Multiplicação Para multiplicarmos dois números complexos usamos a regra da multiplicação de binômios. Sejam então, z a + bi e z c + di, dois números complexos quaisquer, temos que: z z a + bi c + di z z ac + adi + bci + bdi z z ac + adi + bci bd z z ac bd + ad + bc i Exemplo : Sejam dois números complexos w + 4i e w + 3i. Calcular o valor de ww. Solução: Basta multiplicarmos os binômios aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: w w + 4i + 3i + 6i + 4i + i 0 + 0i Divisão Para efetuar a divisão de dois números complexos, colocamos o quociente sobre a forma de fração e fazemos a racionalização, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Ou seja, z z z z z z z Exemplo: Sejam os dois complexos z 3 + i e z + i. Calcular a divisão z. Solução: Como vimos, para dividir números complexos precisamos racionalizar o denominador: z 3 + i z + i Racionalizando: z 3 + i 3 + i ( i) 3 3i + i i 5 i z + i + i i i + i i Potências de i Calculando-se as potências de expoentes naturais de i, notamos que se repetem com um período quatro unidades, veja: i i i 5 9 i i i i i i 6 0 i i i 3 7 i i i i i i Ou seja, basta tomarmos o resto da divisão do expoente por 4 como o novo expoente. Exemplo : Calcule o valor de i 3. Solução: Primeiro dividimos 3 por 4 para descobrir o resto: Como o resto vale 3 teremos: 3 3 i i i 3

4 Plano de Argand-Gauss É o plano que no eixo das abscissas representa a parte real de z e, no eixo das ordenadas, a parte imaginária de z. Im ( z) b a + bi ρ 0 θ a Re ( z) Módulo e Argumento de um Número Complexo Olhando para a figura anterior podemos destacar alguns elementos: A distância da origem do plano até o ponto a + bi chamamos de módulo do complexo (representado pela letra grega ρ) e calculamos seu valor usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por ρ, a e b: z ρ a + b O ângulo formado pela semirreta e o eixo das abscissas (representado pela letra grega θ), medido no sentido anti-horário, é denominado argumento do número complexo z. Ou seja, θ arg z,0 θ π Observamos ainda que como o triângulo é retângulo valem as seguintes relações: a b cos θ e senθ ρ ρ Estas relações serão úteis na determinação da forma conhecida como Polar ou Trigonométrica. Forma Trigonométrica ou Polar Como vimos anteriormente, um número complexo qualquer da forma z a + bi pode ser representado em um plano chamado Plano de Argand-Gauss. A partir daí sabemos que valem as relações: a b cos θ e senθ ρ ρ Escrevendo a e b em função do argumento θ: a ρcos θ e b ρsenθ Substituindo a e b na expressão original de z: z ρ cos θ + ρ senθ i Colocando ρ em evidência: z ρ ( cos θ + i senθ ) 4

5 Que é chamada de forma trigonométrica ou polar. Exemplo: Passar para a forma trigonométrica o número complexo: z + 3i. Solução: Primeiro calculamos o módulo de z: Re ( z) z + 3i Im ( z) 3 Então: ρ + 3 ρ 4 ρ Agora calculamos o argumento: a a ρ cos θ cos θ cos θ ρ b 3 b ρ sen θ sen θ sen θ ρ Ou seja, o ângulo θ tem o seno e o cosseno positivo, portanto θ está no primeiro quadrante do círculo trigonométrico. Então: π θ 3 Colocando na forma trigonométrica teremos: π π z cos + isen 3 3 Operações com Complexos na Forma Trigonométrica Sejam dois números complexos z e z representados na forma trigonométrica abaixo: z cos isen z ρ cos θ + isenθ ρ ( θ + θ ) e Multiplicação Efetuando a multiplicação: zz ρ ( cos θ + isenθ ) ρ ( cos θ + isenθ ) Aplicando a propriedade distributiva: z z ρ ρ cos θ cos θ + cos θ isenθ + isenθ cos θ + i senθ senθ Separando a parte real da parte complexa: z z ρ ρ cos θ cos θ senθ senθ + i cos θ senθ + senθ cos θ Lembrando que: E cos ( a + b) cos a cos b senasenb sen ( a + b) sena cos b senbcos a É fácil verificar que o produto será dado por: z z ρ ρ cos ( θ + θ ) + isen ( θ + θ ) Divisão Efetuando a divisão: 5

6 ( cos isen ) z ρ θ + θ z ρ cos θ + isen θ Racionalizando o denominador: z ρ ( cos θ + isenθ ) cos θ isenθ z ρ cos θ + isenθ cos θ isenθ Aplicando a propriedade distributiva: z ρ cos θ cos θ cos θ isenθ + isenθ cos θ i senθ senθ z ρ ( cos θ ) i cos θsenθ + isenθ cos θ i ( senθ ) Separando a parte real da parte complexa: z ρ cos θ cos θ + senθ senθ + i cos θ senθ + senθ cos θ z ρ ( cos θ ) i cos θsenθ + isenθ cos θ + ( senθ ) Lembrando que: E cos ( a + b) cos a cos b senasenb sen ( a + b) sena cos b senbcos a sen x + cos x É fácil verificar que a divisão será dada por: z ρ cos θ θ + isen θ θ z ρ Potenciação Fórmula de De Moivre Considere um complexo z qualquer escrito na forma polar, utilizando a propriedade da multiplicação na forma trigonométrica. Podemos mostrar que, para uma potência de ordem n, teremos: n n z ρ cos nθ + isen nθ Esta expressão é chamada de fórmula de De Moivre, com n natural e diferente de zero. A Expressão de Euler Existe outra maneira de representar um número complexo que pode ser demonstrada através de uma expansão em série de Fourier da função e x. O número complexo z na forma trigonométrica pode ser representado como abaixo: iθ ρ e ρ cos θ + i senθ Esta forma é útil para operações de multiplicação e divisão, pois precisamos apenas utilizar as propriedades de potência. Exercícios de Fixação ) Se você dividir o número 4 em duas parcelas, o produto destas é 9. Calcule as parcelas. z k + 5 4i seja imaginário ) Determine k de modo que o número complexo puro. 3) Sendo z x + 4 y i e z 3 0i, determine x e y, para que z z. 4) Determine o número complexo z que satisfaz a igualdade z z + i

7 5) Calcule os números complexos que satisfazem o sistema 6) Determine o conjugado do número complexo + 5i 7) Resolva: + 3i. z z ) Obtenha z tal que + + i. i + i ) Calcule o valor de i + i. i 0) Calcule o módulo do determinante ) Determine o conjunto solução da equação i i + i i 0 + i z. i. z + z zz 3 + 3i. z + z 3. z z 3i ) Sabendo que zz 4, calcule o módulo de z. 3 + i 3) Determine o número complexo z na forma trigonométrica. + i w w π π 4) Seja a matriz A, em que w cos + isen. Calcule o valor de w 3 3 det A. 5) Obtenha o módulo do número complexo ( + 3i) i 6) Se z, calcule a parte real e imaginária de z. i a 7) Calcule a e b reais, sabendo que: + i 3 b + i. 3 i i π π 8) É dado o número complexo w cos + isen. Calcule: i + i 9) Se i é a unidade imaginária, então vale quanto? 7 8 i i ) Qual o valor da expressão: i + i + i + i i. i ) Qual o valor de? 5 3 i i w + w + w + w + w. 7

8 ) ( ± 5i) ) 5 3) x ± e y 4 Gabarito 8 4) + i 3 9 5) z + i e z i 6) + i 3 7) + i ) z + i 9) i 0) 3 + 3i ) { } ) 6 3) z cos π + isenπ 4) 5) 00 6) e 0 7) a 5 e b 5 8) 9) i 0) i ) 8