Notas breves sobre números complexos e aplicações

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1 Notas breves sobre números complexos e aplicações Complementos de Análise Matemática - ESI DMat - Universidade do Minho Dezembro de Definição O conjunto dos números complexos, denotado por C, pode-se definir como o conjunto dos pares ordenados de números reais x, y (x, y). (1) Os pares da forma (x, 0) identificam-se com os números reais. Assim, o conjunto dos números reais R é um subconjunto de C. Os pares da forma (0, y) são denominados imaginários ou complexos puros. A notação usual para representar o número complexo z = (x, y) é z = x + iy, (2) onde o símbolo i é fixo e representa a unidade imaginária 1. O conjunto dos números complexos pode, então, representar-se por C = {x + iy : x, y R}. Os números reais x e y em (2) denominam-se, respectivamente, parte real e parte imaginária de z. Escreve-se Re z = x e Im z = y. (3) Dois números complexos x + iy e u + iv são iguais se e só se x = u e y = v. Dado um número complexo z = x + iy o módulo de z é z = x 2 + y 2 (4) e o seu conjugado é x iy denotando-se z, isto é z = x iy. (5) 2 Interpretação Geométrica Atendendo a (1), é natural representar-se cada número complexo z = x + iy por um ponto do plano com coordenadas cartesianas x e y. Assim, cada ponto do plano corresponde a um único número complexo e vice-versa. Quando o plano xoy é usado para representar os números complexos adopta o nome de plano de Argand ou plano complexo z. O eixo x é o eixo real e o y o eixo imaginário. 1 Em engenharia é usual representar a unidade imaginária por j. 1

2 3 Forma Polar Além das coordenadas cartesianas (x, y), podem também ser usadas coordenadas polares (r, θ) para representar graficamente os números complexos. Atendendo à trigonometria do triângulo rectângulo, sendo z = x + i y, tem-se x = z cos θ e y = z sin θ pelo que a forma polar de z é z = r cos θ + i r sin θ = r(cos θ + i sin θ) (6) com r = z. A cada valor de θ, com z = z (cos θ+i sin θ), dá-se o nome de argumento de z e escreve-se arg(z). Geometricamente, o módulo de z, z, é o comprimento do segmento de recta que une os pontos (0, 0) e (x, y). O argumento θ, medido em radianos, é a mediada do ângulo formado por esse segmento de recta e o eixo real. Desta forma, existe um número infinito de valores de θ que diferem de um múltiplo de 2π. O único valor de arg(z) tal que π < arg(z) π define-se como o valor principal do argumento de z e denota-se por Arg(z). Considerando o número complexo z escrito na forma polar (6), o seu conjugado é z = r (cos θ i sin θ). 4 Forma exponencial Frequentemente é conveniente escrever e iθ, ou exp(iθ), para denotar cos θ + i sin θ, que aparece na forma polar (6) de um número complexo. Um número complexo z pode, assim, ser expresso na forma exponencial z = z e iθ. (7) A equação e iθ = cos θ + i sin θ, (8) que define o símbolo e iθ, é conhecida por Fórmula de Euler. Para demonstrar a fórmula de Euler relembramos que e z = + n=0 2 z n n!

3 e que para z = iθ tem-se e iθ = == + (iθ) n n! n=0 + θ 2n (2n)! + i + n=0 n=0 = cos θ + i sin θ θ2n+1 ( 1) n (2n + 1)! Note-se que, para θ = π vem e iπ = 1. Tem-se também, e 2πi = 1 e e iπ/2 = i. A igualdade 1 + e iπ = 0 é conhecida por Igualdade de Euler. Deduz-se, da Equação de Euler, que e iθ = cos( θ) + i sin( θ) = cos θ i sin θ. Combinando as expressões de e iθ e e iθ temos, então sin θ = eiθ e iθ 2i e cos θ = eiθ + e iθ. 2 Atendendo à paridade das funções trigonométricas sin e cos, o conjugado de um número complexo z é, na forma exponencial, z = z e iθ. 5 Estrutura algébrica de C Como foi visto na Secção 1, dados dois números complexos z 1 = x + iy e z 2 = u + iv, e por extensão das correspondentes operações sobre os números reais, a adição e multiplicação em C definem-se da seguinte forma adição : z 1 + z 2 = (x + u) + i(y + v) multiplicação : z 1 z 2 = (xu yv) + i(xv + yu). (9) Fazendo, na equação (9), x = u = 0 e y = v = 1 obtém-se a identidade i 2 = 1. (10) Propriedade 5.1. Propriedades da adição e multiplicação em C. Sejam z 1, z 2, z 3 C. Então 1. Propriedade comutativa z 1 + z 2 = z 2 + z 1 e z 1 z 2 = z 2 z 1 2. Propriedade associativa z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 e z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 3

4 3. Propriedade distributiva z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3. O elemento neutro da adição é 0 = (0, 0) enquanto o elemento neutro da multiplicação é 1 = (1, 0). Assim, para todo o z C, tem-se 0 + z = z e 1 z = z. Os números 0 e 1 são os únicos com esta propriedade. Cada número complexo z = x + iy admite um simétrico relativamente à adição da forma z = x iy que verifica z + ( z) = 0. Este simétrico é único. De modo análogo todo o número complexo z = x + iy não nulo admite inverso relativamente à multiplicação z 1 tal que z z 1 = 1 z 1 = 1 z = x x 2 + y 2 + i[ y x 2 + y 2 ]. Note-se que é conveniente expressar a adição na forma cartesiana enquanto que o produto se torna mais simples na forma polar ou exponencial. Pode provar-se facilmente que o produto entre z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) e z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) é dado por z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] = r 1 r 2 exp( i(θ 1 + θ 2 )). e por consequência, arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) e z 1 z 2 = z 1 z 2. Além disso, também o inverso de z = r(cos θ + i sin θ) toma uma forma mais simples z 1 = 1 [cos( θ) + i sin( θ)] r = r 1 e iθ. 6 Potências e raízes Como foi visto na Secção 5, z 1 z 2 = r 1 r 2 exp( i(θ 1 + θ 2 )). Por indução matemática, prova-se que se z k = r k e θ k, com k = 1, 2,..., n, então z 1 z 2...z n = r 1 r 2...r n exp( i (θ 1 + θ θ n )). Em particular, se z k = z = re iθ, z 0, tem-se, para qualquer número inteiro n z n = r n exp(inθ). (11) 4

5 Se n = 0, define-se z 0 = 1. Se n = 1,..., n define-se z n = (z 1 ) n. Observe-se que, se r = 1, a igualdade (11) vem que escrita como (e iθ ) n = e inθ (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ), n = 0, ±1,..., ±n é a Fórmula de Moivre. Dado um número complexo z = re iθ e um inteiro n 2, as n raízes complexas de z são os números w k = n r exp ( i θ + 2kπ n ), k = 0, 1,..., n 1. Diz-se, neste caso, que w k é uma raiz índice n de z. 7 Funções complexas (de variável real). Exponencial complexa Uma função complexa de (uma) variável real é uma função da forma f(x) = f 1 (x) + if 2 (x), onde f 1 e f 2 são funções reais de variável real. As funções f 1 e f 2 são chamadas, respectivamente, parte real e parte imaginária da função f e escreve-se f 1 = Re f e f 2 = Im f. Duas funções complexas (de variável real) são iguais se e só se as respectivas parte real e parte imaginária são iguais. As operações familiares de álgebra e cálculo extendem-se a funções complexas de variável real de um modo natural. Por exemplo, se f(x) = f 1 (x) + if 2 (x), então df dx (x) = df 1 dx (x)+idf 2 dx (x) e b b f(x)dx = a a b f 1 (x)dx+i f 2 (x)dx. a De entre as funções complexas de variável real, tem particular importância a função exponencial complexa definida do seguinte modo: e (a+ib)x = e ax (cos bx + i sin bx). (12) Todas as regras usuais para operar com exponenciais continuam a ser válidas para a exponencial de expoente complexo. Um caso particular da função exponencial foi vista em na Secção 6. Fazendo, em (12), a = 0 e θ = bx, obtém-se a Equação de Euler (8) e iθ = cos θ + i sin θ. Consideram-se agora aplicações dos números complexos à resolução de equações diferenciais. 5

6 8 Equações diferenciais ordinárias Consideremos a equação diferencial ordinária (EDO) d 2 y dx 2 + y = 0. Procurando soluções da forma e mx chegamos à equação característica m = 0, cujas soluções são m = ±i. De facto, as funções f dadas por f(x) = e ±ix são solução desta EDO. A sua solução geral em C pode escrever-se na forma y(x) = C 1 e ix + C 2 e ix. onde C 1, C 2 C. Mas estamos interessados em soluções reais e portanto pretendemos C 2 = C 1. Então, sabendo que z + z = 2 Re(z) e usando a fórmula de Euler pode-se deduzir y(x) = 2 Re (C 1 e ix ) = A 1 cos x + A 2 sin x. onde A 1 = α e A 2 = 2β para C 1 = α + iβ, sendo α, β números reais arbitrários. De uma forma geral, dada uma EDO a d2 y dx 2 + b dy + cy = 0, dx com a, b, c R tais que b 2 4ac < 0, então as soluções da equação característica são m = b 4ac b 2a ± i 2, 2a que por brevidade escrevemos m = ρ ± iω (ou seja ρ = b/2a e ω = 4ac b 2 /2a). Neste caso, a solução geral da EDO y(x) = C 1 e (ρ+iω)x + C 2 e (ρ iω)x, onde C 1, C 2 C, pode-se escrever em R na forma y(x) = 2Re (C 1 e (ρ+iω)x ) = e ρx (A 1 cos ωx + A 2 sin ωx). onde A 1 = α e A 2 = 2β para C 1 = α + iβ, sendo α, β números reais arbitrários. 6

7 9 Equações com derivadas parciais Consideremos a seguinte equação diferencial com derivadas parciais (EDP) u t = σ 2 u, x R, t > 0 (13) x2 onde σ R +, a função u depende de x e t e está sujeita à condição inicial u(x, 0) = f(x), (14) com f L. Para resolver este problema usamos a transformada de Fourier que recordamos, para f L, é dada por F{f(x)} = ˆf(ξ) = 1 + f(x)e iξx dx. 2π Uma das importantes propriedades da Transformada de Fourier é { d n } f(x) F dx n = (iξ) n ˆf(ξ), que pode ser usada, neste caso, para obter { 2 } u F x 2 = ξ 2 û(ξ, t) { } u F = t) t tû(ξ, Aplicando a transformada de Fourier à EDP (13), obtem-se a seguinte EDO, para ξ fixo, tû(ξ, t) = σξ2 û(ξ, t), cuja solução geral é dada por Usamos agora a condição inicial (14) para escrever û(ξ, t) = ˆf(ξ)e σξ2t = ˆf(ξ)F û(ξ, t) = C 0 e σξ2t. C 0 = 1 + e iξx u(x, 0)dx = ˆf(ξ) 2π { } 1 e x2 4σt = 2σt { } 1 2 σπt F e x2 4σt f(x), onde foram também usados a transformada de Fourier da função gaussiana e o produto de convolução. Finalmente, usando a transformada inversa de obtemos 1 + u(x, t) = 2 e (x y)2 4σt f(y)dy. σπt como solução formal do problema dado. 7

8 10 Exercícios 1. Represente no plano complexo os seguintes números: (a) 1 + i (b) 1 i (c) 3 (d) 3 (e) 1 i 3 (f) 1 + i 3 (g) 4i (h) 4i 2. Mostre que: a) Re (z + w) = Re z + Re w, b) z = 0 se e só se z = Mostre que 1 i = i. 4. Escreva os números complexos do Exercício 1 na forma polar. 5. Escreva os seguintes números complexos na forma x + iy : (a) e 3iπ (b) e 2iπ/3 (c) 3e iπ/4 (d) πe iπ/3 (e) e 2πi/6 (f) e iπ/2 (g) e iπ (h) 2e 3+iπ/6 6. Mostre que o número complexo z = 1 + i satisfaz a equação z 2 + 2z + 2 = Resolva as seguintes equações em C a) 2z 2 + z + 3 = 0, b) z 2 (3 2i)z + 1 3i = 0, c) z 3 3z 2 + 6z 4 = Encontre, em C, as três soluções da equação z 3 = Considere a equação z = 0. a) Calcule, em C, as quatro raízes da equação dada. b) Use o resultado para deduzir a factorização 10. Mostre que: a) e x+iy = e x, z = (z 2 2z + 1)(z 2 + 2z + 1). b) arg e x+iy = y + 2nπ, n Z. 11. Mostre que, para todo o número complexo z, se tem: e z+πi = e z. 8